Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння класифікувати трикутники за сторонами та кутами, знання теореми про суму кутів трикутника, кола, описаного навколо трикутника.

Якщо \(\angle B\) – тупий, а сума кутів трикутника \(180^\circ\), то \(\angle B\gt 90^\circ\), \(\angle A+\angle C\lt 90^\circ.\)

За нерівністю трикутника \(AC\lt AB+BC.\) Отже, твердження ІІ неправильне.

Центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника \(ABC\) лежить поза його межами.

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння використовувати перетворення графіків функцій, знання екстремумів функції.

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x).\) Точка екстремуму даної функції \(x=1\) (точка максимуму).

Графік функції \(y=f(x+3)-2\) можна отримати перенесенням графіка \(y=f(x)\) вліво на \(3\) одиниці та вниз на \(2\) одиниці.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про піраміду, формулу об'єму піраміди.

\(S_{ABCD}=36\) см\(^2\), \(SO=2AB.\)

Піраміда \(SABCD\) – правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.

\begin{gather*} S_{ABCD}=AB^2=36\ \textit{см}^2,\ \ AB=6\ \textit{см},\\[7pt] SO=2\cdot AB=2\cdot 6=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13 S_{ABCD}\cdot SO=\frac 13\cdot 36\cdot 12=12\cdot 12=144\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, їхні властивості.

\begin{gather*} \frac{a^{24}}{(a^4)^2}=\frac{a^{24}}{a^8}=a^{24-8}=a^{16}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, центральні кути, дуги.

\(AB\) становить \(\frac 16\) довжини кола, тому центральний кут \(AOB\) також становить \(\frac 16\) від повного кута \(360^\circ.\)

$$ \angle AOB=\frac 16\cdot 360^\circ=60^\circ. $$

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\(3^{7x}=9,\) \(3^{7x}=3^2\), \(7x=2.\)

\(x=2:7\), \(x=0\mathord{,}28\text{...}\), \(x\approx 0\mathord{,}3\) якщо округлити до десятих.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

\(OA=4\) см, \(SO=h\) – висота, \(SA=l\) – твірна.

У \(\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2,\\[7pt] l^2=h^2+16. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь А.

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Вибіркові характеристики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.

На круговій діаграмі показано розподіл кількості столів, які продано. Загальна кількість проданих столів становила \(156\), секторів на діаграмі – \(12\), тому кожному сектору відповідає $$ 156:12=13\ \text{(столів).} $$

Журнальні столи становлять \(\frac{3}{12}\), а письмові – \(\frac{5}{12}\) від загальної кількості.

Журнальних столів менше на $$ \frac{5}{12}-\frac{3}{12}=\frac{2}{12}. $$

Отже, їх менше на $$ 2\cdot 13=26\ \text{(столів).} $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

\begin{gather*} 2|x|=2,\\[7pt] |x|=1,\\[7pt] x=\pm 1. \end{gather*}

Отже, за наведених чисел коренем рівняння є \(x=-1.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Лінійна функція.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Графік функції \(y=-x\) перенесемо паралельно вздовж осі \(y\) на \(4\) одиниці вгору. Отримаємо \(y=4-x.\)

Отже, правильна відповідь Д.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Нехай \(x\) грн – коштує \(1\) кг яблук, а \(y\) – \(1\) кг груш.

Тоді  \(9\lt x\lt 12\), \(19\lt y\lt 25\),
        \(18\lt 2x\lt 24\), \(57\lt 3y\lt 75.\)

\(2x+3y=m\), тому

\(18+57\lt m\lt 24+75\),
          \(75\lt m\lt 99.\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

\begin{gather*} P_{ABCD}=4AB=72\ \textit{см},\\[7pt] AB=18\ \textit{см},\\[6pt] AK=\frac 12AB=9\ \textit{см},\\[6pt] P_{AKMD}=2(AK+AD)=2(9+18)=54\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

$$ 3(a-1)=3(0\mathord{,}7-1)=2\mathord{,}1-3=-0\mathord{,}9. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові, квадратичні, раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять показникові вирази, квадратні нерівності, нерівності з параметрами.

\begin{gather*} \frac{(9x^2-36x+36)(a-4)}{2^x-a}\ge 0\ |:9,\\[6pt] \frac{(x-2)^2(a-4)}{2^x-a}\ge 0, \end{gather*}

При \(a\in (-\infty; 0]\)

\begin{gather*} \left.\begin{array}{l} a-4\lt 0,\\ a\lt 4, \end{array}\right.\ \ \text{тому}\\ \left[\begin{array}{l} 2^x-a\lt 0,\\ x=2, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} 2^x\lt a,\\ x=2. \end{array}\right. \end{gather*}

нерівність \(2^x\lt a\) при від'ємному \(a\) не має розв'язку, тому \(x=2.\)

При \(a=0\)

\begin{gather*} \frac{(x-2)^2\cdot (-4)}{2^x}\ge 0 \end{gather*}

має тільки розв'язок \(x=2.\)

При \(a\in (0; 4)\)

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 2^x-a\lt 0,\\ x=2, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} 2^x\lt a,\\ x=2, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x\lt \log_2a,\\ x=2. \end{array}\right.\\ x\in (-\infty; \log_2a)\cup \left\{2\right\}. \end{gather*}

При \(a=4\)

\begin{gather*} 2^x-a\ne 0,\\[7pt] 2^x-2^2\ne 0,\\[7pt] x\ne 2\\[7pt] x\in (-\infty; 2)\cup (2; +\infty). \end{gather*}

При \(a\in (4; +\infty)\)

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 2^x-a\gt 0,\\ x=2, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x\gt \log_2a,\\ x=2, \end{array}\right.\\ x\in \left\{2\right\}\cup (\log_2a; +\infty). \end{gather*}