ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання ознак подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості диванів і крісел: \(1:2.\)

Якщо диванів \(x\), а крісел \(2x\), то разом їх:

Загальна кількість диванів і крісел є числом, кратним \(3.\)

За ознакою подільності число ділиться на \(3\) тоді й тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на \(3.\)

Відповідь: А.

ТЕМА: Логарифмічні вирази та перетворення їх.

Завдання скеровано на перевірку знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

За означенням логарифма:

За властивістю логарифмів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу.  Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Відношення кількості столів до кількості стільців: \(1:3.\)

Це означає, що на \(1\) стіл припадає \(3\) стільці.

Усього частин:

Частка столів: \(\frac 14\) від усього кола.

У градусах це:

\begin{gather*} 360^\circ : 4=90^\circ\ (\text{прямий кут}). \end{gather*}

Частка стільців: \(\frac 34\) від усього кола (решта \(270^\circ\)).

Отже, вибираємо діаграму, де темний сектор (столи) становить чверть кола (прямий кут) – варіант відповіді Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Чотирикутники. Коло.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, уміння обчислювати його периметр.

Діаметр кола дорівнює стороні квадрата, у яке воно вписане.

Оскільки діаметр дорівнює двом радіусам \((d=2r)\), то сторона квадрата

Периметр квадрата дорівнює сумі всіх його чотирьох сторін:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} x\in \left(-\infty; -\frac 14\right). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Оскільки діаметри кола та півкола дорівнюють стороні \(AB=8\) см, маємо дві фігури однакового радіуса:
радіус кола \((R){:}\) \begin{gather*} R=\frac{AB}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}; \end{gather*} радіус півкола \((r){:}\) \begin{gather*} r=\frac{CD}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}. \end{gather*}

1.

Коло та півколо мають лише одну спільну точку (дотикаються зовні).

Отже, правильна відповідь – Б.

2.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta OCO_1\ (\angle O_1=90^\circ){:}\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

3.

Розгляньмо чотирикутник \(AOO_1D\) – прямокутну трапецію \((AD\ ||\ OO_1\), \(O_1D\ \perp\ AD).\) Відстань від середини \(AB\) до сторони \(O_1D\) є середньою лінією трапеції \(AOO_1D{:}\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Два числа називають протилежними, якщо їхня сума дорівнює нулю (наприклад, \(5\) і \(-5\)). Отже, для коренів рівняння має виконуватися умова: \begin{gather*} x_1+x_2=0. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком: \begin{gather*} x_1+x_2=-p. \end{gather*}

У рівнянні

зведімо подібні доданки:

Коефіцієнт:

Отже, має виконуватися умова:

Отримуємо два значення: \(a=1\) та \(a=-5.\)

Перевірка існування коренів (дискримінант): числа є коренями рівняння, якщо дискримінант \(D\ge 0.\)

Оскільки за \(x_1+x_2=0\) рівняння набуває вигляду \(x^2+q=0\), то корені існують, якщо \(q\le 0.\)

Якщо \(a=1{:}\) \(q=a+2=1+2=3\gt 0.\) Рівняння \(x^2+3=0\) не має дійсних коренів, тобто \(a=1\) не підходить.

Якщо \(a=-5{:}\) \(q=a+2=-5+2=-3\lt 0.\) Рівняння \(x^2-3=0\) має корені \(\sqrt{3}\) та \(-\sqrt{3}.\) Тож \(a=-5\) підходить.

Оскільки умову задовольняє лише одне значення \(a=-5\), то сума значень дорівнює самому числу \(-5.\)

Відповідь: \(-5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу діагонального перерізу призми.

Основою призми є паралелограм зі сторонами \(AB = 8\) і \(AD = 15\), \(\angle A = 60^\circ.\)

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є висота призми та діагональ основи.

Невідомий діагональний переріз меншої площі буде побудовано на меншій діагоналі основи. У паралелограмі менша діагональ завжди лежить навпроти гострого кута. Отже, треба визначити довжину діагоналі \(BD.\)

Розгляньмо трикутник \(ABD.\) За теоремою косинусів:

Меншим діагональним перерізом є прямокутник \(DBB_1D_1\) зі сторонами \(BD = 13\) см і висотою \(BB_1 = 20\) см.

Обчислімо його площу \(S{:}\)

Відповідь: \(260.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

І. Для замовлення одного автобуса у виконавця є \(8\) різних автобусів. Оскільки треба вибрати лише один, то кількість способів зробити це дорівнює кількості автобусів: \begin{gather*} N_1=8. \end{gather*}

ІІ. Для замовлення двох мікроавтобусів у виконавця є \(6\) різних мікроавтобусів. Нам треба вибрати два з них. Оскільки порядок вибору не має значення (просто потрібні дві машини), скористаймося формулою для комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можлих:

Отже, існує \(15\) способів вибрати два мікроавтобуси.

За правилом додавання (оскільки ми вибираємо або перший варіант, або другий), додаємо отримані результати:

Усього існує \(23\) варіанти вибору машин.

Відповідь: \(23.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*} де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

З рисунка видно, що графіки функцій перетинаються у двох точках: \((0; 0)\) – точка початку координат; точка \((4; 6).\)

Отже, межі інтегрування – від \(0\) до \(4.\)

Графік функції \(y=3\sqrt{x}\) проходить вище за пряму \(y=\frac 32x.\)

Обчислімо площу зафарбованої фігури: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 \left(3\sqrt{x}-\frac 32x\right)\ dx, \end{gather*}

Первісна для кожної частини:

Застосуймо формулу Ньютона -Лейбніца:

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її перевісна.

Відповідь: \(4.\)

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік функції \(y=7x+4\) перетинає вісь у точці з ординатою \(4.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Функція \(y=-\frac 7x\) непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(y=\log_{0{,}5}(x-4)\) – логарифмічна функція, \(y=\log_a x\) спадна на всій області визначення, якщо \(a\in (0; 1).\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних виразів, степеня з натуральним показником.

1. Якщо \(n\sin m\pi=a\), то...

Для будь-якого цілого числа \(k\ \sin k\pi=0.\) Оскільки \(m\) – натуральне число, то \(\sin m\pi\) завжди дорівнює нулю. Тоді \(a=n\cdot 0=0.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Якщо \(\frac{2^m}{2^n}=2^a\), то...

Скористаймося властивістю \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}{:}\)

Звідси \(a=m-n.\)

Отже, правильна відповідь – B.

3. Якщо \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{2}}=\sqrt[a]{2}\), то...

Скористаймося властивістю \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n\cdot m]{x}\ \ {:}\)

Звідси \(a=n\cdot m=mn.\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – А.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

За означенням геометричної прогресії, кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник:

Тепер можемо обчислити значення другого члена прогресії:

Відповідь: Б.