ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедрених, тупокутних і прямокутних трикутників.

І. Одна з висот рівнобедреного трикутника ділить його на два рівні трикутники.

У рівнобедреному трикутнику висота, проведена з вершини до його основи, є водночас медіаною і бісектрисою. Ця висота ділить трикутник на два прямокутні трикутники, рівні за двома катетами (або за катетом і гіпотенузою). Твердження правильне.

II. Дві висоти тупокутного трикутника лежать поза його межами.

У тупокутному трикутнику дві висоти, проведені з гострих кутів, перетинають не самі сторони, а їхні продовження поза трикутником (зовні). Лише одна висота, проведена з тупого кута, лежить усередині фігури. Твердження правильне.

III. Висота, проведена з вершини прямого кута прямокутного трикутника, більша за менший катет цього трикутника.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ABC\), у якому провели висоту \(CH\) до гіпотенузи. Висота \((CH)\) утворює новий (менший) прямокутний трикутник \(CHB\), \(CH\) є катетом, а менший катет початкового трикутника \(CB\) стає гіпотенузою. Оскільки в прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди більша за будь-який катет, то \(CH\lt CB.\) Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Треба знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності:

\begin{gather*} 40\lt\ \text{кількість глядачів}\ \lt 48. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(40\), але нижчим за позначку \(48.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55\gt 48\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик точно на рівні \(40.\) (За умовою глядачів має бути більше, тому не підходить).

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) (\(35\lt 40\) – не підходить).

Зелена зала: стовпчик точно на рівні \(20.\) (\(20\lt 40\) – не підходить).

Фіолетова зала: стовпчик на позначці \(45.\) (Число \(45\) більше за \(40\) і менше за \(48\) \((40\lt 45\lt 48).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(40\) до \(48\), – фіолетова.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та хорд.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називають хордою. Найбільша за довжиною хорда кола – його діаметр.

Отже, \(AB=16\), тому що радіус кола дорівнює \(8\ (d=2R).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ірраціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Для розв’язання завдання використаймо властивість арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a. \end{gather*}

А також формулу скороченого множення «різниця квадратів»:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де \(a\), \(b\), \(c\) – коефіцієнти квадратного рівняння.

\(D=b^2-4ac\) – дискримінант.

Якщо \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні \(2x^2-(4a-3)x-6a=0\) маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=2;\\[7pt] b_\text{коеф.}=-(4a-3);\\[7pt] c_\text{коеф.}=-6a. \end{gather*}

Обчислімо дискримінант заданого рівняння:

\begin{gather*} D=(-(4a-3))^2-4\cdot 2\cdot (-6a);\\[7pt] D=16a^2-24a+9+48a;\\[7pt] D=16a^2+24a+9;\\[7pt] 16a^2+24a+9=(4a+3)^2;\\[7pt] \sqrt{D}=|4a+3|. \end{gather*}

Тобто

\(x_1=-1{,}5\) належить проміжку \([-5; 8].\)

\(x_2=2a\) корінь, що залежить від параметра. За умовою він також має належати проміжку \([-5; 8].\)

Складімо нерівність:

\begin{gather*} -5\le 2a\le 8;\\[6pt] \frac{-5}{2}\le a\le \frac 82;\\[6pt] -2{,}5\le a\le 4. \end{gather*}

Тобто, \(a\in [-2{,}5; 4].\)

Цілі числа, які належать цьому проміжку:

\begin{gather*} \{-2; -1; 0; 1; 2; 3, 4\}. \end{gather*}

Порахуємо їхню кількість: усього \(7\) цілих чисел.

Відповідь: \(7.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо довжину сторони квадрата – перерізу правильної чотирикутної призми, площа якої 64:

\begin{gather*} BD=BB_1=\sqrt{64}=8. \end{gather*}

Обчислімо висоту призми:

\begin{gather*} H=BB_1=8. \end{gather*}

В основі призми лежить квадрат \(ABCD\) з діагоналлю \(BD=8.\) Обчислімо його площу:

Підставмо обчислені значення площі основи та висоти у формулу для обчислення об'єму:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H=32\cdot 8=256. \end{gather*}

Відповідь: \(256.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє знання визначення комбінації, уміння розв’язувати комбінаторні задачі.

І спосіб.

Перший автомобіль (Peugeot): заїжджає на повністю порожній майданчик, тому має вибір з усіх \(10\) паркомісць.

Другий автомобіль (Ford): заїжджає наступним. Одне місце вже зайняте автомобілем Peugeot, тому для Ford залишається \(9\) варіантів.

Третій автомобіль (Volkswagen): заїжджає останнім. Два місця вже зайняті попередніми машинами, тому для нього залишається \(8\) варіантів.

За комбінаторним правилом добутку, щоб обчислити загальну кількість способів розмістити всі три автомобілі, треба перемножити кількості варіантів вибору для кожного з них:

\begin{gather*} N=10\cdot 9\cdot 8=720\ \text{способів}. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

II спосіб.

Оскільки важливо і вибрати місця, і зважити на те, який автомобіль куди стане (порядок має значення), скористаймося формулою розміщень без повторень \(A_n^k\) вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Відповідь: \(720.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\) перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:

• кількість запрошень за 1-й тиждень: \(a_1=7\);
• різниця прогресії: \(d=3\);
• кількість тижнів (елементів): \(n=10\).

Для обчислення загальної кількості запрошень, які отримала Оленка за перші \(10\) тижнів, використаймо формулу суми перших \(n\) членів і формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: \(205.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, а також властивості ромба.

1. \(OA\) (Радіус кола).

Формула довжини кола: \(L=2\pi R.\) За умовою \(L=12\pi\) см, отже:

\begin{gather*} 2\pi \cdot OA=12\pi\Rightarrow OA=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. Довжина діагоналі \(BD\) ромба.

Розгляньмо \(\Delta AKO.\) \(OA=OK=R=6\) см (як радіуси). За умовою \(AK=OA.\) Отже, \(\Delta AKO\) – рівносторонній (\(AK=KO=OA=6\) см). Отже, гострий кут ромба \(\angle A=60^\circ.\)

Оскільки \(AD\) – діаметр, то сторона ромба

\begin{gather*} AB=AD=2R=2\cdot 6=12\ \text{см}. \end{gather*}

У ромбі сума сусідніх кутів дорівнює \(180^\circ\), тому тупий кут

\begin{gather*} \angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \end{gather*}

За властивістю ромба діагональ \(BD\) є бісектрисою кута \(B\), тобто в трикутнику \(ABD\) кути при основі \(\angle ABD=\angle ADB=60^\circ.\) Тобто \(\Delta ABD\) – рівносторонній, і \(BD=AB=12\) см.

Отже, правильна відповідь – B.

3. Довжина висоти ромба.

Трикутник \(ABD\) рівносторонній, тож висота ромба, проведена з вершини \(B\) до сторони \(AD\), є водночас і висотою цього трикутника.

Формула для обчислення висоти рівностороннього трикутника: \begin{gather*} h=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \end{gather*} де \(a\) – його сторона.

Підставмо значення довжини сторони \(a=12\) см:

\begin{gather*} BO=\frac{12\cdot \sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=-(x-2)^2\) це квадратична функція (парабола, гілки вниз). Графік має одну точку екстремуму (тут – максимуму) – вершина параболи.

Отже, 1 – Б.

2. \(y=\cos x+1.\)

Оскільки косинус є парною функцією \(\cos(-x)=\cos x\), отримуємо:

\begin{gather*} y(-x)=\cos x+1=y(x). \end{gather*}

Якщо \(y(-x)=y(x)\) то функція за означенням є парною. Графік парної функції симетричний відносно вісі \(Oy.\)

Отже, 2 – A.

3. \(y=\dfrac{1}{2x-2}\) не визначена в точці \(x=1\), бо

\begin{gather*} 2x-2\ne 0;\\[7pt] 2x\ne 2;\\[7pt] x\ne 1. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних і степеневих виразів.

Скористаймося формулою скороченого множення для різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(2^{3a}=(2^3)^a=8^a.\)

Застосуймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Використаймо властивості логарифма:

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\ k\ne 0;\\[7pt] \log_{\textstyle a}a=1;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_{\textstyle a} b;\\[6pt] \log_{\textstyle a} b^k=k\cdot\log_{\textstyle a} b. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції та прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

За умовою висота \(CK\) ділить основу \(AD\) на два відрізки: \(AK=16\) см і \(KD=9\) см.

У рівнобічній трапеції висота, опущена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки, один із яких дорівнює півсумі основ (середній лінії), а інший – половині різниці основ.

Отже, середня лінія відома:

\begin{gather*} L=\frac{AD+BC}{2}=16\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ACD\) \((\angle ACD=90^\circ\) за умовою). Відрізок \(CK\) – це висота, проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи \(AD.\)

За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику, квадрат висоти дорівнює добутку проєкцій катетів на гіпотенузу:

\begin{gather*} CK^2=AK\cdot KD;\\[7pt] CK^2=16\cdot 9=144;\\[7pt] CK=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Формула площі трапеції:

\begin{gather*} S=\frac{AD+BC}{2}\cdot CK;\\[6pt] S=16\cdot 12=192\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей і правил обчислення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

та формулою Ньютона – Лейбніца:

Відповідь: A.