ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – різницю квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

А також властивість арифметичного квадратного кореня:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, яку відображено на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(500 : 2 = 250.\) Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом становлять другу половину, тобто \(250\) занять.

Сектор Teams візуально менший за чверть від усього круга: \(500:4=125.\) Отже, кількість занять у Teams менша за \(125.\)

А менша від \(150\)». – Правильно, оскільки цей сектор менший навіть за \(125.\)

Б становить половину від загальної кількості». – Неправильно (половину становлять заняття в Zoom).

В становить третину від загальної кількості». – Неправильно (третина – це приблизно \(167\) занять).

Г більша за кількість занять у Google Meet». – Неправильно (темно-сірий сектор менший за світло-сірий).

Д належить проміжку \([250; 400]\)». – Неправильно (у цьому проміжку – кількість занять у Zoom або сума кількостей занять на інших платформах: Teams + Google Meet).

Отже, лише твердження «менша від \(150\)» задовольняє умову.

Відповідь: A.

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} \frac 13-\frac 12=\frac{2-3}{6}=-\frac 16\lt 0. \end{gather*}

Розв'яжімо нерівність:

\begin{gather*} -\frac 16(x+1)\gt 0. \end{gather*}

Тепер помножмо обидві частини нерівності на від'ємне число \(-6.\)

Важливо: унаслідок множення або ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

\begin{gather*} x+1\lt 0;\\[7pt] x\lt -1. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; -1).\) З наведених чисел лише \(-4\) належить заданому проміжку.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів,  додамо їхні координати (першу – до першої, другу – до другої тощо).

\begin{gather*} \vec c(1+(-8); -2+(-3); 5+6);\\[7pt] \vec c(-7; -5; 11). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення кореня \(n\text{-го}\) степеня, властивості коренів, уміння використовувати властивості модуля в розв'язуванні задач.

За властивістю арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|.\\[7pt] \sqrt{(-1-\sqrt{6})^2}=|-1-\sqrt{6}|. \end{gather*}

Оскільки обидва доданки \(-1\) та \(-6\) від'ємні, їхня сума теж від'ємне число:

\begin{gather*} -1-\sqrt{6}\lt 0. \end{gather*}

За властивістю модуля:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє навички розв’язання квадратних рівнянь, аналізування та дослідження рівнянь із параметрами.

\begin{gather*} x^2-8x+m=0;\\[7pt] x_2=x_1+2. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У заданому рівнянні:

\begin{gather*} x_1+x_2=8;\\[7pt] x_1\cdot x_2=m. \end{gather*}

Підставмо \(x_2=x_1+2\) у рівняння суми:

\begin{gather*} x_1+x_1+2=8;\\[7pt] 2x_1+2=8. \end{gather*}

Розв’яжімо це рівняння:

\begin{gather*} 2x_1+2=8;\\[7pt] 2x_1=8-2;\\[7pt] 2x_1=6;\\[7pt] x_1=3. \end{gather*}

Тепер обчислімо другий корінь \(x_2{:}\)

\begin{gather*} x_2=x_1+2=3+2=5. \end{gather*}

Використаймо рівняння добутку коренів для обчислення \(m{:}\)

\begin{gather*} m=x_1\cdot x_2=3\cdot 5=15. \end{gather*}

Відповідь: \(15.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення об'єму конуса й уміння їх застосовувати.

Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник. Його сторони – дві твірні конуса \(L\) і діаметр основи \(d=2R\) (де \(R\) – радіус основи конуса).

Оскільки трикутник рівносторонній:

\begin{gather*} L=2R. \end{gather*}

Площу рівностороннього трикутника зі стороною \(a\) обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a\sqrt{3}}{4}. \end{gather*}

Сторона трикутника \(a=2R\), а його площа \(S=27\sqrt{3}\) см. Підставмо ці значення:

\begin{gather*} \frac{(2R)^2\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3};\\[6pt] \frac{4R^2\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3};\\[6pt] R^2\sqrt{3}=27\sqrt{3}. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(\sqrt{3}{:}\)

\begin{gather*} R^2=27;\\[7pt] R=\sqrt{27}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Висоту рівностороннього трикутника (яка водночас є висотою конуса \(H\)) обчислімо за формулою через його сторону \((a=2R){:}\)

\begin{gather*} H=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}. \end{gather*}

Підставмо значення \(R{:}\)

\begin{gather*} H=3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3\cdot 3=9\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм конуса:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Підставмо значення \(R=3\sqrt{3}\) см та \(H=9\) см:

Відповідь: \(81.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння використовувати комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Унікальний код кожної книжки складається із \(4\) позицій:
[ _ ][ _ ][ _ ][ _ ].

Перша позиція (буква): за умовою використовуємо латинський алфавіт, у якому \(26\) букв. Отже, для першого місця маємо \(26\) варіантів.

Друга позиція (цифра): у математиці \(10\) цифр (від \(0\) до \(9\)). Оскільки в умові немає обмежень на повторення символів, маємо \(10\) варіантів.

Третя позиція (цифра): аналогічно – \(10\) варіантів.

Четверта позиція (цифра): аналогічно – \(10\) варіантів.

За правилом добутку в комбінаториці, щоб обчислити загальну кількість комбінацій для всього коду, треба перемножити кількість варіантів для кожної позиції:

\begin{gather*} N=26\cdot 10\cdot 10\cdot 10=26000. \end{gather*}

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(26000.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, розкриймо дужки, щоб звести функцію до стандартного вигляду многочлена:

\begin{gather*} f(x)=4x-x^2. \end{gather*}

Застосуймо основні правила диференціювання \((x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\) та \((Cx)'=C.\)

\begin{gather*} f(x)'=(4x)'-(x^2)'=4-2x. \end{gather*}

Підставмо значення \(x_0=5\) у рівняння похідної:

\begin{gather*} f(5)'=4-2\cdot 5=4-10=-6. \end{gather*}

Відповідь: \(-6.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата, прямокутного та рівнобедреного трикутників, а також теореми Піфагора.

1. Довжина сторони квадрата \(ABCD.\)

Оскільки за умовою \(KM=DM\), трикутник \(\Delta KMD\) – рівнобедрений з основою \(KD.\)

Проведімо з вершини \(M\) висоту \(MP\) до основи \(KD\ (MP\!\perp\!AD).\) За властивістю рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є також його медіаною.

Це означає, що точка \(P\) ділить відрізок \(KD\) навпіл: \(KP=PD.\)

Чотирикутник \(MPDC\) за побудовою є прямокутником (оскільки \(MC\!\parallel\!PD\) та \(\angle C=\angle D=90^\circ\)).

З властивостей прямокутника випливає, що протилежні сторони рівні:

\begin{gather*} PD=MC=10\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(P\) – середина \(KD\), то:

\begin{gather*} KP=PD=10\ \text{см}. \end{gather*}

Сторона квадрата \(AD\) просто складається з трьох відомих відрізків на одній прямій:

\begin{gather*} AD=AK+KP+PD;\\[7pt] AD=4+10+10=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – A.

2. Довжина відрізка \(DM.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta MCD\ (\angle C=90^\circ).\)

Катет \(MC=10\) см (за умовою).

Катет \(CD=24\) см (сторона квадрата).

За теоремою Піфагора в трикутнику \(\Delta MCD{:}\)

\begin{gather*} DM^2=MC^2+CD^2. \end{gather*}

Підставмо відомі значення чисел:

\begin{gather*} DM^2=10^2+24^2;\\[7pt] DM^2=100+576=676;\\[7pt] DM=\sqrt{676}=26\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

3. Відстань від середини відрізка \(DM\) до прямої \(AB.\)

Чотирикутник \(ABMD\) – це прямокутна трапеція з основами \(BM\) і \(AD\ (BM\!\parallel\!AD\), \(\angle A=\angle B=90^\circ).\)

Точка \(O\) – середина похилої бічної сторони \(MD.\) Проведімо з точки \(O\) перпендикуляр \(OK\) до сторони \(AB\ (OK\!\perp\!AB).\) Оскільки \(BM\!\parallel\!AD\) і вони обидва перпендикулярні до \(AB\), то відрізок \(OK\), проведений через середину \(MD\) паралельно основам, є середньою лінією трапеції \(ABMD.\)

За властивістю середньої лінії трапеції, її довжина дорівнює півсумі основ:

\begin{gather*} OK=\frac{BM+AD}{2}. \end{gather*}

\begin{gather*} OK=\frac{14+24}{2}=\frac{38}{2}=19\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій за їхніми графіками.

1. Функція \(y=x^3\) (кубічна парабола).

Оскільки \(y(0)=0^3=0\), графік перетинає відрізок \(AB\) у точці \((0; 0).\) Оскільки \(y(1)=1^3=1\), графік перетинає відрізок \(BC\) у точці \((1; 1).\) Графік має дві спільні точки з ламаною.

Отже, 1 – B.

2. Функція \(y=\cos x\) (косинусоїда).

Розгляньмо зміну косинуса на відрізку \([0; 2\pi]{:}\)

Якщо \(x=0\), \(y=\cos 0=1.\) Це вершина \(B(0; 1).\)

Якщо \(x=\pi\), \(y=\cos \pi=-1.\) Ця точка лежить на нижній основі \(AD.\)

Якщо \(x=2\pi\), \(y=\cos (2\pi)=1.\) Це вершина \(C(2\pi; 1).\)

Графік має три спільні точки з ламаною.

Отже, 2 – Г.

3. Функція \(y=x+1\) (лінійна функція).

Графік має одну спільну точку з ламаною – це вершина \(B(0; 1).\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, тригонометричних виразів.

1. Якщо \(n^{\textstyle \log_n m}=a\), то…

Застосуймо основну логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} a^{\textstyle \log_a b}=b.\\[7pt] m=a. \end{gather*}

Отже, 1 – Б.

2. Якщо \(\dfrac{mn^2-nm^2}{n-m}=a\), то…

Розкладімо чисельник дробу на множники, винісши спільний множник \(mn\) за дужки.

\begin{gather*} \frac{mn(n-m)}{n-m}=a. \end{gather*}

Скоротімо дріб на спільний множник \((n-m)\), оскільки \(n\gt 1\), \(m\gt 1\) і \(n\ne m\) (інакше знаменник перетворився б на нуль):

\begin{gather*} mn=a. \end{gather*}

Отже, 2 – Г.

3. Якщо \(n\sin^2 m+n\cos^2 m=a\), то…

Винесімо спільний множник \(n\) за дужки й застосуймо основну тригонометричну тотожність:

\begin{gather*} \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1.\\[7pt] n(\sin^2 m+\cos^2 m)=a;\\[7pt] n\cdot 1=a;\\[7pt] n=a. \end{gather*}

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні та раціональні рівняння і їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6. \end{array}\right.\\[7pt] 10x-4y+6x+4y=26+6;\\[7pt] 16x=32;\\[7pt] x=\frac{32}{16}=2. \end{gather*}

Підставмо значення \(x_0=2\) у друге рівняння системи:

\begin{gather*} 6\cdot 2+4y=6;\\[7pt] 12+4y=6;\\[7pt] 4y=6-12;\\[7pt] 4y=-6;\\[6pt] y=-\frac 64=-1{,}5. \end{gather*}

Тобто \((2; -1{,}5)\) – розв'язок системи, а

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot (-1{,}5)=-3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника, уміння визначати площу паралелограма.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ABH\ (\angle H=90^\circ).\)

За умовою, \(\angle A=30^\circ\), а гіпотенуза \(AB=12\) см. Катет, що лежить навпроти кута \(30^\circ\), дорівнює половині гіпотенузи.

\begin{gather*} BH=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою, сторона \(AD\) втричі більша за висоту, проведену до неї:

\begin{gather*} AD=3\cdot BH=3\cdot 6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площу паралелограма обчислімо як добуток його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

\begin{gather*} S=AD\cdot BH=18\cdot 6=108\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.