ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, а саме різниці квадратів: $$ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b). $$

Скориставшись цією формулою, отримуємо:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул зведення та властивостей функції \(y = \sin x\).

Спочатку спростимо заданий вираз. Оскільки $$ 415^\circ = 360^\circ + 55^\circ, $$ а \(360^\circ\) є періодом функції \(y = \sin x\), то $$ \sin 415^\circ = \sin(360^\circ + 55^\circ) = \sin 55^\circ. $$

Оцінимо значення виразу \(\sin 55^\circ.\) Оскільки функція \(y = \sin x\) зростає на проміжку \((-90^\circ; 90^\circ)\), то $$ \sin 45^\circ \lt \sin 55^\circ \lt \sin 60^\circ, $$ тобто $$ \frac{\sqrt{2}}{2} \lt \sin 55^\circ \lt \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Отже, значення виразу \(\sin 415^\circ\) належить проміжку \(\left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Монотонність функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити проміжки монотонності – зростання або спадання елементарних функцій.

Зображений на рисунку ескіз графіка є параболою – графіком квадратичної функції. Вона спадає на проміжку \((-\infty; x_{в}]\), де \(x_{в}\) – абсциса вершини параболи \begin{gather*} y = ax^{2} + bx + c, \\[6pt] x_{в} = -\frac{b}{2a}. \end{gather*} У нашому випадку \begin{gather*} a = 1,\\[7pt] b = 2,\\[6pt] x_{в} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1. \end{gather*}

Отже, задана функція спадає на проміжку \((-\infty; -1].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події.

Всього у кубика \(6\) граней. Нехай \(x\) граней кубика пофарбували в синій колір. Тоді ймовірність того, що при підкиданні кубика випаде синя грань, за класичним означенням ймовірності дорівнює відношенню кількості синіх граней \(x\) до загальної кількості граней \(6.\) Отже, $$ \frac{x}{6} = \frac{1}{3}. $$ Розв’язавши це рівняння, отримаємо $$ x = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2 $$ кількість синіх граней.

Кількість граней, пофарбованих у жовтий колір, дорівнює $$ 6 - 2 = 4. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Середня лінія трикутника. Вектори. Множення вектора на число.

Це завдання перевіряє знання означення і властивостей середньої лінії трикутника, а також уміння множити вектор на число.

Якщо точки \(K\) і \(M\) є серединами сторін \(AB\) і \(BC\) відповідно, то \(KM\) – середня лінія трикутника \(ABC\), яка паралельна стороні \(AC\), причому \(KM\ ||\ AC\), \(KM = \frac{1}{2}AC\), тоді \(AC = 2KM.\)

Вектори \(\overrightarrow{MK}\) і \(\overrightarrow{AC}\) лежать на паралельних прямих, отже, є колінеарними. Їх напрямки протилежні, а довжина вектора \(\overrightarrow{AC}\) вдвічі більша за довжину вектора \(\overrightarrow{MK}\), тому \(\overrightarrow{AC} = -2\overrightarrow{MK}.\)

Оскільки \(\overrightarrow{MK} = a\), то \(\overrightarrow{AC} = -2a.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік лінійної функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати належність точки графіку функції, зокрема прямій.

Графік функції проходить через точку, якщо її координати задовольняють рівняння, яким задано функцію, тобто при підстановці в це рівняння обертають його на тотожність. Підставимо координати точки \(O(0; 0)\) в кожне з наведених рівнянь:

А: \(0 = -2 \cdot 0 = 0\) – рівність виконується, отже пряма \(y = -2x\) проходить через точку \(O(0; 0)\);

Б: \(0 \neq 0 + 2 = 2\) – рівність не виконується;

В: \(0 \neq 0 - 2 = -2\) – рівність не виконується;

Г: \(0 \neq 2 - 0 = 2\) – рівність не виконується;

Д: \(0 \neq -2\) – рівність не виконується.

Це завдання можна розв’язати, безпосередньо скориставшись властивістю лінійної функції. Оскільки точка \(O(0; 0)\) є початком координат, а пряма, яка проходить через початок координат, задається рівнянням \(y = kx\), \(k\) – дійсне число, то серед наведених рівнянь цю умову задовольняє лише рівняння прямої \(y = -2x.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Об’єм конуса.

Це завдання перевіряє вміння знаходити об’єм конуса.

$$ V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h, $$ де \(R\) – радіус основи конуса, \(h\) – висота конуса.

За умовою, діаметр основи конуса дорівнює \(6\) см, відповідно радіус кола дорівнює половині його діаметра, тобто $$ R = \frac{d}{2} = 3\ \text{см}. $$

Підставимо отримані дані у формулу: $$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^{2} \cdot 4 = 12\pi\ \text{см}^3. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє знання графіків елементарних функцій.

З рисунка видно, що шукана функція на проміжку \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right)\) зростає, пряма \(x = \frac{\pi}{2}\) є вертикальною асимптотою (на рисунку позначена пунктирною лінією), графік функції не перетинає цю пряму. Крім того, графік функції проходить через початок координат. Розглянемо наведені функції:

А: \(y = \mathrm{ctg}\ x\) – графік цієї функції не проходить через початок координат, на проміжку \(\left(0;\, \frac{\pi}{2}\right)\) функція спадає, в точці \(x = 0\) не існує.

Б: \(y = 2^{x}\) – графік цієї функції не проходить через початок координат, оскільки \(0\ne 2^0=1\), крім того перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}.\)

В: \(y = x^{2}\) – графік цієї функції (парабола) перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}.\)

Г: \(y =\frac{\pi}{2}x\) – графік цієї функції (пряма) перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}.\)

Отже, варіанти А – Г не задовольняють умову завдання.

Д: \(y=\mathrm{tg}\ x\) – графік цієї функції проходить через початок координат, не перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}\), оскільки в цій точці не існує значення функції \(y = \mathrm{tg}\ x.\) Функція зростає на заданому проміжку. Отже, на рисунку зображено фрагмент графіка функції \(y = \mathrm{tg}\ x.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Помітимо, що ця система є лінійною відносно \(2^{x}\) і \(y.\) Застосуємо метод додавання. Від першого рівняння системи віднімемо почленне друге рівняння:

Звівши подібні доданки, отримаємо: \(4y = -28,\) звідси \(y = -7.\)

Підставимо отримане значення \(y = -7\) в будь-яке з рівнянь системи, наприклад, у перше: $$ 3 \cdot (-7) + 2^{x} = -13, $$ звідси \begin{gather*} 2^{x} = -13 + 21,\\[7pt] 2^{x} = 8,\\[7pt] x = 3. \end{gather*}

Отже, \((3; -7)\) – розв’язок системи. Тоді $$ x_{0} + y_{0} = 3 + (-7) = -4. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Довжина кола.

Це завдання перевіряє знання формули довжини кола.

Довжина кола \(l\) радіуса \(r\) обчислюється за формулою $$ l = 2\pi r. $$ Оскільки довжина меншого кола дорівнює \(10\pi\) см, то $$ 10\pi= 2\pi r, $$ звідси знаходимо \(r = 5\) см – радіус меншого кола.

Оскільки за умовою задачі радіус більшого кола \(R\) втричі перевищує радіус меншого кола, то $$ R = 3 \cdot 5 = 15\ \text{см}. $$

Точка зовнішнього дотику двох кіл належить відрізку \(O_{1}O_{2}\), тому

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул перетворень логарифмічних виразів: \begin{gather*} \log_{a} b^{k} = k \cdot \log_{a} b,\\[6pt] \log_{a^{k}} b = \frac{1}{k} \cdot \log_{a} b \end{gather*} та вміння їх використовувати для перетворення логарифмічного виразу.

Застосуємо ці формули:

Оскільки \(\log_{5} 5 = 1\), остаточно отримуємо: $$ \log_{5^{-2}} 5^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{4}\cdot 1 = -0{,}25. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати дробово-раціональні рівняння зі змінною під знаком модуля.

Задане рівняння рівносильне рівнянню \(|x|= \frac{4}{3}.\)

Геометрично модуль числа – це відстань на координатній прямій від точки, що зображує це число, до початку відліку. На відстані \(\frac{4}{3}\) від початку відліку знаходяться два числа: \(x_{1} = \frac{4}{3}\) і \(x_{2} = -\frac{4}{3}.\) Обидва ці числа і є коренями заданого рівняння.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Розв’яжемо нерівність методом інтервалів. Для цього перенесемо всі вирази у ліву частину нерівності: $$ (x + 4)(x - 8) - 3(x - 8) \gt 0 $$ і винесемо за дужки спільний множник \((x - 8).\) Отримаємо: \begin{gather*} (x - 8)((x + 4) - 3) \gt 0,\\[7pt] (x - 8)(x + 1) \gt 0. \end{gather*}

Визначимо нулі функції $$ y = (x - 8)(x + 1), $$ тобто корені рівняння $$ (x - 8)(x + 1) = 0. $$ Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю: \begin{gather*} x - 8 = 0,\\[7pt] x_1 = 8, \\[7pt] x + 1 = 0,\\[7pt] x_2 = -1. \end{gather*}

Позначимо на числовій осі \(x\) нулі \(x_{1} = 8\) та \(x_{2} = -1\) та визначимо знаки виразу \((x - 8)(x + 1)\) на кожному з отриманих проміжків.

Отже, \((-\infty; -1) \cup (8; +\infty)\) – множина розв’язків заданої нерівності.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні. Похідна від складеної функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну від складеної функції.

За означенням, якщо \(f(g(x))\) – складена функція і існують похідні функції \(g(x)\) у точці \(x\), а функції \(f(u)\) – у відповідній точці \(u = g(x)\), то існує похідна складеної функції \(f(g(x))\), причому $$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x). $$

Тоді

Відповідь: Г.