ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Прямокутник та його властивості. Площа прямокутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити площу та периметр прямокутника, застосовувати теорему Піфагора, знання співвідношень у прямокутному трикутнику.

Розглянемо кожне твердження:

1. Площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін. Цей добуток дорівнює \(48\) для прямокутника зі сторонами \(6\) та \(8\), зображеного на рисунку B. Отже, твердженню 1 відповідає прямокутник B.

2. Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин всіх його сторін. Ця сума дорівнює \(14\) для прямокутника зі сторонами \(2\) та \(5\), зображеного на рисунку A: $$ 2 \cdot (2 + 5) = 14. $$ Отже, 2 – A.

3. Серед варіантів Б, Г та Д, що залишилися, варіант Д не може відповідати твердженню 3, адже кут між діагоналями квадрата не може дорівнювати \(60^\circ\) (він становить \(90^\circ\)). Залишилося проаналізувати варіанти Б та Г.

Розглянемо прямокутник \(ABCD\), діагоналі якого перетинаються в точці \(O\) (див. рисунок).

\(\angle AOB\) – гострий кут між діагоналями прямокутника. Оскільки діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл, то \(AO = OB\), отже, трикутник \(AOB\) є рівнобедреним. Кут \(AOB\) між діагоналями прямокутника є в трикутнику \(AOB\) кутом при вершині рівнобедреного трикутника. Якщо \(\angle AOB = 60^\circ\), то кути при основі цього трикутника дорівнюють $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ, $$ отже, цей трикутник є рівностороннім.

У рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні, тому серед прямокутників, зображених на рисунках Б та Г, визначаємо той, у якого половина діагоналі дорівнює стороні \(AB.\) Це твердження виконується для прямокутника, зображеного на рисунку Б. Справді, з прямокутного трикутника \(ABC\) за теоремою Піфагора

Прямокутник \(ABCD\), у якого діагоналі перетинаються під кутом \(60^\circ\), можна встановити також за допомогою тригонометричних співвідношень у прямокутному трикутнику \(ABC.\)

Оскільки \(\angle BAC = 60^\circ\), то $$ \frac{BC}{AB} = \mathrm{tg}\ \angle BAC = \sqrt{3}. $$ Ця умова виконується лише для прямокутника зі сторонами \(4\) та \(4\sqrt{3}\) на рисунку Б: $$ \frac{BC}{AB} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} = \mathrm{tg}\ 60^\circ. $$ Отже, 3 – Б.

4. Діагональ квадрата зі стороною \(7\) дорівнює \(7\sqrt{2} \ne 14.\) Переконаємося, що твердженню 4 відповідає прямокутник на рисунку Г:

звідси отримуємо \(AC = 14\). Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Б, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Подільність чисел.

Це завдання перевіряє вміння знаходити дільники чисел, знання означень простого числа і числа, кратного іншому числу.

1. Серед наведених чисел квадратом натурального числа є число \(16 =4^{2}\), отже, 1 – Б.

2. Натуральне число, більше за одиницю, називається простим, якщо воно має лише два дільники: одиницю та саме число. Іншими словами, просте число ділиться націло лише на \(1\) та на себе. Усі парні натуральні числа більше \(2\) не є простими, оскільки, крім \(1\) та самого числа, вони обов’язково мають дільник \(2.\) Отже, парні числа \(8\), \(16\) та \(56\) не є простими. Число \(27\) також не є простим, воно ділиться націло на \(1\), \(3\), \(9\) і \(27.\) Залишається число \(17.\) Воно має лише два дільники: \(1\) та \(17\), тобто є простим. Отже, 2   В.

3. Число \(a\) називається дільником числа \(c\), якщо \(c\) ділиться на \(a\) націло. Серед наведених чисел на \(8\) націло ділиться тільки число \(8.\) Зауважимо також, що дільник числа не може бути більшим за саме число. Отже, 3 – А.

4. Число \(c\) називають кратним числу \(a\), якщо \(c\) ділиться націло на \(a.\) Серед наведених чисел на \(7\) націло ділиться тільки число \(56\), отже 4 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – A, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Основні властивості функцій: парність, періодичність, монотонність. Екстремум функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій (степеневої, квадратичної та логарифмічної), заданих формулою, знаходити область визначення, значення функції в точці, використовувати перетворення графіків функцій, знання означення точки екстремуму функції.

1. Функція \(y = x^{3}\) визначена на всій дійсній осі, зростає на всій області визначення, екстремуму не має. Знайдемо значення функції в точці \(x = 8\mathord{:}\) $$ y(8) = 8^{3} \gt 0. $$ Знайдемо значення функції в точці \(x = -3\mathord{:}\) $$ y(-3) = (-3)^{3} = -27 \lt 0. $$ Отже, для початку речення 1 жоден із варіантів A—Г не може бути його закінченням. Функція \(y = x^{3}\) для будь-якого дійсного значення \(x\) задовольнює умову \begin{gather*} y(-x) = -y(x){,}\\[7pt] (-x)^{3} = -x^{3}, \end{gather*} тобто є непарною.

Отже, 1 – Д.

2. Функція \(y = (x + 2)^{2} - 3\) визначена на всій дійсній осі, графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору, абсциса вершини параболи є точкою мінімуму цієї функції, тобто в точці \(x = x_{в}\) функція має екстремум. Залишилося визначити значення \(x_{в}.\) Оскільки графік функції \(y = (x + 2)^{2} - 3\) можна отримати з графіка функції \(y = x^{2}\) за допомогою його перенесення вздовж осі \(x\) ліворуч на \(2\) одиниці й вздовж осі \(y\) вниз на \(3\) одиниці, то абсциса вершини заданої параболи \(x_{в} = -2\), тобто функція \(y = (x + 2)^{2} - 3\) в точці \(x = -2\) має екстремум.

Отже, 2 – В.

3. Функція \(y = \log_{0{,}5} x\) визначена на проміжку \((0; +\infty)\), тому визначена в точці \(x = 1\) і не визначена в точці \(x = -3\). Оскільки основа логарифма \(0{,}5 \lt 1\), то функція є спадною на всій області визначення, отже, не має екстремумів. Окрім зазначеного, функція \(y = \log_{0{,}5} x\) перетинає вісь \(x\) у точці \((1; 0)\), на проміжку \((0; 1)\) набуває додатних значень, а на проміжку \((1; +\infty)\)   від’ємних значень. Таким чином, $$ y(8) = \log_{0{,}5} 8 = -3 \lt 0. $$

Отже, 3 – А.

4. Функція \(y = \sqrt{x - 4}\) визначена для всіх \(x\), що задовольняють умову \(x - 4 \ge 0\), тобто \(x \ge 4.\) Отже, вона не визначена в точках \(x = 1\) і \(x = -3.\) З двох варіантів, що залишилися, для 4 обираємо варіант Б (в точці \(x = -3\) ця функція не може набувати не лише додатного значення, але й жодного іншого).

Отже 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – А, 4 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, формули координат середини відрізка, вміння встановлювати належність точки координатній осі чи площині.

Розглянемо початки речень (1–4) та знайдемо твердження, які є правильними для наведених точок.

1. Точка \((4; 0; 0)\), у якої координати \(y\) та \(z\) дорівнюють \(0\), лежить на осі \(x.\) Отже, початку речення 1 відповідає закінчення речення Д. Зазначимо, що якщо точка у просторі лежить на одній з осей координат, то обов’язково дві її координати дорівнюють нулю. Наприклад, точка \((0; -2; 0)\) лежить на осі \(y\), а точка \((0; 0; 3)\) – на осі \(z.\) Якщо й третя координата дорівнює нулю, то точка \((0; 0; 0)\) є початком координат і належить одночасно координатним осям \(x\), \(y\) і \(z.\) Зауважимо також, що якщо точка лежить, наприклад, на осі \(x\), то вона також лежить у координатних площинах \(xy\) та \(xz\), оскільки вісь \(x\) є перетином цих площин.

2. Якщо лише одна з трьох координат точки, заданої у просторі, дорівнює нулю, то така точка лежить у певній координатній площині i водночас не належить жодній з осей координат, що лежать у цій площині. Зокрема, якщо координати \(y\) та \(z\) відмінні від нуля, то точка \((0; y; z)\) лежить у площині \(yz.\) Отже, точка \((0; -3; 5)\) лежить у площині \(yz.\) Таким чином, початку речення 2 відповідає закінчення речення Б.

3. Щоб знайти координати точки, що є серединною відрізка, потрібно обчислити півсуму відповідних координат точок, які є кінцями цього відрізка. Так, серединою відрізка \(OC\), де \(O(0; 0; 0)\), \(C(-2; 6; 0)\), є точка \(M(x_{m}, y_{m}, z_{m})\), у якої \begin{gather*} x_{m} = \frac{0 + (-2)}{2}=-1,\\[6pt] y_{m} = \frac{0 + 6}{2}=3,\\[6pt] z_{m} = \frac{0 + 0}{2}=0. \end{gather*} Отже, точка \((-1; 3; 0)\) є серединою відрізка \(OC\), тож початку речення 3 відповідає закінчення речення В.

4. Залишилося підібрати варіант відповіді для початку речення 4. Помічаємо, що координати точки \((2; -6; 0)\) протилежні відповідним координатам точки \(C(-2; 6; 0).\) Це означає, що ці точки симетричні відносно початку координат, тобто точки \(O(0; 0; 0).\) Отже, початку речення 4 відповідає закінчення речення Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – B, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки, зокрема знаходити відсоток від числа.

1. Позначимо щомісячний платіж за телефон за \(x\) гривень. За умовою задачі це становить \(10\ \%\) від загальної вартості телефону. Складаємо пропорцію: \begin{gather*} 2260 \text{ грн}\ —\ 100\ \%,\\[7pt] x \text{ грн}\ —\ 10\ \%. \end{gather*} Тоді $$ \frac{2260}{x} = \frac{100}{10}, $$ звідси $$ x = \frac{2260 \cdot 10}{100} = 226 \text{ грн}. $$

2. Сума \(12\) щомісячних платежів становить $$ 226 \cdot 12 = 2712 \text{ грн}. $$ Знайдемо, на скільки гривень ця сума перевищує вартість телефону: $$ 2712 - 2260 = 452 \text{ грн}. $$

Відповідь: 1. \(226.\)
                   2. \(452.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості. Середня лінія трапеції та її властивості. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трапеції: середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі. Bміння визначати висоту трапеції як відповідний катет прямокутного трикутника.

1. Згідно з умовою \(MN\) – середня лінія, \(AD\) і \(BC\) – основи трапеції \(ABCD.\) Отже, $$ MN = \frac{AD + BC}{2}, $$ звідки одержимо

2. Опустимо з точки \(C\) на основу \(AD\) перпендикуляр \(CK\) і розглянемо прямокутний трикутник \(CKD\) (див. рисунок).

У цьому трикутнику \(\angle K = 90^\circ\), \(\angle D = 45^\circ\). Тоді $$ \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ. $$ Отже, трикутник \(CKD\) є прямокутним і рівнобедреним, у якому \(KC = KD.\) Оскільки

Зазначимо, що якщо провести відрізок \(BP\) паралельно стороні \(CD\) (точка \(P\) належить основі \(AD\)), то утвориться прямокутний рівнобедрений трикутник \(BAP\), у якому $$ AB = AP = AD-BC = 8 \text{ см}. $$

Відповідь: 1. \(17.\)
                   2. \(8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії та вміння її застосовувати до розв’язання завдання із практичним змістом.

Оскільки кількість настою кожного наступного дня на одне й те саме число менша за кількість настою, що приймав пацієнт попереднього дня, то щоденні кількості настою утворюють арифметичну прогресію, перший член якої \(a_1 = 370\) мл, а останній двадцятий член \(a_{20} = 85\) мл.

Сумарну кількість настою, що вип’є пацієнт за ці \(20\) днів, визначаємо як суму перших \(20\) членів арифметичної прогресії:

Відповідь: \(4550.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічне рівняння.

Виконавши перетворення: $$ \log_{4}\frac{1}{16} = \log_{4} 4^{-2} = -2, $$ запишемо задане рівняння у вигляді $$ \log_{4} x(\log_{4} x - 2) = 3,\ \text{або } $$ $$ (\log_{4} x)^{2} - 2\log_{4} x - 3 = 0. $$ Отримане рівняння є квадратним відносно змінної \(\ \log_{4} x = t{:}\) $$ t^{2} - 2t - 3 = 0, $$ коренями якого є значення \(t_{1} = -1\) та \(t_{2} = 3\).

Отже, задане рівняння рівносильне сукупності $$ \left[\begin{array}{l} \log_{4} x = -1,\\ \log_{4} x = 3. \end{array}\right. $$ Її розв’язки: $$ \left[\begin{array}{l} x_{1} = 4^{-1} = 0{,}25,\\ x_{2} = 4^{3} = 64 \end{array}\right. $$ є коренями заданого рівняння, їх сума дорівнює $$ 0{,}25 + 64 = 64{,}25. $$

Відповідь: \(64{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення дробово-раціонального виразу, використовуючи формули скороченого множення, правила виконання дій з раціональними дробами, та знаходити числове значення виразу при заданих значеннях змінних.

Спочатку спростимо заданий вираз:

Тепер підставимо в отриманий вираз значення \(a = 0{,}1\), \(b = 3{,}7{:}\)

Відповідь: \(-22.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної чотирикутної піраміди за відомими радіусом вписаної кулі та кутом нахилу бічної грані до площини основи піраміди.

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду \(SABCD\), основою якої є квадрат \(ABCD.\) Центр \(O\) вписаної у піраміду кулі належить висоті піраміди – відрізку \(SO_1\) (точка \(O_{1}\) є центром квадрата \(ABCD\), тобто точкою перетину його діагоналей). Позначимо точку, в якій вписана куля дотикається бічної грані \(DSC\), буквою \(K.\) Ця точка лежить на апофемі \(SM.\) Згідно з умовою \(\angle SMO_{1} = 60^\circ\), а \(O_{1}O = OK=3\text{ см}\).

Щоб обчислити об’єм піраміди \(SABCD\), потрібно знати площу \(S_{осн}\) її основи та висоту \(SO_{1}{:}\) $$ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO_{1}. $$

З рівності прямокутних трикутників \(OO_{1}M\) та \(OKM\) (за гіпотенузою та катетом: \(OO_{1} = OK\), \(OM\) – спільна гіпотенуза) випливає, що

У прямокутному трикутнику \(OO_{1}M\) відомо: катет \(OO_{1} = 3\text{ см}\), \(\angle OMO_{1} = 30^\circ.\) Визначаємо другий катет цього трикутника: $$ O_1M = OO_{1}\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 3\sqrt{3}\ \text{см}. $$

Висоту \(SO_{1}\) визначаємо з прямокутного трикутника \(SO_1M{:}\)

Ураховуючи співвідношення \(AD = 2O_{1}M\), визначаємо площу основи піраміди (квадрата \(ABCD\)):

Отже, шуканий об’єм піраміди \(SABCD{:}\)

Відповідь: \(324.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Арифметичні дії з дробами.

Це завдання перевіряє вміння виконувати додавання двох дробів із різними знаменниками.

Щоб додати два дроби із різними знаменниками, треба звести їх до спільного знаменника. Знайдемо спільний знаменник дробів \(\frac{5}{12}\) i \(\frac 78\), він є найменшим спільним кратним знаменників цих дробів: НСК \((8; 12)=24\) – це найменше число, що кратне числам \(8\) і \(12.\) Тоді

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості. Периметр паралелограма.

Це завдання перевіряє вміння визначати невідому сторону паралелограма за його периметром і відомою стороною.

За означенням периметром паралелограма (як і будь-якого многокутника) називають суму довжин всіх його сторін. Оскільки у паралелограма \(ABCD\) протилежні сторони попарно рівні: \(AB=CD\) i \(AD=BC\), то його периметр визначається за формулою: $$ P_{ABCD}=2(AB+BC). $$

Підставимо дані з умови: $$ 60=2(10+BC), $$ звідки отримуємо: \begin{gather*} 30=10+BC,\\[7pt] BC=30-10=20\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Відношення і пропорції. Подільність чисел.

Це завдання перевіряє вміння використовувати відношення для розв'язування текстових задач і знання означення подільності числа на \(9.\)

Введемо коефіцієнт пропорційності \(n\), тоді для оформлення зали було закуплено \(4n\) та \(5n\) повітряних кульок кожного кольору. Загальна кількість повітряних кульок, закуплених для оформлення зали, складає \(4n+5n=9n\) кульок. Оскілько \(n\) має бути натуральним числом, то загальна кількість кульок повинна бути кратною \(9.\)

Число ділиться на \(9\) націло, якщо сума всіх його цифр ділиться на \(9\) націло.

Перевіримо кожну із запропонованих відповідей:

А. \(1+0+0=1\) – не ділиться на \(9\), тому й число \(100\) не ділиться на \(9.\)

Б. \(1+1+5=7\) – не ділиться на \(9\), тому й число \(115\) не ділиться на \(9.\)

В. \(1+1+7=9\) – ділиться на \(9\), отже, число \(117\) ділиться на \(9.\)

Г. \(1+2+0=3\) – не ділиться на \(9\), отже, і \(120\) не ділиться на \(9.\)

Д. \(1+4+5=10\) – не ділиться на \(9\), отже і \(145\) не ділиться на \(9.\)

Отже, загальна кількість кульок із наведених чисел може дорівнювати лише \(117.\)

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Запишемо число \(125\) як степінь з основою \(5\mathord{:}\ 125=5^3.\) Тоді рівння набуде вигляду \(5^{x+1}=5^3.\) Оскільки степеневі вирази з однаковою основою рівні лише тоді, коли рівні показники степенів, то отримане рівняння рівносильне рівнянню \(x+1=3,\) звідки \(x=2.\) Число \(2\) належить проміжку \([0; 3).\)

Відповідь: A.