Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння та нерівності. Показникова функція.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати дробно-раціональні нерівності, показникові нерівності, а також їхні системи; розв'язувати нерівності та системи з параметрами; користуватися графічним методом розв'язування і дослідження рівнянь, нерівнстей та їхні системи.

1. Розв'яжемо першу нерівність методом інтервалів: $$ \frac{x+1}{x-2}\ge 0. $$

$$ x\in (\infty; -1]\cup (2; +\infty). $$

2. Розв'яжемо другу нерівність графічно. Спростимо вираз:

\begin{gather*} 2\sin^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+\cos(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+x=\\[7pt] =2\sin^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+\cos^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})-\sin^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+x=\\[7pt] =\sin^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+\cos^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+x=1+x\\[6pt] \left(\frac 12\right)^{x+1}\gt a. \end{gather*}

Побудуємо графік функції \(y=\left(\frac 12\right)^{x+1}\) за допомогою елементарних перетворень.

\(y=\left(\frac 12\right)^x\) перенесено вліво на \(1\) одиницю. Отримаємо графік функції \(y=\left(\frac 12\right)^{x+1}.\)

1) При \(a\in (-\infty; 0]\ x\in R.\)

2) При \(a\in (0; +\infty)\) \begin{gather*} y=\left(\frac 12\right)^{x+1}\gt a,\ \ \frac 12\cdot \left(\frac 12\right)^x\gt a,\\[6pt] \left(\frac 12\right)\gt 2a,\ \ \left(\frac 12\right)^x\gt \left(\frac 12\right)^{\log_{\frac 12}(2a)} \end{gather*} функція \(y=\left(\frac 12\right)^{x+1}\) спадна, тому
\(x\lt\log_{\frac 12}(2a)\), \(x\lt -\log_2(2a).\)

Відповідь: при \(a\in (-\infty; 0] x\in R.\)
при \(a\in (0; +\infty]\), \(x\in (-\infty; -\log_2(2a)).\)

3. Розв'яжемо систему нерівностей:

При \(a\in (-\infty; 0]\), \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; +\infty).\)

При \(a\in \left(0; \frac 18\right)\), \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; -\log_2(2a)).\)

При \(a\in \left[\frac 18; \right)\), \(x\in (-\infty; -1].\)

При \(a\in [1; +\infty)\), \(x\in (-\infty; -\log_2(2a)).\)

Відповідь: 1. \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; +\infty).\)
                   2. \(x\in R\), якщо \(a\in (-\infty; 0]\);
                   \(x\in (-\infty; -\log_2(2a))\), якщо \(a\in (0; +\infty).\)
                   3. \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; +\infty)\), якщо \(a\in (-\infty; 0]\);
                   \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; -\log_2(2a))\), якщо \(a\in \left(0; \frac 18\right)\);
                   \(x\in (-\infty; -1]\), якщо \(a\in \left[\frac 18; 1\right)\);
                   \(x\in (-\infty; -\log_2(2a))\), якщо \(a\in [1; +\infty).\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла й поверхні обертання. Прямі й площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння будувати перерізи тіл обертання, застосовувати властивості циліндра до розв'язування стереометричних задач; ознаки паралельності прямої та площини.

\(AB=c\), \(\angle AO_1B=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), \(OO_1\) – вісь циліндра.

1. Побудуємо твірні \(AD\), \(BC.\)
Твірні \(AD\) та \(BC\) – перпендикулярні основам циліндра. \(AD\ \perp\ AB\), \(BC\ \perp\ AB.\) Прямокутник \(ABCD\) – переріз циліндра площиною \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\) \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\ ||\ OO_1:\)
\(\left.\begin{array}{l} OO_1\ ||\ AD,\\ AD \in \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}, \end{array}\right| \rightarrow OO_1\ ||\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)
(за ознакою паралельності прямої та площини).

2. Проведемо \(OK\ \perp AB.\) \(OK\ \perp\ OO_1\), \(OO_1\ ||\ AD\rightarrow OK\perp\ AD.\)

Отримали, що \(OK\) перпендикулярна двом прямим, що перетинаються з площини \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\ (AB\cap AD)\), тому \(OK\ \perp \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)

Отже, \(OK=d\) – відстань від \(OO_1\) до \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\) (Відстань від прямої до площини – це довжина перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки прямої до площини).

3. \(\Delta AOB\) – рiвнобедренний (\(OA=OB\) як радіуси). \(OK\) – висота та медіана.
\(AK=KB=\frac 12AB=\frac{c}{12}.\)

\(\Delta AO_1B\) – рівнобедренний. \(O_1A=O_1B\) (\(OA=OB\) як радіуси, рівним проекціям відповідають рівні похилі). \(O_1K\) – висота (\(OK\ \perp\ AB\), \(O_1K\ \perp AB\) за теоремою про три перпендикуляри). \(O_1K\) – бісектриса (за властивістю рівнобедренного трикутника).

\(\angle AO_1K=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}.\)

У \(\Delta AO_1K\ (\angle K=90^\circ)\ O_1K\ \mathrm{ctg}\ \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}=\frac c2\mathrm{ctg}\ \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}.\)

У \(\Delta OO_1K\ (\angle O=90^\circ)\ OO_1^2=O_1K^2-OK^2\) (за теоремою Піфагора)

$$ OO_1=\sqrt{\frac{c^2}{4}\mathrm{ctg}^2\ \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}-d^2}. $$

Площа переріза \(ADCB\) (прямокутника)

$$ S=AB\cdot AD=c\sqrt{\frac{c^2}{4}\mathrm{ctg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}-d^2}=\frac c2\sqrt{c^2\mathrm{ctg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}-4d^2}. $$

Відповідь: \(S=\frac c2\sqrt{c^2\mathrm{ctg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}-4d^2}.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степеневі функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, знаходити похідні елементарних функцій, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції.

1-2. \(f(x)=\frac 2x\) – обернена пропорційність, графік – гіпербола.

Обчислимо кілька значень функції та побудуємо графік.

\(g(x)=5-8x\) – лінійна функція, графіком якої є пряма. Побудувати пряму можна за двома точками.

Якщо \(x=0\), то \(g(0)=5-8\cdot 0=5.\)

Перша точка: \((0; 5).\)

Якщо \(x=1\), то \(g(0)=5-8\cdot 1=-3.\)

Друга точка: \((1; -3).\)

Позначимо ці точки на координатній площині та проведемо через них пряму.

3. \(f(x)=2x^{-1}\), \(f'(x)=2\cdot (-1)x^{-2}\),
\(f'(x)=-\frac{2}{x^2}.\)

4. Оскільки дотична паралельна прямій \(g(x)=5-8x\), то їхні кутові коефіцієнти рівні, і дорівнюють \(-8.\) Отже, значення похідної в точці дотику дорівнює \(-8.\) Маємо рівняння: \(-\frac{2}{x^2}=-8\), \(x^2=\frac{-2}{-8}=0\mathord{,}25.\)
Тоді, \(x=0\mathord{,}5\) та \(x=-0\mathord{,}5.\)

Відповідь: 3. \(f'(x)=-\frac{2}{x^2}.\)
                   4. \(x=0\mathord{,}5;\ x=-0\mathord{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, прямокутну систему координат; уміння застосовувати координати до розв'язування планіметричних задач.

Рівняння кола зведемо до стандартного вигляду: \begin{gather*} (x+3)^2+y^2-4y=21,\\[7pt] (x+3)^2+y^2-4y+4=25,\\[7pt] (x+3)^2+(y-2)^2=25. \end{gather*}

Коло з центром у точці \(A(-3; 2)\) та радіусом \(5.\ 3AC=BC.\)

\(AC\ ||\ Oy\), тому \(x_c=-3\).
\(AC=5\), \(y_c=7.\) Отже, \(C(-3; 7).\)

\(\Delta ACB,\) \(\angle C=90^\circ\), \(BC\ ||\ Ox\), \(BC=3AC=15.\)
Отже, \(x_\text{в}=12\), \(y_\text{в}=7.\)
\(B(12; 7)\), \(12+7=19.\)

Відповідь: \(19.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики. Перестановки. Комбінаторні правила добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру; знання комбінаторного правила добутку.

Солісті – \(4\), гурти – \(3.\)

Варіантів скласти послідовності виступів солістів \(4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24.\)

Варіантів скласти послідовність гуртів \(3!=1\cdot 2\cdot 3=6.\)

За комбінаторним правилом добутку знаходимо кількість варіантів виступів:
\(24\cdot 6=144.\)

Відповідь: \(144.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом, розв'язувати рівняння першого степеня.

Нехай \(x\) км/год – швидкість автобуса від \(A\) до \(B.\) Тоді:

Оскільки відстань від \(A\) до \(B\) така сама як і від \(B\) до \(A\), то складемо рівняння: \begin{gather*} 5x=4\mathord{,}5(x+8),\\[7pt] 5x=4\mathord{,}5x+36,\\[7pt] 0\mathord{,}5x=36,\\[7pt] x=72. \end{gather*}

Відповідь: \(72.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Рівняння.

Це завдання перевіряє знання основної властивості арифметичної прогресії; уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Задана арифметична прогресія: \begin{gather*} a_1=x^2-4,\\[7pt] a_2=3-5x,\\[7pt] a_3=2-3x. \end{gather*}

За властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2},\\[6pt] 3-5x=\frac{x^2-4+2-3x}{2},\\[6pt] 6-10x=x^2-3x-2,\\[7pt] x^2+7x-8=0,\\[6pt] x_1=\frac{-7+9}{2}=1,\\[6pt] x_2=\frac{-7-9}{2}=-8. \end{gather*} Від'ємне значення \(x=-8.\)

Відповідь: \(-8.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості ромба до розв'язування планіметричних задач; знання теореми Піфагора, формули площі трикутника.

\(OK=3\) см, \(S_{AOD}=15\) см\(^2.\)

1. \(\Delta AOD\) \begin{gather*} S_{AOD}=\frac 12AD\cdot OK,\\[6pt] 15=\frac 12\cdot AD\cdot 3,\\[6pt] AD=10\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(BE\ \perp\ AD\) висота ромба \(BO=OD\), \(KD=EK\) (за теоремою Фалеса).

У \(\Delta BED\ OK\) – середня лінія. \(BE=2OK=6\) см.

\(\Delta ABE\ (\angle E=90^\circ)\ AB=10\) см, \(BE=6\) см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=BE^2+AE^2,\\[7pt] AE=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \textit{см},\\[6pt] \mathrm{tg}\ A=\frac{BE}{AE}=\frac 68=\frac 34=0\mathord{,}75. \end{gather*}

Відповідь: 1. \(10.\)
                   2. \(0\mathord{,}75.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відсоткові розрахунки.

1. Розглянемо можливі варіанти доставки багажу:
– усі вантажі доставлять окремо:
\(P=100+100+100=300\) (грн).
– усі вантажі доставлять разом:
вантаж важить: \(31+36+40=107\) (кг). \(P=310\) (грн).
– один вантаж доставлять окремо від двох інших:
\(40\) кг вартістю \(100\) грн, \(31+36=67\) кг – вартістю \(110\) грн.
\(P=100+110=210\) (грн).
Отже, найменша сума грошей – \(210\) грн.

2. \(P=210\) грн, загальна сума грошей за доставку цих трьох вантажів, якщо кожен відправити окремо – \(300\) грн.

\((210 : 300)\cdot 100\text{%}=70\text{%}.\)

Відповідь: 1. \(210.\)
                   2. \(70.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення прямих у просторі, площин у просторі, многогранників та їхніх елементів.

1. \(AC\cup CC_1\), \(AC\ \perp\ CC_1\),

\(\left.\begin{array}{l} CC_1\ \perp\ (ABC),\\ AC \in (ABC), \end{array}\right| \rightarrow CC_1\ \perp\ AC.\)
Отже, 1 – B.

2. Прямі \(AB_1\) та \(CD_1\) мимобіжні, не лежать в одній площині та не перетинаються.
Отже, 2 – Б.

3. \(\Delta ACD_1\) – рівносторонній, так як \(AC=CD_1=AD_1\) (діагоналі рівних квадратів).
\(\angle(AC\), \(CD_1)=\angle ACD_1=60^\circ.\)
Отже, 3 – Д.

4. \(AB_1\ ||\ C_1D\) не перетинаються та лежать в одній площині \((AB_1C_1).\)
Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання про трапецію та її властивості; середню лінію трапеції, вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники, теореми Піфагора.

\(OK=4\), \(CD=10.\)

1. Висота трапеції – діаметр кола \(AB=8.\)
Отже, 1 – Б.

2. \(CE\ \perp\ AD\), \(ED\) – проекція сторони \(CD\) на \(AD.\)

\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора $$ ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6. $$ Отже, 2 – A.

3. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола $$ AB+CD=BC+AD=18. $$ Нехай \(BC=AE=x\), тоді \begin{gather*} BC+AD=x+x+6=18,\\[7pt] 2x=12,\ \ x=6,\\[7pt] AD=AE+ED=6+6=12. \end{gather*} Отже, 3 – Г.

4. Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{18}{2}=9. $$ Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г, 4 – B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння розрізняти види чисел.

1. \(\frac 35\) правильний дріб. Отже, 1 – Б.

2. \(\frac 65=1\frac 15=1\mathord{,}2\in (1; 1\mathord{,}5).\)
Отже, 2 – Д.

3. \(\frac 85=1\frac 35=1\mathord{,}6=7^{\log_7 1\mathord{,}6}.\)
Отже, 3 – Г.

4. \(\sqrt[3]{\frac 18}+\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac 12+\frac 53=\frac{13}{6}.\)
Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – Г, 4 – A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, тригонометричні, логарифмічні функції.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1.

Не має спільних точок з віссю \(x.\) Отже, правильна відповідь – Г.

2.

Має безліч спільних точок з віссю \(x.\) Отже, правильна відповідь – B.

3.

Проходить через точку \((1; 3).\) Отже, правильна відповідь – Д.

4.

Не перетинає вісь \(y.\) Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Д, 4 – A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 2^{x+3}-3\cdot 2^x=10\sqrt{2}\\[7pt] 2^x(2^3-3)=10\sqrt{2}\\[7pt] 2^x\cdot 5=10\sqrt{2}\\[7pt] 2^x=2\sqrt{2}\\[7pt] 2^x=\sqrt{8}\\[7pt] 2^x=2^{\frac 32}\\[7pt] 2^x=2^{1\mathord{,}5}\\[7pt] x=1\mathord{,}5. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку \([1; 2).\) Отже, правильна відповідь Г.

Відповідь: Г.