ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Подібність трикутників.

Це завдання перевіряє вміння знаходити подібні трикутники та використовувати пропорційність їх сторін для знаходження невідомих елементів трикутників.

Оскільки за умовою \(KM\ ||\ BC\), то \(\angle AKM=\angle ABC\) як відповідні кути при паралельних прямих \(KM\), \(BC\) і січній \(AK.\) Тоді трикутники \(AKM\) i \(ABC\) подібні за двома кутами (\(\angle A\) – спільний). Якщо трикутники подібні, то їх віповідні сторони пропорційні, отже $$ \frac{AK}{AB}=\frac{KM}{BC}, $$ де

звідки

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання основних тригонометричних формул та вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Зберемо в лівій частині заданої рівності доданки, що містять \(\sin \alpha\), а в правій частині – доданки, що містять \(\cos \alpha.\) Отримаємо: $$ 4\sin \alpha+\sin \alpha=2\cos \alpha+\cos \alpha, $$ звідки $$ 5\sin \alpha=3\cos \alpha. $$

Виразимо з отриманої рівності \(\sin \alpha\) через \(\cos \alpha\mathord{:}\) $$ \sin \alpha=\frac 35\cos \alpha. $$ За означенням $$ \mathrm{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\frac 35\cos \alpha}{\cos \alpha}=\frac 35. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Вирази з коренями. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє знання формули різниці квадратів двох виразів і вміння виконувати арифметичні дії з дробовими виразами.

Скористаємось означенням частки двох дробів: $$ \frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot \frac dc. $$ Тоді отримаємо:

Винесемо у чисельнику другого дробу за дужки спільний множник \(2\mathord{:}\) $$ 2\sqrt{a}-6=2(\sqrt{a}-3). $$ Тоді одержимо:

Врахувавши, що \((\sqrt{a})^2=a\), розкладемо вираз \(a-9\) на множники за формулою різниці квадратів:

Тоді

Другий спосіб. Виконаємо заміну \(\sqrt{a}=b\), \(a=b^2.\) Отримаємо:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Пряма трикутна призма. Площа бічної поверхні призми.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу бічної поверхні призми. Для виконання завдання потрібо знати формули площі бічної поверхні призми та площі прямокутника.

Нехай \(ABCA_1B_1C_1\) – задана правильна трикутна призма, основою якої є рівносторонній трикутник \(ABC\), \(AB=BC=AC=a\) (див. рисунок).

Нехай \(CB_1=d\) – діагональ бічної грані. Визначимо з прямокутного трикутника \(CBB_1\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора висоту призми \(BB_1\mathord{:}\)

Оскільки сторони основи рівні, то бічні грані призми – рівні прямокутники, тоді площа \(S_\text{б}\) бічної поверхні призми \(ABCA_1B_1C_1\) дорівнює площі бічної грані \(BB_1C_1C\), помноженої на \(3\mathord{:}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Рівняння з модулем.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містить невідоме під знаком модуля (абсолютної величини).

Геометрично модуль числа – це відстань по координатній прямій від нього до початку координат. Тому якщо модуль числа дорівнює \(6\), то це число дорівнює \(6\) або \(-6\). Отже, задане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: $$ \left[\begin{array}{l} 2x-1=6,\\ 2x-1=-6. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо кожне з рівнянь окремо:

Отже, рівняння має два корені \(x_1=3\mathord{,}5\), \(x_2=-2\mathord{,}5.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Парність функцій.

Це завдання перевіряє знання властивостей парної функції.

Розглянемо твердження І і ІІ.

Функція \(y=f(x)\) називається парною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення цієї функції виконується рівність: \(f(-x)=f(x).\) Отже, твердження І не є правильним, воно справедливо лише в тому випадку, коли \(f(10)=f(-10)=0\), тобто не виконується для будь-якого \(x\) з області визначення цієї функції. Твердження ІІ є правильним.

З означення парної функції випливає, що її графік симетричний відносно осі \(y.\) Тому твердження ІІІ також є правильним. Отже, правильні твердження ІІ і ІІІ.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання. Конус. Об'єм конуса.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, тіл і поверхонь обертання до розв'язування задач практичного змісту.

Оскільки за умовою кожна цукерка є однорідною і має форму конуса, то маса однієї цукерки пропорціна об'єму конуса: $$ V=\frac 13 \pi R^2h. $$ За умовою \(R=1\) см, \(h=3\) см. Тоді

Якщо маса \(1\) см\(^3\) цукерки становить \(3\) г, то маса усієї цукерки становить $$ 3V=3\pi\ \text{г}, $$ тоді маса ста цукерок дорівнює

Серед наведених варіантів відповіді найближчою до \(942\) є число \(950.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння знаходити значення степеневого виразу.

Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулами: $$ a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}, $$ або \begin{gather*} a^{x+y}=a^x\cdot a^y,\\[6pt] a^{-x}=\frac{1}{a^x}. \end{gather*}

Перший спосіб. Оскільки

Другий спосіб. Оскільки

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну раціональної функції.

Нагадаємо, що функція \(F(x)\) називається первісною для функції \(f(x)\) на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-якого \(x\in (a; b)\) виконується рівність \(F'(x)=f(x).\)

Правило знаходження первісних. Якщо \(F_1(x)\) – первісна для функції \(f_1(x)\), а \(C\) – довільна стала, то \(F(x)=CF_1(x)\) є первісною для \(Cf_1(x).\)

У нашому випадку $$ f(x)=\frac{1}{2x}=\frac 12\cdot \frac 1x. $$

Оскільки функція \(F_1(x)=\ln|x|\) є первісною для \begin{gather*} f_1(x)=\frac 1x,\ \text{то}\\[6pt] F(x)=\frac 12\ln|x| \end{gather*} є первісною для заданої функції $$ f(x)=\frac 12\cdot \frac 1x. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності.

Розв'яжемо нерівність "методом інтервалів". Запишемо нерівність у вигляді \(f(x)\ge 0\), де $$ f(x)=\frac{(5-x)^2}{x^2+x-6}. $$

Знайдемо область визначення функції \(f(x).\) Раціональний дріб існує, якщо його знаменник відмінний від нуля, тому \(x^2+x-6\ne 0.\) Квадратне рівння \(x^2+x-6=0\) має два корені \(x=-3\) та \(x=2.\) Отже, область визначення функції \(f(x)\) містить всі точки числової прямої, крім двох точок \(x=-3\) та \(x=2\), тобто

Знайдемо нулі функції \(f(x)\), тобто корені рівняння $$ \frac{(5-x)^2}{x^2+x-6}=0. $$

Нагадаємо, що дріб дорівнює нулю, якщо його чисельник дорівнює нулю, а знаменник – ні. Рівняння \((5-x)^2=0\) має корінь \(x=5\), який належить \(D(f).\) Оскільки $$ (5-x)^2=(5-x)(5-x), $$ то кажуть, що \(x=5\) є коренем кратності \(2.\)

Відмітимо на числовій прямій нуль \(x=5\) та точки, в яких \(f(x)\) не існує, тобто точки \(x=-3\), \(x=2\) та визначимо знак функції \(f(x)\) на кожному інтервалі:

Зазначимо, що при переході через точку \(x=5\) знак функції \(f(x)\) не змінюється.

Об'єднуючи проміжки \((-\infty; -3)\), \((2; 5)\), \((5; +\infty)\), на яких виконується нерівність \(f(x)\gt 0\), та точку \(x=5\), в якій \(f(x)=0\), записуємо множину розв'язків заданої нерівності: $$ x\in (-\infty; -3)\cup (2; +\infty). $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки лінійної та квадратичної функцій. Рівняння кола. Властивості лінійної функції.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійних та квадратичних функцій, кола, заданого рівнянням, встановлювати кількість точок перетину прямої з колом та прямої з параболою. Для розв'язання завдання потрібно також знати властивості лінійної функції \(y=kx+b\) та умову паралельності прямих.

1. Побудуємо графік рівняння \(y=5-x\).

Пряма задана рівнянням \(y=5-x\) має від'ємний кутовий коефіцієнт \(k=-1\), тому вона утворює з додатним напрямом осі \(x\) тупий кут, причому цей кут становить \(135^\circ\), оскільки \(\mathrm{tg}\ 135^\circ=-1.\) Отже, 1 – B.

2. Побудуємо графік рівняння \(y=2x+3\) і коло \(x^2+y^2=4.\)

Пряма перетинає коло. Отже, 2 – Д.

3. Графіком рівння \(x=a\) є пряма, що паралельна осі ординат і перетинає вісь абсцис у точці \((a; 0).\) Отже, графіком рівняння \(2x+6=0\), тобто \(x=-3\), є пряма, що паралельна осі ординат і яка проходить через точку \((-3; 0).\) Тому 3 – А.

4. Графік функції \(y=x-4\) і пряма \(y-x=0\), тобто \(y=x\) мають рівні кутові коефіцієнти, кожна з цих прямих утворює з додатним напрямом осі \(x\) кут \(45^\circ.\) Отже, 4 – Г.

Графіком функції \(y=x^2-5\) є парабола з вершиною у точці \((0; -5)\), симетрична відносно осі ординат, вітки параболи напрямлені вгору, вісь абсцис перетинає у точках \((-\sqrt{5}; 0)\) i \((\sqrt{5}; 0)\) (див. рисунок).

Зазначимо, що кожна з прямих, що задані в (1–4), перетинає задану параболу. Отже, варіант Б не може бути закінченням речення для жодного з початків речення (1–4).

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння перетворювати степеневі вирази та знаходити їхні значення. Для розв'язання завдання потрібно знати означення степеня з натуральним, цілим, раціональним показниками та правила дій зі степенями, а саме:

Обчислимо значення виразів (1–4).

1.

Отже, 1 – A.

2.

Отже, 2 – B.

3.

Отже, 3 – Д.

4. \begin{gather*} 2^{3\mathord{,}5}\cdot 2^{1\mathord{,}5}=2^{3\mathord{,}5+1\mathord{,}5}=2^5=32. \end{gather*} Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі. Формула для обчислення відстані між двома точками.

Це завдання перевіряє розуміння декартової системи координат у просторі, а також вміння визначати координати точки, вектора за заданими його початковою та кінцевою точками, середини відрізка.

У прямокутному паралелепіпеді \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) вершина \(B\) розміщена у початку координат, тому \(B(0; 0; 0)\). Оскільки паралелепіпед розміщений так, що його ребра \(BA\), \(BC\) та \(BB_{1}\) належать осям \(x\), \(y\) та \(z\) відповідно, то грані паралелепіпеда, отже, і площини, що містять ці грані, перпендикулярні до відповідних осей координат. За координатами вершини \(D_{1}(4; 8; 12)\) можна визначити координати всіх інших вершин паралелепіпеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\).

Оскільки точка \(A\) є перетином площини, яка проходить через точку \(D_{1}(4; 8; 12)\) перпендикулярно до осі \(x\), то координата \(x\) точки \(A\) збігається з координатою \(x\) точки \(D_{1}\), тобто дорівнює \(4.\) А оскільки точка \(A\) лежить на осі \(x\), то її координати \(y\) і \(z\) дорівнюють \(0.\) Тому \(A(4; 0; 0)\). Аналогічно встановлюємо, що \(C (0; 8; 0)\).

1. Нагадаємо, що координати точки \(M (x_{M}; y_{M}; z_{M})\), яка є серединою відрізка \(BC\), кінцеві точки якого \(B(x_{B}; y_{B}; z_{B})\) та \(C(x_{C}; y_{C}; z_{C})\), визначають за формулами \begin{gather*} x_{M}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2},\\[6pt] y_{M}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2},\\[6pt] z_{M}=\frac{z_{B}+z_{C}}{2}. \end{gather*} Координати середини відрізка \(BC\mathord{:}\)

Отже, 1 – Г.

2. Щоб знайти координати вектора \(\overrightarrow{BA}\) потрібно від координат його кінцевої точки \(A\) відняти відповідні координати його початкової точки \(B\): \(\overrightarrow{BA}(x_{A}-x_{B}; y_{A}-y_{B}; z_{A}-z_{B}).\) Отримуємо: \(\overrightarrow{BA}(4-0; 0-0; 0-0)=(4; 0; 0).\) Отже, 2 – Б.

Зазначимо, що якщо початок вектора збігається з початком координат, то його координати збігаються з координатами кінцевої точки.

3. Оскільки ребро \(DD_{1}\) паралельне осі \(z\), то координати будь-якої точки, яка належить цьому ребру, мають вигляд \(D_{1}(4; 8; z)\), де \(z\in[0; 12].\) Точка, яка лежить на ребрі \(DD_{1}\) і віддалена від вершини \(D\) на \(4\) одиниці, має координати \((4; 8; 4)\). Отже, 3 – Д.

4. Точку \(C_{1}\) можна розглядати як проєкцію точки \(D_{1}\) на координатну площину \(yz\), рівняння якої \(x=0\). Отже, \(C_{1}(0; 8; 12)\). Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник, ромб, квадрат, правильний шестикутник та їхні властивості. Коло, вписане в трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник. Формули для обчислення радіуса вписаного кола.

Це завдання перевіряє вміння визначати радіуси кіл, вписаних в рівносторонній трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник, за заданими довжинами відповідних відрізків.

Визначимо радіус кола, вписаного у кожну з фігур, зображених на рис. 1–4.

Рис. 1. Центр кола, вписаного у будь-який трикутник знаходиться у точці перетину його бісектрис. У рівносторонньому трикутнику бісектриси одночасно є його висотами та медіанами, які діляться точкою перетину на відрізки у відношенні \(2 : 1\), рахуючи від вершини трикутника. Отже, радіус кола, вписаного у рівносторонній трикутник, дорівнює \(\frac{1}{3}\) його висоти. За умовою висота дорівнює \(\sqrt{2}\), тому радіус вписаного кола дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{3}\). Отже, 1 – Д.

Рис. 2. Радіус \(r\) кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти \(h\) цього ромба (див. рисунок 2) і дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{2}.\) Отже, 2 – Г.

Рис. 3. Радіус \(r\) кола, вписаного в квадрат зі стороною \(a\), дорівнює половині його сторони: \(r = \frac{a}{2}\). Якщо діагональ квадрата дорівнює \(\sqrt{2}\), то \(a = 1\). Тоді \(r = \frac{1}{2}\). Отже, 3 – В.

Рис. 4. У правильному шестикутнику три його діагоналі, що сполучають протилежні вершини, ділять шестикутник на шість рівних рівносторонніх трикутників. Тоді радіус вписаного у шестикутник кола дорівнює висоті рівностороннього трикутника. Якщо сторона шестикутника дорівнює \(a\), то радіус вписаного кола \(r = \frac{\sqrt{3}}{2} a\). Оскільки діагональ правильного шестикутника, яка з'єднує протилежні його вершини удвічі більша за сторону цього шестикутника, то виконується рівність \(2a = 2\sqrt{2}\). Отже, сторона шестикутника дорівнює \begin{gather*} a = \frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},\ \text{а}\\[6pt] r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}. \end{gather*} Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – A.