Прямі \(l\), \(m\) і \(n\) лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну мірукута \(\mathbf{\alpha}.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.
Завдання перевіряє знання властивостей суміжних та вертикальних кутів, теореми про суму кутів трикутника.
\(\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ\) – суміжний до кута \(120^\circ.\)
\(\angle ACB=\mathbf{\alpha}\) – вертикальні кути.
Сума кутів \(\Delta ABC\) дорівнює \(180^\circ\), тому $$ \mathbf{\alpha}=180^\circ-(50^\circ+60^\circ)=70^\circ. $$
Відповідь: Г.
\(\left(\frac 13\right)^{-2}=\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання означення степеня з цілим показником та його властивості.
Використаємо властивість \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\) $$ \left(\frac 13\right)^{-2}=3^2=9. $$
Відповідь: Д.
Задано рівняння \(\frac{(x-\sqrt{x}-2)(a^2-16)}{2^x-a}=0\), де \(x\) – змінна,\(a\) – стала.
1. Розв'яжіть рівняння \(x-\sqrt{x}-2=0.\)
2. Розв'яжіть задане рівняння залежно від значень \(a.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні, ірраціональні та показникові рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.
1. Розв'яжемо заміною: \(x-\sqrt{x}-2=0,\) нехай \(\sqrt{x}=t\ge 0\) ОДЗ: \(x\ge 0.\) \(t^2-t-2=0.\)
За теоремою, оберненою до теореми Вієта $$ \left[\begin{array}{l} t_1=2,\\ t_2=-1\ \notin t\ge 0. \end{array}\right. $$ Отже, \(\sqrt{x}=2\), \(x=4.\)
2. Розв'яжемо рівняння залежно від значень параметра: \begin{gather*} \frac{(x-\sqrt{x}-2)(a^2-16)}{2^x-a}=0. \end{gather*} ОДЗ:\( \left\{\begin{array}{l} x\ge 0,\\ 2^x\ne a. \end{array}\right.\)
Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю. \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x-\sqrt{x}-2=0,\ \ (1)\\ a^2-16=0,\ \ \ (2) \end{array}\right. \\ x\ge 0,\\ 2^x\ne a. \end{array}\right. \end{gather*}
(1) \(x-\sqrt{x}-2=0\), \(x=4.\)
Підставимо в ОДЗ: $$ \left\{\begin{array}{l} 4\ge 0,\\ 2^4\ne a\ \ a\ne 16. \end{array}\right. $$ якщо \(a\in (-\infty; 16)\cup (16; +\infty)\ x=4\) якщо \(a=16\) немає коренів.
(2) \(a=4\)
\(a=-4\)
Відповідь: 1. \(x=4\). 2. якщо \(a\in (-\infty; -4)\cup (-4; 4)\cup (4; 16)\cup (16; +\infty)\), \(x=4\); якщо \(a=-4\), \(x\in [0; +\infty)\); якщо \(a=4\), \(x\in [0; 2)\cup (2; +\infty)\); якщо \(a=16\), \(x\in \varnothing\) (рівняння не має коренів).
Задано правильну трикутну призму \(ABCA_1B_1C_1\), основою якої є трикутник \(ABC.\) Висота призми дорівнює \(H\), діагональ бічної грані нахилена до площини основи під кутом \(\mathbf{\alpha}.\) Через висоту \(BK\) трикутника \(ABC\) та вершину \(C_1\) проведено площину \(\mathbf{\gamma}.\)
1. Побудуйте переріз призми \(ABCA_1B_1C_1\) площиною \(\mathbf{\gamma}.\)
2. Визначте вид перерізу й обґрунтуйте свій висновок.
3. Визначте площу перерізу.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.
Завдання перевіряє вміння будувати перерізи призми, знання теореми про три перпендикуляри, кута між прямою та площиною, вміння розв’язувати стереометричні задачі.
1. \(ABCA_1B_1C_1\) – правильна трикутна призма, основа – \(\Delta ABC\) – рівносторонній \(BK\perp AC\) – висота \(\Delta ABC.\) \(CC_1=H\) – висота призми. Кутом між \(BC_1\) та \((ABC)\) є кут між прямою \(C_1B\) та її проекцією \(BC.\) Отже, \(\angle C_1BC=\mathbf{\alpha}.\)
\(KC_1\in (ACC_1)\), \(BC_1\in (BCC_1)\), звідси \(\Delta BKC_1\) – заданий переріз.
2. За умовою \(BK\perp AC\). Оскільки \(CC_1\perp (ABC)\), то за теоремою про три перпендикуляри \(C_1K\perp BK.\) Отже, \(\Delta C_1KB\) – прямокутний з \(\angle K=90^\circ.\)
3. \(\Delta BCC_1\ (\angle C=90^\circ)\), \(BC=H\operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}.\)
Оскільки \(\Delta ABC\) - рівносторонній, то висота \(BK\) є медіаною.
Відповідь: \(\frac{\sqrt{3}H^2}{8}\sqrt{4+\operatorname{ctg}^2\mathbf{\alpha}}\cdot \operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}.\)
Задано функції \(f(x)=3-\frac x4\) та \(g(x)=\log_2 x.\)
Завдання (1–3) виконайте на одному рисунку.
1. Побудуйте графік функції \(f.\)
2. Побудуйте графік функції \(g.\)
3. Позначте точку перетину графіків функцій \(f\) і \(g\) та запишіть її координати.
4. Скориставшись рисунком, розв’яжіть нерівність \(f(x)\ge g(x).\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійної та логарифмічної функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.
1. \(f(x)=3-\frac x4\)
2. \(g(x)=\log_2x\)
3. Точка перетину графіків \(A(4; 2).\)
4. Розв'язок нерівності \(f(x)\ge g(x)\) знаходимо за рисунком.
Тобто знаходимо такі значення \(x\), при яких графік функції \(f(x)\) лежить вище графіка \(g(x).\) Це проміжок \(x\in (0; 4].\)
Відповідь: 3. \((4; 2).\) 4. \(x\in (0; 4].\)
У прямокутній системі координат \(xy\) на площині задано рівнобедрений трикутник \(ACB\), у якому \(AC=BC\), \(A(2; -5)\), \(B(4; 3).\) Навколо цього трикутника описано коло, задане рівнянням \((x-3)^2+y^2+2y=16.\) Визначте площу трикутника \(ABC\).
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Координати та вектори на площині.
Завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, складати рівняння кола, застосовувати властивості прямокутного трикутника, використовувати формули площі трикутника.
Коло задане рівнянням \((x-3)^2+y^2+2y=16.\)
Запишемо у стандартному вигляді \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус \((x-3)^2+y^2+2y+1=16+1\) \((x-3)^2+(y+1)^2=17.\) \((3; -1)\) – центр кола, \(R=\sqrt{17}.\)
Точка \(A(2; -5)\), \(B(4; 3).\) Центр кола \(O(3; -1)\) є серединою відрізка \(AB\) $$ x=\frac{2+4}{2}=3;\ \ y=\frac{-5+3}{2}=-1. $$
Отже, \(\Delta ABC\) – рівнобедрений прямокутний з гіпотенузою \(AB=2\sqrt{17}.\)
Висота, проведена до гіпотенузи, – медіана та радіус описаного кола.
Отже, \(S_{ABC}=\frac 12 AB\cdot OC\), \(OC=R=\sqrt{17}.\)
\(S_{ABC}=\frac 12\cdot 2\sqrt{17}\cdot \sqrt{17}=17.\)
Відповідь: \(17.\)
Довідкову інформацію промовляють почергово по одному разу п’ятьма мовами: українською, англійською, німецькою, російською та польською. Скільки всього є варіантів послідовностей озвучування цієї інформації цими п’ятьма мовами, якщо спочатку її промовляють українською?
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.
Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.
Оскільки спочатку інформацію промовляють українською, то таких варіантів – один.
Далі \(4\) елементи: англійська, німецька, російська, польська переставляються. Отже, за формулою $$ P_n=n! $$ знаходимо $$ P_4=4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24. $$
За правилом добутку знаходимо загальнку кількість можливих варіантів: $$ 1\cdot 24=24. $$
Відповідь: \(24.\)
Визначте довжину твірної конуса (у см), якщо його об’єм дорівнює \(800\mathbf{\pi}\) см\(^3\), а площа основи – \(100\mathbf{\pi}\) см\(^2.\)
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь конуса.
Площа основи конуса – \(S_\text{основи}=\mathbf{\pi}R^2=100\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(R^2=100\), \(R=10\) см. \(OB=10\) см.
Об'єм конуса знаходимо за формулою: \(V=\frac 13S_\text{основи}H,\) де \(S_\text{основи}=100\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(H=AO.\)
\(\frac 13\cdot 100\mathbf{\pi}\cdot H=800\mathbf{\pi}\), \(H=24\) см.
У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:
\(AB^2=AO^2+OB^2=24^2+10^2=576+100=676.\)
\(AB=26\) см – твірна конуса.
Відповідь: \(26.\)
Рекламна пауза на телевізійному каналі триває \(15\) хвилин. За цей час показують по одному разу \(10\) рекламних роликів однакової тривалості та трейлер фільму. Відомо, що якби цей трейлер показували на початку й наприкінці рекламної паузи, то решти часу вистачило б якраз на показ \(8\) таких рекламних роликів. Скільки секунд триває показ трейлера цього фільму? Уважайте, що між показами рекламних роликів та трейлера фільму немає пауз.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, застосовувати системи рівнянь до розв’язування текстових задач.
Нехай тривалість одного рекламного ролика \(x\) хв., а одного трейлера – \(y\) хв. Тоді,
Трейлер триває \(2\mathord{,}5\) хв \(=150\) с.
Відповідь: \(150.\)
Андрій у понеділок, вівторок та п’ятницю витрачав по \(16\) грн на день, у середу й четвер – по \(11\) грн на день, у суботу – \(35\) грн, а в неділю грошей не витрачав.
Скільки гривень витрачав Андрій у середньому на день цього тижня?
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.
Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).
Знаходимо середнє арифметичне за формулою:
Відповідь: \(15.\)
Добуток другого та четвертого членів геометричної прогресії дорівнює \(36.\) Усі члени цієї прогресії є додатними.
1. Визначте третій член цієї прогресії.
2. Визначте перший член цієї прогресії, якщо він удвічі більший за другий її член.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.
Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію.
1. Використовуємо формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\) та властивість \(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\) \begin{gather*} b_2\cdot b_4=36,\\[7pt] b_1q\cdot b_1q^3=36,\\[7pt] b_1^2q^4=36,\\[7pt] (b_1q^2)^2=36,\ \ b_3^2=36. \end{gather*} Оскільки всі члени прогресії додатні, то \(b_3=6.\)
2. \begin{gather*} b_1=2b_2,\ \ b_2=b_1\cdot \frac 12\rightarrow q=\frac 12,\\[6pt] b_3=b_1\cdot q^2,\ \ 6=b_1\cdot \frac 14,\ \ b_1=24. \end{gather*}
Відповідь: 1. \(6.\) 2. \(24.\)
У паралелограмі \(ABCD\) з вершини тупого кута \(B\) проведено висоти \(BK\) та \(BM\) (див. рисунок). \(BK=16\) см, \(AK=12\) см, \(BM=24\) см.
1. Визначте довжину сторони \(AB\) (у см).
2. Обчисліть площу (у см\(^2\)) паралелограма \(ABCD.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралелограма до розв'язування планіметричних задач.
1. У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2=12^2+16^2=144+256=400,\\[7pt] AB=20\ \textit{см}. \end{gather*}
2. За формулою \(S=ah\), де \(a\) – сторона паралелограма, \(h\) – висота, проведена до сторони \(a\), знаходимо площу
Відповідь: 1. \(20.\) 2. \(480.\)
Сім’я за оренду двох велосипедів для батьків та одного велосипеда для дитини заплатила \(1200\) грн. Вартість оренди одного велосипеда для дорослих в \(1\mathord{,}5\) раза більша за вартість оренди одного велосипеда для дитини.
1. Визначте вартість (у грн) оренди велосипеда для дитини.
2. Оренда шолома та пари рукавичок становить \(15\ \text{%}\) від вартості оренди велосипеда для дитини. Скільки гривень ця сім’я заплатить за користування трьома шоломами та трьома парами рукавичок?
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.
Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.
1. Нехай вартість оренди одного велосипеда для дитини \(x\) грн, тоді вартість оренди одного велосипеда для дорослого \(1\mathord{,}5x\) грн. Отже, \begin{gather*} 2\cdot 1\mathord{,}5x+x=1200,\\[7pt] 3x+x=1200,\\[7pt] 4x=1200,\\[7pt] x=300. \end{gather*}
2. Вартість оренди одного шолома та однієї пари рукавичок \(15\text{%}\) від \(300\) грн. Тобто, \(300\cdot 0\mathord{,}15=45\) грн.
Вартість оренди трьох шоломів та трьох пар рукавичок дорівнює \(3\cdot 45=135\) грн.
Відповідь: 1. \(300.\) 2. \(135.\)
На рисунку зображено куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1.\) Установіть відповідність між початком речення (1–3) та його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.
Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості паралельних прямих і площин.
1. Точка \(C_1\) симетрична точці \(A_1\) відносно площини \((BB_1D_1).\) Отже, 1 – Д.
2. \(A_1D_1\in (A_1B_1C_1)\), \(A_1D_1\ ||\ AD\), звідси \(AD\ ||\ (A_1B_1C_1).\) Отже, 2 – B.
3. \((BB_1C_1)\cap (DD_1C_1)=CC_1.\) Отже, 3 – Б.
Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.
Довжина сторони ромба \(ABCD\) дорівнює \(8\), \(\angle B=60^\circ.\) Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А – Д).
Завдання перевіряє знання властивостей ромба.
\(ABCD\) – ромб, \(\angle B=60^\circ\), \(AB=BC=CD=DA=8.\)
1. \(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(AC=8.\) Отже, 1 – B.
2. \(\Delta BCH\ (\angle H=90^\circ)\ CH=BC\cdot\sin B=8\cdot \sin 60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.\) Отже, 2 – Б.
3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка \(O.\)
За властивістю ромба \(AO=OC=\frac 12AC=4.\) Отже, 3 – A.
Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.
