Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 685

Завдання 686 з 2199

Установіть відповідність між геометричним тілом (1–4) та площею його повної поверхні (А – Д).

Геометричне тіло

1циліндр з радіусом основи $3$ та висотою $4$

2конус з радіусом основи $3$ та твірною $5$

3куб з ребром $\sqrt{3\pi}$

4куля радіуса $2\sqrt{3}$

Площа повної поверхні

А$18\pi$

Б$24\pi$

В$36\pi$

Г$42\pi$

Д$48\pi$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання (куб, куля, циліндр, конус). Формули для обчислень площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє вміння визначати площу повної поверхні куба, кулі, циліндра та конуса.

Обчислимо площу повної поверхні кожного геометричного тіла (1 – 4).

1. Площа повної поверхні циліндра, радіус основи якого дорівнює $R$, а висота – $H$, обчислюється за формулою

$$ S_\text{повн.}=S_\text{бічн.}+2S_\text{осн.}=2\pi RH+2\pi R^2=2\pi R(H+R). $$

За умовою $R=3$, $H=4$, тоді

$$ S_\text{повн.}=2\pi\cdot 3(3+4)=42\pi. $$

Отже, 1 – Г.

2. Щоб визначити площу повної поверхні конуса, потрібно знати радіус його основи $R$ та твірну $L\mathord{:}$

$$ S_\text{повн.}=S_\text{бічн.}+S_\text{осн.}=\pi RL+\pi R^2=\pi R(L+R). $$

Оскільки $R=3$, $L=5$, то

$$ S_\text{повн.}=3\pi(5+3)=24\pi. $$

Отже, 2 – Б.

3. Площу повної поверхні куба із ребром $a=\sqrt{3\pi}$ обчислюємо за формулою

$$ S_\text{повн.}=6a^2=6(\sqrt{3\pi})^2=6\cdot 3\pi=18\pi. $$

Отже, 3 – А.

4. Площа поверхні кулі радіуса $R$ визначається за формулою $$ S_\text{повн.}=4\pi R^2. $$ За умовою $R=2\sqrt{3}$, тому

\begin{gather*} S_\text{повн.}=4\pi(2\sqrt{3})^2=4\pi\cdot 12=48\pi. \end{gather*}

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 687 з 2199

У бібліотеці є лише підручники, словники, довідники та книги з художньої літератури. Відсотковий розподіл кількості цих книг у бібліотеці відображено на діаграмі.

1. Визначте загальну кількість книг у цій бібліотеці, якщо кількість підручників дорівнює $84.$

2. Скільки потрібно придбати додатково підручників, щоб отримана після цього їхня сумарна кількість відносилася до кількості довідників як $4:1$?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	700			140

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 688 з 2199

На рисунку зображено квадрат $ABCD$, сторона якого дорівнює $12.$ На сторонах $AD$ i $BC$ квадрата вибрано точки $K$ i $M$ так, що $AK=4$, $MC=3.$

1. Визначте відстань між серединами відрізків $AB$ i $KM.$

2. Обчисліть довжину відрізка $KM.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	6.5			13

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 689 з 2199

Обчислість значення похідної функції $y=\sqrt{13-3x}$ у точці $x_0=3.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 690 з 2199

У готелі для проживання туристів є одномісні, двомісні та тримісні номери. Їх всього $124.$ Якщо всі номери в готелі заповенені, то одночасно в ньому проживає $255$ туристів. Скільки всього в цьому готелі тримісних номерів, якщо кількість одномісних номерів дорівнює кількості двомісних номерів?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Застосування рівнянь та їхніх систем до розв'язування текстових задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою рівнянь та їх систем.

І спосіб. Позначимо кількість тримісних номерів через $n.$ Оскільки за умовою кількість одномісних номерів дорівнює кількості двомісних, то їх кількість становить $$ \frac{124-n}{2} $$ номерів.

В одномісних номерах при повному заповненні проживає $$ \frac{124-n}{2} $$ туристів, в двомісних – $$ 2\cdot \frac{124-n}{2}=124-n $$ туристів, в тримісних – $3n$ туристів.

Складаємо рівняння

\begin{gather*} 1\cdot \frac{124-n}{2}+2\frac{124-n}{2}+3n=255, \end{gather*}

звідки отримуємо

\begin{gather*} 124-n+2(124-n)+6n=510,\\[7pt] 124-n+248-2n+6n=510,\\[7pt] 3n=138,\\[7pt] n=46. \end{gather*}

Отже, у готелі було всього $46$ тримісних номерів.

ІІ спосіб. Якщо ввести позначення: $n$ – кількість тримісних номерів, $k$ – кількість одномісних номерів, $k$ – кількість двомісних номерів, то отримаємо систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2k+n=124,\\ k+2k+3n=255, \end{array}\right. $$ тобто $$ \left\{\begin{array}{l} 2k+n=124,\\ k+n=85. \end{array}\right. $$ Віднявши від першого рівняння друге, отримаємо $k=39$, тоді $$ n=85-39=46. $$

Відповідь: $46.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 691 з 2199

У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм $ABCD$, $\cos A=0\mathord{,}44.$ Визначте довжину діагоналі $BD$ паралелограма, якщо скалярний добуток векторів $\overrightarrow{AB}(6; -8)$ i $\overrightarrow{AD}$ дорівнює $88.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості. Координати та вектори на площині. Скалярний добуток векторів та його властивості. Теорема косинусів.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати координати й вектори до розв'язування планіметричних задач.

Нагадаємо, що скалярним добутком векторів $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$ називають число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними: $$ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \varphi, $$ де $\varphi$ – кут між векторами $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$.

Довжину вектора $\overrightarrow{a}(a_x; a_y)$ обчислюють за формулою $$ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}. $$

На рисунку $ABCD$ – паралелограм, $\overrightarrow{AB}(6; -8)$, $\cos A=0\mathord{,}44.$

За умовою $$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=88, $$ тобто $$ |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|\cos A=88. $$ Оскільки вектор $\overrightarrow{AB}(6; -8)$ відомий, то його довжина

\begin{gather*} |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=10. \end{gather*}

Визначаємо довжину вектора $\overrightarrow{AD}\mathord{:}$

\begin{gather*} 10\cdot |\overrightarrow{AD}|\cdot 0\mathord{,}44=88,\\[6pt] |\overrightarrow{AD}|=\frac{88}{4\mathord{,}4}=20. \end{gather*}

Діагональ $BD$ паралелограма $ABCD$ є стороною трикутника $ABD.$ У цьому трикутнику відомі довжини сторін $AB$ та $AD$, що дорівнюють довжинам векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{AD}$ відповідно, та косинус кута між ними. За теоремою косинусів

$$ BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cos A=10^2+20^2-2\cdot 10\cdot 20\cdot 0\mathord{,}44=324, $$

Звідки отримуємо $$ BD=\sqrt{324}=18. $$

Отже, довжина діагоналі $BD$ дорівнює $18.$

Знаючи довжини сторін $AB$ та $AD$ і косинус кута між ними, довжину діагоналі $BD$ можна визначати ще так. Опустимо з вершини $B$ на сторону $AD$ перпендикуляр $BK$.

Прямокутні трикутники $AKB$ та $BKD$ мають спільний катет, тоді виконується рівність

$$ AB^2-AK^2=BD^2-KD^2. $$

З прямокутного трикутника $AKB$ визначаємо

$$ AK=AB\cos A=10\cdot 0\mathord{,}44=4\mathord{,}4. $$

Тоді

$$ KD=20-4\mathord{,}4=15\mathord{,}6. $$

Отже, $$ 10^2-4\mathord{,}4^2=BD^2-15\mathord{,}6^2 $$ звідки отримуємо

$$ BD^2=100+15\mathord{,}6^2-4\mathord{,}4^2=100+(15\mathord{,}6-4\mathord{,}4)(15\mathord{,}6+4\mathord{,}4)=100+11\mathord{,}2\cdot 20=324, $$

тоді $$ BD=\sqrt{324}=18. $$

Відповідь: $18.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 692 з 2199

У чайному кіоску в наявності є лише розфасований у коробки по $100$ г листовий чорний чай $8$ видів, серед яких є вид "чорна перлина". Покупець вирішив придбати в цьому кіоску для подарункового набору три коробки чорного чаю трьох різних видів, серед яких обов'язково повинен бути вид "чорна перлина". Скільки всього в покупця є варіантів такого придбання трьох коробок чаю для набору з наявних у кіоску?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей і статистика. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати комбінаторні задачі з практичним змістом, використовуючи комбінаторні формули.

Оскільки серед трьох різних видів чаю, які обирає покупець, обов'язково є вид "чорна перлина", то шукана кількість варіантів вибору трьох коробок чаю дорівнює кількості варіантів вибору двох коробок різних видів з $7$ видів чаю, відмінних від виду "чорна перлина". Тому всього у покупця є $C_7^2$ варіантів сформувати такий набір з трьох коробок чаю. Використовуючи формулу $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}, $$ в якій $$ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ \text{...}\ \cdot (n-1)n, $$ знайдемо:

$$ C_7^2=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{5!\cdot 6\cdot 7}{2!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7}{2}=21. $$

Наведені міркування можна обґрунтувати ще так.

Правило добутку. Якщо елемент $A$ можна вибрати $n$ способами, а після цього елемент $B$ – $m$ способами, то $A$ i $B$ можна вибрати $nm$ способами.

Розділимо $8$ видів чаю на дві частини: перша частина – вид чаю "чорна перлина", а друга – решта $7$ видів. Набір з $3$ видів чаю містить чай виду "чорна перлина" та двох інших видів. Вид чаю "чорна перлина" з одного виду можна вибрати лише одним способом $(C_1^1=1)$, а чай двох інших різних видів можна вибрати $C_7^2$ способами. Оскільки вибір чаю "чорна перлина" та чаю двох інших видів не залежить один від одного, то за правилом добутку загальна кількість варіантів формування наборів чаю, зазначених в умові, дорівнює $$ C_1^1C_7^2=1\cdot C_7^2=21. $$

Зауваження. Важливо розрізняти, у яких випадках потрібно застосовувати формулу для обчислення кількості комбінацій: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}, $$ а в яких – формулу для обчислення кількості розміщень:

$$ A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}=n\cdot (n-1)\cdot\ \text{...}\ \cdot (n-m+1). $$

У нашому випадку, під час формування наборів чаю не важливим є порядок вибору виду чаю, тому використано формулу для обчислення кількості комбінацій.

Відповідь: $21.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 693 з 2199

Побудуйте графік функції $$ y=\frac{x^2-x-2}{|x+1|}. $$ Користуючить графіком, визначте область значень цієї функції.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Побудова графіків функцій.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій.

Щоб виконати це завдання, потрібно вміти розкладати квадратний тричлен на лінійні множники, знати означення модуля числа та вміти розкрити модуль лінійного виразу, будувати графік лінійної функції, знати означення області значень функції та вміти визначати її за графіком функції.

Розв'язання завдання слушно розбити на такі кроки.

Перший крок. Спростимо задану функцію.

Спочатку розкладемо на лінійні множники квадратичний вираз $$ x^2-x-2. $$ Це можна зробити кількома способами. Наприклад, можна скористатися формулою

\begin{gather*} ax^2+bc+c=a(x-x_1)(x-x_2), \end{gather*}

в якій $x_1$, $x_2$ – корені квадратного рівняння $$ ax^2+bx+c=0. $$

У нашому випадку $x_1=-1$, $x_2=2$, $a=1.$ Тому $$ x^2-x-2=(x+1)(x-2). $$

Можна розкласти квадратичний вираз на множники, використовуючи метод групування, наприклад, так:

$$ x^2-x-2=x^2-2x+x-2=x(x-2)+(x-2)=(x-2)(x+1). $$

За означенням модулем числа $a$ називають саме це число, якщо воно є невід'ємним, і протилежне до $a$ число, якщо воно є від'ємним, тобто

$$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$

Отже,

$$ |x+1|=\left\{\begin{array}{l} x+1,\ \text{якщо}\ x+1\ge 0, \\ -(x+1),\ \text{якщо}\ x+1\lt 0, \end{array}\right. $$

тобто

$$ |x+1|=\left\{\begin{array}{l} x+1,\ \text{якщо}\ x\ge -1, \\ -(x+1),\ \text{якщо}\ x\lt -1. \end{array}\right. $$

Враховуємо, що знаменник будь-якого дробу не може дорівнювати нулю. Отже, область визначення функції задається умовою $|x+1|\ne 0$, тобто $D(y)=(-\infty; -1)\cup (-1; +\infty).$ Тоді

$$ y=\frac{x^2-x-2}{|x+1|}=\frac{(x+1)(x-2)}{|x+1|}= \left\{\begin{array}{l} x-2,\ \text{якщо}\ x\gt -1, \\ 2-x,\ \text{якщо} x\lt -1. \end{array}\right. $$

Другий крок. Будуємо графік заданої функції. Він є об'єднанням графіків лінійних функцій $y=x-2$, заданої на проміжку $(-1; +\infty)$, та $y=2-x$, заданої на проміжку $(-\infty; -1).$

Областю значень функції $$ y=\frac{x^2-x-2}{|x+1|} $$ є проміжок $(-3; +\infty).$

Нагадаємо, що область значень функції $y=f(x)$ – це множина, що складається з усіх значень $y$, яких набуває ця функція при всіх значеннях $x$, що належать її області визначення.

Геометрично, щоб визначити область значень функції, потрібно спроектувати її графік на вісь ординат.

Відповідь: $E(y)=(-3; +\infty).$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 694 з 2199

Основою піраміди $SABCD$ є ромб $ABCD$, більша діагональ якого $AC=30.$ Грань $SBC$ є рівнобедреним трикутником $(SB=SC)$ і перпендикулярна до площини основи піраміди. Ребро $SC$ нахилено до площини основи піраміди під кутом $30^\circ.$ Визначте кут між площинами $(SAD)$ i $(ABC)$, якщо висота піраміди дорівнює $5.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Чотирикутна піраміда. Кут між прямою та площиною, площинами. Планіметрія. Ромб та його властивості.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач, зокрема, знаходити міру кута між площинами.

Для розв'язання завдання потрібно перш за все правильно побудувати рисунок, важливо правильно показати положення висоти піраміди, знати означення кута між площинами, двогранного кута та його лінійного кута, вміти визначати довжини відрізків, використовуючи теорему Піфагора чи тригонометричні співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

1) Нехай $SABCD$ – задана правильна чотирикутна піраміда, ромб $ABCD$ – основа піраміди, діагоналі якого перпендикулярні і перетинаються в точці $O.$ Оскільки грань $SBC$ перпендикулярна до площини основи піраміди, то точка $K$ – основа висоти піраміди – належить відрізку $BC.$ Оскільки у трикутнику $SBC\ SB=SC$, то точка $K$ є серединою сторони $BC.$ Кут нахилу ребра $SC$ до площини основи піраміди – це кут між ребром $SC$ та відрізком $KC$, що є ортогональною проекцією цього ребра на площину основи піраміди.

Отже, $\angle SCK=30^\circ.$ Крім цього, у прямокутному трикутнику $SKC$ відомий катет $SK=5.$ Тоді

\begin{gather*} KC=SK\mathrm{ctg} 30^\circ=5\sqrt{3},\\[7pt] BC=2KC=10\sqrt{3}. \end{gather*}

Розглянемо прямокутний трикутник $BOC\mathord{:}$ $\angle O=90^\circ$, $BC=10\sqrt{3}$ – гіпотенуза, $OC=\frac 12AC=15$ – катет. За теоремою Піфагора

$$ BO=\sqrt{BC^2-OC^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2-15^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}. $$

Тоді $$ BD=2BO=10\sqrt{3}. $$

У трикутнику $BCD$ усі сторони рівні: $$ BD=BC=DC=10\sqrt{3}. $$ Отже, відрізок $DK$ є висотою цього трикутника, проведеної з вершини $D$ до сторони $BC.$ Звідси випливає, що площина, що проходить через висоту $SK$ перпендикулярно до прямої $AD$ перетинає цю пряму в точці $D.$ Таким чином, $\angle SDK$ – кут між площинами $(SAD)$ i $(ABC)$ (він є також лінійним кутом двогранного кута при ребрі $AD$). У прямокутному трикутнику $SKD$ відомі катети $SK=5$ та $DK=OC=15.$ Тоді $$ \mathrm{tg}\ \angle SDK=\frac{SK}{DK}=\frac{5}{15}=\frac 13. $$ Отже, кут між площинами $(SAD)$ i $(ABC)$ дорівнює $\mathrm{arctg}\ \frac 13.$

Зауваження. Оскільки відрізок $KD$ – це висота ромба $ABCD$, то довжину висоти ромба можна визначити за формулою $$ h=\frac Sa, $$ де $S$ – площа ромба, $a$ – сторона ромба. Для обчислення площі ромба можна застосувати, наприклад, формулу $$ S=\frac 12d_1d_2, $$ де $d_1$, $d_2$ – діагоналі ромба.

Відповідь: $\mathrm{arctg}\ \frac 13.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 695 з 2199

Розв'яжіть рівняння $$ \frac{\sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}-2\sqrt{2a}}{5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x}=0 $$ залежно від значень параметра $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

33

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння мішаного типу з параметром.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння залежно від значення параметра.

Задане рівняння

$$ \frac{\sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}-2\sqrt{2a}}{5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x}=0 $$

ріносильне системі

$$ \left\{\begin{array}{l} \sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}-2\sqrt{2a}=0,\\ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x\ne 0. \end{array}\right. $$

Знайдемо корені рівняння

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x=0. $$

Для цього запишемо це рівняння у вигляді

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^a\cdot 5^x+5^x-5^{a-1}=0, $$

тобто

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^x\cdot (5^a-1)-5^{a-1}=0, $$

і розглянемо його як квадратне відносно $5^x.$ Знайдемо дискримінант

$$ D=(5^a-1)^2-4\cdot 5\cdot (-5^{a-1})=5^{2a}-2\cdot 5^a+1+4\cdot 5^a=(5^a+1)^2. $$

Тоді:

1)

$$ (5^x)_1=\frac{(5^a-1)-(5^a+1)}{2\cdot 5}=-\frac 15. $$

Оскільки завжди $5^x\gt 0$, то рівняння $5^x=-\frac 15$ не має коренів.

2)

$$ (5^x)_2=\frac{(5^a-1)+(5^a+1)}{2\cdot 5}=\frac{2\cdot 5^a}{2\cdot 5}=\frac{5^a}{5}=5^{a-1}. $$

Рівняння $5^x=5^{a-1}$ має єдиний корінь $x=a-1.$

Отже, рівняння

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x=0 $$

має єдиний корінь $x=a-1$, відповідно нерівність

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x\ne 0 $$

виконується для всіх $x\ne a-1.$

Рівняння

$$ \sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}-2\sqrt{2a}=0 $$

рівносильно системі

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2+(4a-4)x+4a^2=8a,\\ a\ge 0, \end{array}\right. \end{gather*}

тобто

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2+(4a-4)x+4a^2-8a=0,\\ a\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Зауваження. Окремо розв'язувати нерівність

$$ x^2+(4a-4)x+4a^2\ge 0 $$

залежно від значень $a$ непотрібно. Адже рівняння $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ на множині розв'язків рівносильне системі

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0, \end{array}\right. \end{gather*}

яка, в свою чергу, рівносильна кожній із систем

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ f(x)\ge 0, \end{array}\right.\ \ \text{або}\ \ \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ g(x)\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

На практиці з останніх двох систем розглядаємо ту, у якій нерівність $f(x)\ge 0$ чи $g(x)\ge 0$ є простішою.

Розв'яжемо квадратне рівняння

\begin{gather*} x^2+(4a-4)x+4a^2-8a=0\mathord{:}\\[7pt] D=(4a-4)^2-4\cdot 1\cdot (4a^2-8a)=16a^2-32a+16-16a^2+32a=16,\\[7pt] \sqrt{D}=4,\\[6pt] x_1=\frac{-(4a-4)-4}{2}=-2a,\\[6pt] x_2=\frac{-(4a-4)+4}{2}=4-2a\ - \ \text{корені квадратного рівняння}, \end{gather*}

причому $x_1\ne x_2$ для всіх значень параметра $a.$

Зауваження. Квадратне рівняння

$$ x^2+(4a-4)x+4a^2-8a=0 $$

можна розв'язати, виконавши низку наступних перетворень:

\begin{gather*} x^2+4ax+4a^2-4x-8a=0,\\[7pt] (x+2a)^2-4(x+2a)=0,\\[7pt] (x+2a)(x+2a-4)=0, \end{gather*}

звідси отримуємо $x+2a=0$ або $x+2a-4=0$, тобто $x=-2a$ або $x=4-2a.$

Залишилося врахувати обмеження на параметр $a\mathord{:}$ $a\ge 0$ та на $x\mathord{:}$ $x\ne a-1.$

Значення $x_1=-2a$ буде коренем заданого рівняння, якщо $a\ge 0$ i $x_1=-2a\ne a-1$, що виконується при $a\ne \frac 13.$

Значення $x_2=4-2a$ буде коренем заданого рівняння, якщо $a\ge 0$ i $x_2=4-2a\ne a-1$, що виконується при $a\ne \frac 53.$

При $a=\frac 13$ рівняння має єдний корінь

$$ x_2=4-2\cdot \frac 13=4-\frac 23=3\frac 13, $$

а при $a=\frac 53$ – єдиний корінь

$$ x_1=-2\cdot \frac 53=-3\frac 13. $$

Позначимо область існування коренів на числовій прямій:
$x=-2a$

$x=4-2a$

Відповідь: рівняння не має змісту, якщо $a\in (-\infty; 0)$;
                   $\{-2a; 4-2a\}$, якщо $a\in \left[0; \frac 13\right)\cup \left(\frac 13; 1\frac 23\right)\cup \left(1\frac 23; +\infty\right)$;
                   $\{3\frac 13\}$, якщо $a=\frac 13$;
                   $\{-3\frac 13\}$, якщо $a=1\frac 23$.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 696 з 2199

Різниця двох кутів, отриманих при перетині двох прямих (див. рисунок), дорівнює $120^\circ.$ Визначте градусну міру кута $\alpha.$

А$30^\circ$

Б$100^\circ$

В$120^\circ$

Г$140^\circ$

Д$150^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 697 з 2199

Розв'яжіть нерівність $-\frac x5\gt 5.$

А$(-\infty; -25)$

Б$(-\infty; -1)$

В$(-\infty; 25)$

Г$(-1; +\infty)$

Д$(-25; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 698 з 2199

Спростіть вираз $(a^6)^4:a^2$, де $a\ne 0.$

А$a^5$

Б$a^8$

В$a^{10}$

Г$a^{12}$

Д$a^{22}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 699 з 2199

На діаграмі відображено дані про обсяг виробництва какао-бобів (у тис. тонн) у 2009 році в семи країнах-лідерах.

Користуючись діаграмою, укажіть проміжок, якому належить значення маси (у тис. тонн) какао-бобів, вирощенних у країні, що посіла у 2009 році третє місце за обсягом їх виробництва.

А$[200; 300]$

Б$[300; 400]$

В$[600; 700]$

Г$[700; 800]$

Д$[1200; 1300]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 700 з 2199

Розв'яжіть рівняння $3^{x+4}=27.$

А$x=-2$

Б$x=-1$

В$x=0$

Г$x=3$

Д$x=5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на