ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, нерівності з параметрами; рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Знайдемо область допустимих значень: $$ \left\{\begin{array}{l} |x+6|-|x|+6\ne 0,\ \ (1)\\ x+2a\ge 0,\\ 4-x\ge 0. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо рівняння (1): $$ |x+6|-|x|+6\ne 0 $$

I) при \(x\in (-\infty; -6]\) \begin{gather*} -x-6+x+6=0,\\[7pt] 0=0 \end{gather*} при будь-якому значенні \(x\) знаменник дорівнює нулю, тому на даному проміжку коренів немає.

II) при \(x\in (-6; 0)\) \begin{gather*} x+6+x+6=0,\\[7pt] x=-6 \end{gather*} на даному проміжку немає значень \(x\) при яких знаменник дорівнює нулю.

III) при \(x\in [0; +\infty)\) \begin{gather*} x+6-x+6=0,\\[7pt] 12\ne 0 \end{gather*} на даному проміжку немає значень \(x\) при яких знаменник дорівнює нулю.

Якщо \(-2a\gt 4\), то \(a\lt -2\) розв'язків немає.

Розглянемо випадок \(-2a\le 4\), \(a\ge -2.\)

На області допустимих значень \(x_2=7n,\ n\in Z\) має \(x=0\) корінь.

\(x_1=2-a\) – корінь за умови

при \(a\in [-2; 8)\)

при \(x_1=x_2=0\), \(\ 2-a=0\), \(\ a=2.\)

Відповідь: при \(a\in (-\infty; -2)\) немає коренів;
                   при \(a\in [-2; 0)\ x=2-a\);
                   при \(a\in [0; 2]\cup (2; 8)\ x_1=2-a\); \(x_2=0\);
                   при \(a\in [8; +\infty)\cup \left\{2\right\}\ x=0.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання кута між прямою та площиною, між площинами, уміння застосовувати властивості піраміди до розв'язування стереометричних задач.

1. 

2. \(SA\ \perp\ (ABC)\), \(SB\) – похила, отже \(AB\) – проекція \(SB\) на \((ABC).\) Тому кут між площинами \(SB\) та \((ABC)\mathord{:}\ \angle SBA=30^\circ.\)

3. У \(\Delta SAB\ (\angle A=90^\circ)\)

4. За умовою, \(\Delta ABC\) – гострокутний, тому основа висоти \(AK\) до сторони \(BC\) належить стороні \(BC.\)

5. \(AK\ \perp\ BC\), \(SK\ \perp BC\) (за теоремою про три перпендикуляри), звідси \((SAK)\ \perp\ BC\), а отже \(\angle SKA\) – лнійний кут двогранного кута між площинами \((SBC)\) та \((ABC).\)

6. 

отже, \(AK=8.\)

7. У \(\Delta SAK\ (\angle A=90^\circ)\)

Відповідь: \(\mathrm{arctg}\ \frac{3\sqrt{3}}{4}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння першого степеня, застосовувати загальні методи та прийоми в процесі розв’язання рівнянь.

Розв’яжемо рівняння першого степеня відносно \(y:\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Аксіоми планіметрії.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з раціональним показником, уміння розв’язувати показникові та лінійні рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань між двома точками в просторі, знання рівняння сфери.

Рівняння сфери $$ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. $$ Центр сфери \((0; 0; 0).\)

Точка \(A(0; 0; -5)\) належить сфері, тому радіус сфери \(R=5.\) Рівняння даної сфери $$ x^2+y^2+z^2=25. $$

Координати точки \(N(0; 0; 5)\) задовольняють даному рівнянню.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функцій, уміння розв’язувати рівняння першого степеня.

Точка перетину графіка функції \(y=2x-2\) з віссю абсцис має ординату нуль \((y=0).\) Абсцису точки знаходимо з рівняння:

Точка перетину графіка з віссю абсцис \((1; 0).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Оскільки обидва дроби мають однаковий знаменник, перетворимо заданий вираз у такій послідовності:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, властивостей паралельних прямих, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

\(\angle ABC+\angle CBD+\angle DBE=180^\circ\), \(\angle CBD=\angle BDE=70^\circ\), як внутрішні різносторонні при \(m\ ||\ n\) та січною \(BD.\) Кут \(\mathbf{\alpha}=180^\circ-60^\circ-70^\circ=50^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ірраціональні рівняння. Функції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, знаходити область визначення функції, знання методів розв’язування ірраціональних рівнянь.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата. Отримали рівняння, яке є наслідком даного:

Перевірка показує, що \(x=-2\mathord{,}5\) є коренем даного рівняння:

Корінь рівняння належить проміжку \([-3; -1).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Паралельність і перпендикулярність прямої і площини. Паралельність площин.

Це завдання перевіряє знання можливого взаємного розташування прямих та площин у просторі.

I. Твердження є правильним, достатньо щоб пряма \(a\) була перпендикулярна до кожної з двох прямих \(c\) та \(b.\)

II. Твердження є правильним, через точку \(A\) можна провести безліч перпендикулярних площин до площини \(\mathbf{\alpha}.\) Достатньо, щоб побудована перпендикулярна площина проходила через пряму \(a\) з п. I.

III. Твердження є неправильним. Згідно з аксіомою стереометрії: якщо дві площини мають спільну точку, то вони або збігаються, або перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку. Тобто якщо провести через точку \(A\) паралельну площину \(\mathbf{\beta}\) – то вона збігатиметься з площиною \(\mathbf{\alpha}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання основних тригонометричних тотожностей та вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

З означення арифметичної прогресії \(a_{n+1}=a_n+d.\) Так як \(a_5=a_4+3\), то \(d=3.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії $$ a_n=a_1+(n-1)d, $$ знаходимо:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення. Функції. Основні властивості логарифмічної функції.

Це завдання перевіряє вміння виконувати перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмічної функції.

Функція \(y=\log_2x\) зростаюча, тому

Тому \(x\in (3; 4).\)

Відповідь: Г.