Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 775

Математика. Всі запитання починаючи з 775

776777778779780781782783784785786787788789790 ▶

Завдання 776 з 2199

Укажіть похідну функції $y=\sin x-\cos x+1.$

А$y'=\cos x+\sin x+1$

Б$y'=\cos x-\sin x$

В$y'=-\cos x-\sin x+x$

Г$y'=-\cos x-\sin x$

Д$y'=\cos x+\sin x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, похідну суми.

За правилами диференціювання $(u\pm v)'=u'\pm v'$ та таблицею похідних знаходимо:

\begin{gather*} y'=(\sin x-\cos x+1)'=(\sin x)'-(\cos x)'+1'=\cos x+\sin x. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 247. Запитання: 12084

Завдання 777 з 2199

Нехай $m$ i $n$ – довільні дійсні числа, $a$ – довільне додатне число, $a\ne 1.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо $(a^m)^n=a^4$, то

2Якщо $a^m\cdot a^n=a^4$, то

3Якщо $\sqrt[8]{a^m}=\sqrt{a^n}$, то

4Якщо $\frac{a^n}{a^m}=\frac{1}{a^4}$, то

Закінчення речення

А$m+n=4.$

Б$m-n=4.$

В$mn=4.$

Г$m=4n.$

Д$m=8n.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії над ними.

Це завдання перевіряє знання означення кореня n-го степеня та його властивостей; означення степеня з натуральним, цілим та раціональним показниками, їхні властивості.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. $(a^m)^n=a^4$, то $a^{mn}=a^4$, $mn=4.$ Отже, 1 – B.

2. $a^m\cdot a^n=a^4$, то $a^{m+n}=a^4$, $m+n=4.$ Отже, 2 – A.

3. $\sqrt[8]{a^m}=\sqrt{a^n}$, то $a^{\frac m8}=a^{\frac n2}$, $\frac m8=\frac n2$, $2m=8n$, $m=4n.$ Отже, 3 – Г.

4. $\frac{a^n}{a^m}=\frac{1}{a^4}$, то $a^{n-m}=a^{-4}$, $n-m=-4$, $m-n=4.$ Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – А, 3 – Г, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 247. Запитання: 12086

Завдання 778 з 2199

У трикутнику $ABC:\ AB=c$, $BC=a$, $AC=b.$ До кожного початку речення
(1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо $a=b=c$,

2Якщо $c^2=a^2+b^2$,

3Якщо $a=c=\frac{b}{\sqrt{2}}$,

4Якщо $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \left(-\frac 12\right)$,

Закінчення речення

Ато $\angle C=30^\circ.$

Бто $\angle C=45^\circ.$

Вто $\angle C=60^\circ.$

Гто $\angle C=90^\circ.$

Дто $\angle C=120^\circ.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, уміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо $a=b=c$, то $\Delta ABC$ – рівносторонній.

Усі кути рівностороннього трикутника дорівнюють $60^\circ$, $\angle C=60^\circ.$

Отже, правильна відповідь – B.

2. Якщо $c^2=a^2+b^2$, то $\Delta ABC$ – прямокутний за наслідком з теореми косинусів.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Якщо $a=c=\frac{b}{\sqrt{2}}$, то $\Delta ABC$ – рівнобедрений з бічними сторонами $a=c$ та основою $b.$

$BH\ \perp\ AC.$ Так як $CB=BA$, то $CH=HA=\frac b2$ (висота є медіаною).

У $\Delta BHC\ (\angle H=90^\circ)$, $\cos C=\frac{CH}{CB}$, $\cos C=\frac b2:a=\frac b2:\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\angle C=45^\circ.$

Отже, правильна відповідь – Б.

4. Якщо $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \left(-\frac 12\right)$ за теоремою косинусів $\cos C=-\frac 12$, $\angle C=120^\circ.$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 247. Запитання: 12087

Завдання 779 з 2199

Радіус основи конуса дорівнює $r$, а твірна – $l.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо площа бічної поверхні конуса втричі більша за площу його основи, то

2Якщо висота конуса дорівнює радіусу його основи, то

3Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то

4Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює $5\mathbf{\pi}r^2$, то

Закінчення речення

А$l=2r.$

Б$l=\sqrt{2}r.$

В$l=3r.$

Г$l=4r.$

Д$l=r.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, знання формул для обчислення площ поверхонь тіл обертання, знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо $S_\text{б.п.}=3S_\text{осн}$, то $S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}rl$, $S_\text{осн}=\mathbf{\pi}r^2$, $\mathbf{\pi}rl=3\mathbf{\pi}r^2$, $l=3r.$ Отже, 1 – B.

2. Якщо висота конуса дорівнює радіусу основи, то $AO=OB=r$, $\Delta AOB$ – прямокутний рівнобедрений, за теоремою Піфагора $AB^2=OB^2+AO^2$, $l^2=r^2+r^2$, $l=r\sqrt{2}.$ Отже, 2 – Б.

3. Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то $l=2r.$ $OB$ – проекція твірної $AB$ на площину основи. Отже, 3 – А.

4. Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює $5\mathbf{\pi}r^2$

\begin{gather*} S_\text{п.п.}=S_\text{б.п.}+S_\text{осн.}=\mathbf{\pi}rl+\mathbf{\pi}r^2=\mathbf{\pi}r(l+r)=5\mathbf{\pi}r^2,\\[7pt] l+r=5r,\\[7pt] l=4r. \end{gather*}

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 247. Запитання: 12088

Завдання 780 з 2199

Для поповнення рахунку телефону Андрій уніс певну суму грошей до платіжного термінала. З цієї суми утримано комісійний платіж у розмірі $2$ грн $40$ коп, що становить $3\ \text{%}$ від суми, унесеної до терміналу. У результаті рахунок телефону поповнено на решту внесеної суми.

1. Яку суму грошей (у гривнях) Андрій уніс до платіжного термінала?

2. Мобільний оператор, послугами якого користується Андрій, нараховує $8$ бонусів за кожні $5$ грн, на які поповнено рахунок телефону. На залишок грошей, менший за $5$ грн, бонуси не нараховуються. Скільки бонусів нараховано Андрію за здійснене ним поповнення телефону?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	80			120

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити число за значенням його відсотка, розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки.

1. Оскільки $2$ грн $40$ коп це $3\text{%}$, то Андрій вніс $$ 2\mathord{,}4 : 0\mathord{,}03 = 240 : 3 = 80\ \textit{грн}. $$

2. Оскільки Андрій вніс до терміналу $80$ грн, то на телефон була внесена сума $$ 80 - 2\mathord{,}4 = 77\mathord{,}6\ \textit{грн} $$ з урахуванням комісії. $$ 77\mathord{,}6 : 5 = 15\mathord{,}52. $$ Таким чином, бонусів нарахують $$ 15\cdot 8=120. $$

Відповідь: 1. $80.$
2. $120.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 247. Запитання: 12089

Завдання 781 з 2199

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ та квадрат $KBCM.$ Точки $K$ i $M$ – середини діагоналей $AC$ і $BD$ трапеції відповідно. Площа квадрата $KBCM$ дорівнює $18$ см$^2.$

1. Визначте довжину діагоналі $AC$ (у см).

2. Обчисліть площу трапеції $ABCD$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			72

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Фалеса, властивостей середньої лінії трикутника, трапеції, теореми Піфагора, уміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язання планіметричних задач.

1. Оскільки площа квадрата $KBCM\ 18$ см$^2$, то

$$ BC=CM=KM=BK=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \textit{см}. $$

$KM$ з'єднує середини діагоналей $AC$ та $BD$, належить середній лінії $LN.$

$\Delta ACE\ (\angle E=90^\circ)\ CE\ \perp\ AD$, $KM$ – середня лінія $KM=\frac 12AE$, $AE=2KM=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ см.

За теоремою Фалеса $MK\ ||\ AD$, оскільки середина $AC$, тому точка $M$ – середина $CE.$ $CE=2CM=6\sqrt{2}$ см.

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AE^2+CE^2=(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=144\ \textit{см}^2,\\[7pt] AC=12\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Оскільки $LK$ – середня лінія $\Delta BAC$, $MN$ – середня лінія $\Delta BCD$, то

\begin{gather*} LK=MN=\frac 12BC=\frac{3\sqrt{2}}{2}\ \textit{см},\\[6pt] LN=LK+KM+MN=2\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\ \textit{см},\\[6pt] S_{ABCD}=LN\cdot CE=6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: 1. $12.$
2. $72.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 247. Запитання: 12090

Завдання 782 з 2199

Знайдіть область визначення функції $$ y=\frac{1}{\sqrt{56-4x}}. $$ У відповіді запишіть найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції, розв'язувати нерівності першого степеня.

Область визначення знаходимо з розв'язку нерівності \begin{gather*} 56-4x \gt 0\\[7pt] -4x\gt -56\ |:(-4)\\[7pt] x\lt 14. \end{gather*}

Найбільше ціле двоцифрове число – $13.$

Відповідь: $13.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 247. Запитання: 12091

Завдання 783 з 2199

Автобус вирушив з міста $A$ до міста $B$, відстань між якими становить $150$ км. Через $30$ хв із міста $A$ до міста $B$ тією самою дорогою вирушив автомобіль, швидкість якого в $1\frac 15$ раза більша за швидкість автобуса. Скільки часу (у год) витратив на дорогу з міста $A$ до міста $B$ автомобіль, якщо він прибув до міста $B$ одночасно з автобусом? Уважайте, що автобус та автомобіль рухалися зі сталими швидкостями.

Впишіть відповідь:

2.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, знання методів розв'язування раціональних рівнянь.

Нехай швидкість автобуса $x$ км/год, тоді швидкість автомобіля

$$ 1\frac 15x=1\mathord{,}2x\ \text{км}/\text{год}. $$

$150$ км автобус проїжджає за $\frac{150}{x}$ год, а автомобіль за $\frac{150}{1\mathord{,}2x}$ год. Це на $30$ хв $\left(\frac 12\ \textit{год}\right)$ менше. Розв'яжемо рівняння

\begin{gather*} \frac{150}{x}-\frac{150}{1\mathord{,}2x}=\frac 12,\\[6pt] \frac{150\cdot(1\mathord{,}2-1)}{1\mathord{,}2x}=\frac 12,\\[6pt] \frac{150\cdot 0\mathord{,}2}{1\mathord{,}2x}=\frac 12,\\[6pt] x=\frac{150\cdot 0\mathord{,}2\cdot 2}{1\mathord{,}2}=50\ \text{км}/\text{год}. \end{gather*}

Час, за який автомобіль долає відстань між $A$ та $B$ $$ \frac{150}{1\mathord{,}2\cdot 50}=2\mathord{,}5\ \textit{год}. $$

Відповідь: $2\mathord{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 247. Запитання: 12092

Завдання 784 з 2199

У торбинці лежать $3$ цукерки з молочного шоколаду та $m$ цукерок з чорного шоколаду. Усі цукерки – однакової форми й розміру. Якого найменшого значення може набувати $m$, якщо ймовірність навмання витягнути з торбинки цукерку з молочного шоколаду менша за $0\mathord{,}25$?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірносі та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Це завдання перевіряє знання означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірності випадкових подій, розв'язувати нерівності першого степеня, раціональні.

Цукерок з молочного шоколаду – $3$, з чорного шоколаду – $m.$

Ймовірність навмання витягнути цукерку з молочного шоколаду $$ P=\frac{3}{3+m}. $$

Якщо ймовірність менше $0\mathord{,}25$, то

\begin{gather*} \frac{3}{3+m}\lt 0\mathord{,}25,\\[6pt] \frac{3}{3+m}\lt \frac 14,\\[6pt] \frac{3}{3+m}-\frac 14\lt 0,\\[6pt] \frac{12-(3+m)}{4\cdot (3+m)}\lt 0,\\[6pt] \frac{9-m}{4\cdot (3+m)}\lt 0. \end{gather*}

Оскільки знаменник дробу набуває тільки додатні значення, то

\begin{gather*} 9-m\lt 0,\\[7pt] -m\lt -9,\\[7pt] m\gt 9. \end{gather*}

$m$ – кількість цукерок, тому набуває цілі, додатні значення. $m=10.$

Відповідь: $10.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 247. Запитання: 12093

Завдання 785 з 2199

У прямокутній системі координат на площині задано взаємно перпендикулярні вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{a}(4; 3).$ Визначте абсцису точки $B$, якщо $A(-2; 0)$, а точка $B$ лежить на прямій $y=2x.$

Впишіть відповідь:

-0.8

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора, знаходити скалярний добуток векторів, застосовувати координати й вектори до розв'язування планіметричних задач.

$\overrightarrow{AB}\ \perp \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{a}(4;3).$ Точка $A(-2; 0)$, а точка $B$ лежить на прямій $y=2x$, тому $B(x; 2x).$

Координати вектора $\overrightarrow{AB}(x+2; 2x).$ Координати $\overrightarrow{a}$ та $\overrightarrow{AB}$ взаємно перпендикулярні, тому скалярний добуток їх дорівнює нулю.

\begin{gather*} \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\\[7pt] 4(x+2)+3\cdot 2x=0,\\[7pt] 4x+8+6x=0,\\[7pt] 10x+8=0,\\[7pt] 10x=-8,\\[7pt] x=-0\mathord{,}8. \end{gather*}

Відповідь: $-0\mathord{,}8.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 247. Запитання: 12094

Завдання 786 з 2199

Задано функції $f(x)=x^2-6x+9.$

1. Визначте координати точок перетину графіка функції $f$ з осями координат.

2. Побудуйте графік функції $f.$

3. Запишіть загальний вигляд первісних для функції $f.$

4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функції $f$ та осями $x$ i $y.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ.

Це завдання перевіряє вміння використовувати перетворення графіків функцій для побудови графіків, знаходити первісну, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

1. Знайдемо координати точок перетину графіка $f$ з осями координат

\begin{gather*} x=0,\ \ f(0)=0^2-6\cdot 0+9=9;\\[7pt] f(x)=0,\ \ x^2-6x+9=0,\ \ (x-3)^2=0,\ \ x=3. \end{gather*}

2. Побудова графіка. $f(x)=x^2-6x+9$ – квадратична функція, графік – парабола. $f(x)=(x-3)^2.$

Побудуємо перетворенням графіка функції $y=x^2$ на $3$ одиниці вправо вздовж осі $Ox.$

\begin{gather*} F(x)=\frac{x^3}{3}-6\cdot \frac{x^2}{2}+9x+C=\frac{x^3}{3}-3x^2+9x+C,\ C\in R. \end{gather*}

4. Площa фігури.

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_{0}^3 (x^2-6x+9) dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}-3x^2+9x\right)\right|_0^3=\\[6pt] =\frac{3^3}{3}-3\cdot 3^2+9\cdot 3=9-27+27-0=9\ \text{кв. од.} \end{gather*}

Відповідь: 1. $(0; 9)$, $(3; 0).$
3. $\frac{x^3}{3}-3x^2+9x+C.$
4. $9$ кв. од.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 247. Запитання: 12095

Завдання 787 з 2199

Основою правильної призми $ABCA_1B_1C_1$ є рівносторонній трикутник $ABC.$ Точка $K$ – середина ребра $BC.$ Площина, що проходить через точки $A$, $K$ та $B_1$, утворює з площиною основи призми кут $\mathbf{\alpha}.$ Визначте об'єм призми $ABCA_1B_1C_1$, якщо відстань від вершини $A$ до грані $BB_1C_1C$ дорівнює $d.$

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості перпендикулярних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення об'ємів многогранників, уміння використовувати пряму та обернену теорему про три перпендикуляри для знаходження кута між площинами.

Нехай $ABCA_1B_1C_1$ – дана правильна призма. $\Delta ABC$ – рівносторонній, висота призми – бічне ребро.

Площина $(AB_1K)$ перетинає $(B_1BC)$ по прямій $B_1K$, $(AB_1K)\cap (ABC)=AK$, $(A_1B_1K)\cap (AB_1B)=AB_1.$

$BB_1\ \perp\ (ABC)$, $B_1K$ – похила, $BK$ – проекція похилої $B_1K$ на площину $ABC.$

$AK$ – медіана та висота $\Delta ABC$, тому $AK\ \perp\ BK.$ За теоремою оберненою до теореми про три перпендикуляри $B_1K\ \perp\ AK.$

За ознакою перпендикулярності прямої та площини $(BCB_1)\ \perp\ AK.$

$(B_1KA)\cap (ABC)=AK\Rightarrow \angle B_1KB=\mathbf{\alpha}$ – лінійний кут відповідного двогранного при ребрі $AK.$

$AK=d.$ У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$, $\angle B=60^\circ$,

\begin{gather*} BK=\frac 12AB=\frac{AK}{2\sin 60^\circ}=\frac{2d}{2\sqrt{3}}=\frac{d}{\sqrt{3}}\cdot AB=\frac{2d}{\sqrt{3}},\\[6pt] S_{\Delta ABC}=\frac 12BC\cdot AK=BK\cdot AK=\frac{d}{\sqrt{3}}\cdot d=\frac{d^2}{\sqrt{3}},\\[6pt] \Delta BB_1K\ (\angle B=90^\circ),\ \angle K=\mathbf{\alpha},\\[6pt] BB_1=BK\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac{d\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}}{\sqrt{3}},\\[6pt] V_\text{призми}=S_{ABC}\cdot BB_1=\frac{d^2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{d\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}}{\sqrt{3}}=\frac{d^3}{3}\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Відповідь: $\frac{d^3}{3}\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.$

Тест 247. Запитання: 12096

Завдання 788 з 2199

Розв'яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} |x-y|=|x-a|,\\ \mathrm{lg}(y-a)=\lg(4a^2+x-x^2) \end{array}\right. $$ залежно від значень параметра $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містять змінну під знаком модуля; розв'язувати рівняння з параметрами, рівняння, що містять логарифмічні вирази, вміння знаходити область визначення функцій.

Знайдемо ОДЗ: $$ \left\{\begin{array}{l} y-a\gt 0,\\ 4a^2+x-x^2\gt 0. \end{array}\right. $$

Розкриємо модулі:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x-y=x-a,\\ x-y=a-x, \end{array}\right.\\ y-a=4a^2+x-x^2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} y=a,\\ y=2x-a\ \ \not\in\ \text{ОДЗ}, \end{array}\right.\\ y-a=4a^2+x-x^2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=2x-a,\\ y=4a^2+a+x-x^2. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжемо методом підстановки:

\begin{gather*} 2x-a=4a^2+a+x-x^2,\\[7pt] x^2+x-4a^2-2a=0,\\[7pt] D=1-4(-4a^2-2a)=1+16a^2+8a=(4a+1)^2.\ D\ge 0\ \text{при будь-якому значенні}\ a. \end{gather*}

Розглянемо 2 випадки:

1) $D=0.$

\begin{gather*} (4a+1)^2=0,\\[7pt] 4a+1=0,\\[6pt] a=-\frac 14,\\[6pt] x=-\frac{1}{2},\\[6pt] y=2\cdot \left(-\frac 12\right)-\left(-\frac 14\right)=-1+\frac 14=-\frac{3}{4},\\[6pt] \left(-\frac 12; -\frac 34\right). \end{gather*}

Перевірка:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \left|-\frac 12+\frac 34\right|=\left|-\frac 12+\frac 14\right|,\\ \lg\left(-\frac 34+\frac 14\right)=\lg\left(4\cdot \frac{1}{16}-\frac 12-\frac 14\right). \end{array}\right. \end{gather*}

вирази під знаком логарифма від'ємні, тому не належать ОДЗ.

Висновок: пара чисел $\left(-\frac 12; -\frac 34\right)$ не є розв'язком.

2) $D\gt 0$, тобто $a\ne -\frac 14$

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x_1=\frac{-1+4a+1}{2}=2a,\\ x_2=\frac{-1-4a-1}{2}=-2a-1. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідні значення $y$

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} y_1=3a,\\ y_2=-5a-2. \end{array}\right. \end{gather*}

Зробимо перевірку:

1) $(2a; 3a)$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |2a-3a|=|2a-a|,\\ \lg(3a-a)=\lg(4^2+2a-4a^2), \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} |-a|=|a| - \text{виконується при будь-якому значенні}\ a,\\ \lg 2a=\lg 2a - \text{виконується при}\ 2a\gt 0,\ a\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

При $a\gt 0$ розв'язок $(2a; 3a).$

2) $(-2a-1; -5a-2)$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |-2a-1+5a+2|=|-2a-1-a|,\\ \lg(5a-2-a)=\lg(4a^2-2a-1-(-2a-1)^2), \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} |3a+1|=|-3a-1| - \text{правильно при будь-яких значеннях}\ a,\\ \lg(-6a-2)=\lg(-6a-2) - \text{правильно при}\ -6a-2\gt 0,\ -6a\gt 2;\ a\lt -\frac 13. \end{array}\right. \end{gather*}

При $a\lt -\frac 13$ розв'язок $(-2a-1; -5a-2).$

При інших значеннях $a$ система немає розв'язків.

Відповідь: при $a\in (0; +\infty)\ (2a; 3a)$;
при $a\in \left(-\infty; -\frac 13\right)\ (-2a-1; -5a-2)$;
при $a\in \left[-\frac 13; 0\right]$ немає розв'язків.

Тест 247. Запитання: 12097

Завдання 789 з 2199

Скоротіть дріб $$ \frac{10ab^3}{5a^2b}. $$

А$\frac{2b^2}{a}$

Б$\frac{b^4}{2a^3}$

В$50a^3b^4$

Г$\frac{2b^4}{a^3}$

Д$\frac{b^2}{2a}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

$$ \frac{10ab^3}{5a^2b}=\left(\frac{10}{5}\right)\cdot \left(\frac{a}{a^2}\right)\cdot \left(\frac{b^3}{b}\right)=2\cdot \left(\frac 1a\right)\cdot b^2=\frac{2b^2}{a}. $$

Використали властивості

\begin{gather*} \frac ab\cdot \frac cd=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},\\[6pt] \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12502

Завдання 790 з 2199

Розв'яжіть рівняння $x^2-10=5x+14.$

А$-8; 3$

Б$-4; -1$

В$-3; 8$

Г$1; 4$

Д$0; 5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння другого степеня.

\begin{gather*} x^2-10=5x+14,\\[7pt] x^2-5x-24=0,\\[7pt] D=(-5)^2-4\cdot (-24)=25+96=121,\\[6pt] x_1=\frac{5+11}{2}=8,\\[6pt] x_2=\frac{5-11}{2}=-3. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12503