ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Це завдання перевіряє знання аксіом планіметрії, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач.

Нехай точка \(K\) – середина \(AB\), а точка \(M\) – середина \(BC.\)

\begin{gather*} KM=KB+BM=\frac 12AB+\frac 12BC=\\[6pt] =\frac 12(AB+BC)=(10+5\mathord{,}2):2=7\mathord{,6}\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

З двох дробів з однаковими чисельниками більший той, у якого менший знаменник.

Отже, \(\frac{5}{18}\lt \frac{5}{17}.\)

З двох дробів з однаковими знаменниками більший той, у якого більший чисельник.

Отже, \(\frac{5}{17}\lt \frac{6}{17}.\)

Маємо \(\frac{5}{18}\lt \frac{5}{17}\lt \frac{6}{17}.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення відстані між двома точками та формули середини відрізка.

Точка \(M\) – середина відрізка \(AB.\) Знаходимо координати точки \(M\) за формулою середини відрізка:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

Подвійна нерівність \(5\le 3^x\le 15\) буде вірною при \(x=2:\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

На рисунку зображено перетворення графіка функції \(y=\sin x\rightarrow y=2\sin x.\)

Перетворення графіка \(y=kf(x)\) розтягує графік вздовж осі \(Oy\) в \(k\) раз.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Розкриємо дужки та спростимо отриманий вираз:

A \((x+2)(x-2)=x^2-4.\)

Б \(x(x+4)=x^2+4x.\)

B \((x+2)^2+4x=x^2+4x+4+4x=x^2+8x+4.\)

Г \((x+2)^2=x^2+4x+4.\)

Д \((x-2)^2+4x=x^2-4x+4+4x=x^2+4.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, властивостей ромба, уміння розв'язувати планіметричні задачі.

Дано: ромб \(ABCD\), \(AB=12\) см, \(\angle A=120^\circ.\)

Більша діагональ лежить напроти більшого кута ромба \(\angle A=\angle C=120^\circ.\) Тому \(BD\) – більша діагональ.

У трикутнику \(DAB\ \angle A=120^\circ\), \(AB=AD=12\) см. За теоремою косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A=\\[6pt] =12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot \left(-\frac 12\right)=\\[6pt] =2\cdot 12^2+12^2=3\cdot 12^2. \end{gather*}

Отже, $$BD=\sqrt{3\cdot 12^2}=12\sqrt{3}\ \textit{см}.$$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі і площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних і перпендикулярних прямих і площин.

I. Твердження хибне, тому що, якщо пряма лежить і в площині \(\mathbf{\alpha}\), і в площині \(\mathbf{\beta}\), то ці площини мають спільні точки, а це суперечить умові \(\mathbf{\alpha}\ ||\ \mathbf{\beta}.\)

II. Твердження є правильним. Пряма, перпендикулярна до площини \(\mathbf{\alpha}\), перпендикулярна й площині \(\mathbf{\beta}.\)

III. Твердження хибне, тому що пряма, що лежить в одній з паралельних площин, може бути паралельною або мимобіжною з прямими, які лежать в іншій паралельній площині.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей, уміння застосовувати методи та прийоми в процесі розв'язування нерівностей.

\begin{gather*} \frac{2x-4}{x+1}\lt 0,\\[6pt] \frac{2(x-2)}{x+1}\lt 0,\\[6pt] \frac{x-2}{x+1}\lt 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів: $$(x-2)(x+1)\lt 0.$$

 $$x\in (-1; 2).$$

Відповідь: B.

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадрата, уміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач практичного змісту.

Нехай сторона квадрата (підлоги)

\(a=P:4=18:4=4\mathord{,}5\) м.

Сторона квадрата (килима)

\(b=a-0\mathord{,}4=4\mathord{,}5-0\mathord{,}4=4\mathord{,}1\) м.

\(P=4b=4\cdot 4\mathord{,}1=16\mathord{,}4\) м – периметр килима.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних.

\(2\sin \mathbf{\alpha}=\cos \mathbf{\alpha}.\) Поділимо обидві частини рівності на вираз \(\cos \mathbf{\alpha}\ne 0.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичні прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1)\) знаходимо кількість від'ємних членів прогресії:

Найбільше ціле, яке є розв'язком нерівності \(n=14\), є розв'язком задачі.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивостей.

За властивістю модуля дійсного числа

Спрощуємо вираз:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбніцa для обчислення визначеного інтеграла.

$$ \mathop{\int}\limits_{0}^2 f(x)dx=8. $$

За формулою Ньютона-Лейбніца:

Звідси,

Відповідь: A.