ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Праві частини обох рівнянь однакові й дорівнюють \(12.\) Прирівняймо їхні ліві частини:

Оскільки \(x\ne 0\), бо \(0\cdot (y+2)\) не може дорівнювати \(12\), поділімо обидві частини на \(x{:}\)

\begin{gather*} y+2=2y-1;\\[7pt] 2+1=2y-y;\\[7pt] 2y-y=2+1;\\[7pt] y=3. \end{gather*}

Підставмо значення \(y=3\) у перше рівняння:

\begin{gather*} x(3+2)=12;\\[7pt] x\cdot 5=12;\\[7pt] x=12:5;\\[7pt] x=2{,}4. \end{gather*}

Отже, \(x_0=2{,}4.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

і за властивістю степенів

Отже, \(0{,}1=\dfrac{1}{10}=10^{-1}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її графіком на координатній площині.

За умовою завдання значення \(y\) завжди додатні, тож графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Функція визначена на \(x\in (0; +\infty)\), тому графік обов'язково буде в тій зоні, де \(x\gt 0\) (це I чверть).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

За умовою принтер працює \(5\) хвилин, а швидкість друку зазначено в секундах. Тому спочатку виразімо хвилини в секундах:
\(1\) хв \(= 60\) с.
\(5\) хв \(=5\cdot 60=300\) с.

Принтер друкує сторінку за \(10\) секунд.

Щоб обчислити кількість сторінок, які він надрукує за \(300\) секунд, поділімо:

Отже, за \(5\) хвилин принтер надрукує \(30\) сторінок.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості ромба до розв'язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора.

Діагоналі ромба перетинаються під кутом \(90^\circ\) і діляться навпіл. Отже, ромб розділено на чотири рівні прямокутні трикутники. Розгляньмо один із них – прямокутний трикутник \(\Delta AOB\), де:
\(AO=12\sqrt{5}:2=6\sqrt{5}\) (перший катет).
\(BO=6\sqrt{5}:2=3\sqrt{5}\) (другий катет)
\(AB\) – сторона ромба (гіпотенуза).

За теоремою Піфагора:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє розуміння означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін. Цю пряму називають віссю обертання, а сторону, навколо якої відбувається рух, – висотою циліндра.

Оскільки прямокутник обертається навколо прямої \(a\), що містить його сторону, утворюється циліндр. Сторона довжиною \(8\) см паралельна осі обертання \(a\). Отже, висота циліндра, що утворився, дорівнює цій стороні: \(H=8\) см.

Отримане тіло – це циліндр, висота якого дорівнює \(8\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати множення одночленів і знання властивостей степеня.

Для розв'язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами: основу залишимо без змін, а показники додамо. \begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*} (де \(a\) – будь-яке число, \(n\) i \(m\) – натуральні числа).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} x\in [0{,}5; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Продовжмо верхню межу стовпчика «Зелена зала» горизонтальною лінією (пунктирною) до вертикальної осі (шкали) кількості глядачів. Пунктир перетинає вертикальну вісь на позначці \(20.\)

Число \(20\) входить у проміжок \([15; 25)\), оскільки \(15\lt 20\lt 25.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом і рівняння з параметром.

Розв'яжімо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – рівняння кола із центром у точці \(M(x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

1) \((x-8)^2+(y-6)^2=16\) коло із центром \((8; 6)\) радіуса \(r=4.\)
2) \(x^2+y^2=a\) коло із центром \((0; 0)\) радіуса \(R=\sqrt{a}.\)

Система має два розв'язки тоді, коли ці два кола перетинаються у двох точках.

Обчислімо відстань між центрами кіл \(O_1O_2\) за формулою відстані між точками:

Кола перетинаються у двох точках, якщо відстань між центрами \((O_1O_2=10)\) у межах між різницею і сумою їхніх радіусів \((r=4\) та \(R=\sqrt{a}).\)

Зовнішній дотик: \(R+r=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}+4=10;\\[7pt] \sqrt{a}=6. \end{gather*}

Внутрішній дотик: \(|R-r|=O_1O_2.\)

• Якщо \(R\gt r{:}\)

• Якщо \(r\gt R{:}\)

\begin{gather*} 4-\sqrt{a}=10 \end{gather*}

(немає розв'язків, бо \(\sqrt{a}\) не може бути від'ємним).

Два розв'язки (перетин у двох точках) матимемо тоді, коли радіус \(R\) перебуватиме між значеннями, що відповідають дотикам:

\begin{gather*} 6\lt \sqrt{a}\lt 14. \end{gather*}

Піднесімо до квадрата:

\begin{gather*} 36\lt a\lt 196. \end{gather*}

Оскільки \(a\) має бути строго більшим за \(36\) (якщо \(a=36\), буде лише одна точка дотику), то найменше ціле значення \(37.\)

Відповідь: \(37.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо площу ромба за формулою:

Порівняймо \(20\) та \(8\sqrt{3}.\)

Отже, більша діагональ основи дорівнює \(20.\)

Більша діагональ \(A_1C\) призми утворює прямокутний трикутник \(CAA_1\ (\angle A=90^\circ)\) із більшою діагоналлю основи \((AC=20)\) і висотою призми \((H=AA_1).\)

Оскільки кут нахилу \(30^\circ\ (\angle ACA_1=30^\circ)\), то

Обчислімо об’єм призми:

Відповідь: \(1600.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення розміщення, уміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

В Олега було \(5\) справ:

1. Купити продукти.
2. Прибрати.
3. Відвідати спортзал.
4. Підготувати доповідь.
5. Відповісти на лист.

Він має вибрати \(3\) справи, але з однією важливою умовою: прибирання має бути обов'язковим.

Оскільки прибрати – це вже зафіксований вибір (\(1\) справа), треба вибрати ще \(2\) справи з тих, що залишилися.

Тобто треба вибрати \(2\) справи із \(4\) навмання. Для розрахунків застосуймо формулу комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Кількість способів вибрати \(2\) справи із \(4{:}\)

Отже, Олег має \(6\) варіантів вибору трьох справ за умови, що одна з них – прибирання.

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, запишімо функцію \(f(x)\) у зручному вигляді (через степені), скориставшись їхніми властивостями:

Отже, функцію \(y\) можна записати у вигляді:

\begin{gather*} y=-2x^3+10x^{-1}-14. \end{gather*}

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання та табличні значення:

Обчислімо значення похідної, підставивши \(x_0=2\) в отриманий вираз:

Відповідь: \(-26{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. У прямокутному трикутнику \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) сума гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

\(\angle B+\angle A=90^\circ\), \(\angle B=22^\circ\), тому \(\angle A=90^\circ-22^\circ=68^\circ.\) \(\angle BAC=68^\circ.\)

Отже, 1 – Г.
 

2. За умовою \(AK=KB\), тож трикутник \(AKB\) – рівнобедрений з основою \(AB.\) У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні:

 

Отже, 2 – B.
 

3. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO\) – медіана, \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедреного трикутника, \(KO\) – висота, \(KO\!\perp\!AB.\)

\(\Delta ACB\) – прямокутний, тому центр кола, описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.