Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій.

За умовою \(f'(5) = -1\), \(f(5) = 3.\)

Знаходимо похідну функції \(g(x) = f(x)\cdot x\) за правилом похідної добутку.

\begin{gather*} g'(x) = f'(x)\cdot x + f(x)\cdot x' = f'(x)\cdot x + f(x).\\[7pt] g'(x_0) = g'(5) = f'(5)\cdot 5 + f(5) = (-1)\cdot 5 + 3 = -5 + 3 = -2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формули скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

1. \((a - 8)(a + 8) = a^2 - 8^2 = a^2 - 64\) за формулою «різниця квадратів».
Отже, 1 – Б.

2. \((a - 8)^2 = a^2 - 16a + 64\) за формулою «квадрат різниці».
Отже, 2 – А.

3. \((a - 4)(a^2 + 4a + 16) = a^3 - 4^3 = a^3 - 64\) за формулою «різниця кубів».
Отже, 3 – Д.

4. \((a - 4)(a - 16) = a^2 - 16a - 4a + 64 = a^2 - 20a + 64\) розкрили дужки, звели подібні доданки.
Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Д, 4 – В.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння.

1. \(x + \pi = 0\), \(x = -\pi\) – коренем рівняння є ірраціональне число.
Отже, 1 – А.

2. \(\cos x = \sqrt{3}\) не має коренів, бо \(\cos x = a\) має корені при \(a \in [-1; 1]\), \(\sqrt{3} \gt 1.\)
Отже, 2 – В.

3. \(\sqrt{x} = 4\), \((\sqrt{x})^2 = 4^2\), \(x = 16.\)
Отже, 3 – Б.

4. \(\dfrac{x - 1}{x + 7} = 0\), \(\begin{cases} x - 1 = 0,\\ x + 7 \ne 0, \end{cases}\ \begin{cases} x = 1,\\ x \ne -7. \end{cases}\)

Корінь \(x = 1\) належить відрізку \([-2; 2].\)
Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Б, 4 – Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння знаходити величини кутів у просторі, взаємне розміщення прямих та площин у просторі.

1. \(CC_1\!\perp\!(ABC)\), \(AC \in (ABC) \rightarrow CC_1\!\perp\!AC.\)
Отже, 1 – B.

2. \(AB_1\) і \(CD_1\) – мимобіжні (не перетинаються, не лежать в одній площині).
Отже, 2 – Б.

3. \(AC \cap CD_1\), \(\Delta ACD_1\) – рівносторонній. \(AC = CD_1 = D_1A\) – діагоналі рівних квадратів. Отже, \(\angle ACD_1 = 60^\circ.\)
Отже, 3 – Д.

4. \(AB_1\,||\,DC_1\) (лежать у паралельних площинах, через них можна провести площину).
Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Д, 4 – А.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння виконувати елементарні перетворення графіків функцій на площині.

1. \(y = f(x) \rightarrow y = f(x + 2)\) паралельний перенос графіка вліво на \(2\) одиниці. Отже, точка перетину графіка з віссю \(Ox\ (2; 0).\)
Отже, 1 – Б.

2. \(y = f(x) \rightarrow y = f(x - 2)\) паралельний перенос графіка вправо на \(2\) одиниці. Отже, точка перетину графіка з віссю \(Ox\ (6; 0).\)
Отже, 2 – Г.

3. \(y = 2f(x)\) отримаємо розтягом графіка вздовж осі \(Oy\) у \(2\) рази, нулі функції залишаються незмінними. Отже, \((4; 0)\) точка перетину графіка з віссю \(Ox.\)
Отже, 3 – В.

4. \(y = f(x) - 2\) паралельний перенос графіка вниз на \(2\) одиниці. Отже, \((0; 0)\) точка перетину графіка з віссю \(Ox.\)
Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – B, 4 – А.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

Василь не п'є чорний чай. З гарячих напоїв, що залишились, найдешевший – зелений чай за \(9\) грн. Найдешевший бутерброд – з сиром за \(7\) грн.

Микола замовив бутерброд з шинкою за \(15\) грн. Найдешевший напій – чорний чай за \(8\) грн.

Петро замовить найдешевший бутерброд – з сиром за \(7\) грн та чорний чай за \(8\) грн.

Отже, найдешевше замовлення в цьому кафе:

\begin{gather*} (9 + 7) + (15 + 8) + (7 + 8) = 16 + 23 + 15 = 54\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: \(54.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Дано числа \(1\), \(5\), \(7\) та \(8\).

Для того, щоб скласти двоцифрове число, можна

I спосіб: на місце десятків можна поставити цифру \(4\) способами, на місце одиниць – трьома. Отже, способів скласти число – \(4 \cdot 3 = 12.\)

II спосіб: застосуємо формулу розміщення (вибираємо \(2\) числа з \(4\)):

\begin{gather*} A_4^2 = \frac{4!}{(4 - 2)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 12. \end{gather*}

Відповідь: \(12.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Розв'яжемо методом підстановки

\begin{gather*} \begin{cases} y = 3 - x,\\ x^2 + 4 = 8(3 - x), \end{cases}\ \ \begin{cases} y = 3 - x,\\ x^2 + 4 = 24 - 8x, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} y = 3 - x,\\ x^2 + 8x - 20 = 0. \end{cases}\\[7pt] x^2 + 8x - 20 = 0.\\[7pt] D = 64 - 4\cdot(-20) = 144;\\[6pt] x_1 = \frac{-8 + 12}{2} = 2;\\[6pt] x_2 = \frac{-8 - 12}{2} = -10. \end{gather*}

Отримали:

\begin{gather*} x_1 = 2;\\[7pt] y_1 = 3 - 2 = 1;\\[7pt] x_2 = -10;\\[7pt] y_2 = 3 - (-10) = 13. \end{gather*}

Розв'язок системи: \((2; 1)\), \((-10; 13).\)

У відповідь запишемо найменший з добутків \(x_0\cdot y_0{:}\)

\begin{gather*} -10\cdot 13 = -130. \end{gather*}

Відповідь: \(-130.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, властивостей прямокутника.

\(BC = 24\) см, \(AM = 10\sqrt{2}\) см. \(AM\) – бісектриса \(\angle A.\)

\(\angle A = 90^\circ\), \(AM\) – бісектриса, тому \(\angle BAM = 45^\circ.\) Отже, \(\Delta ABM\) – прямокутний рівнобедрений. \(AB = BM.\)

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AM^2 = AB^2 + BM^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2;\\[7pt] (10\sqrt{2})^2 = 2AB^2;\\[7pt] 10^2\cdot 2 = 2\cdot AB^2;\\[7pt] AB = 10\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2 = AB^2 + BC^2 = 100 + 24^2 = 100 + 576 = 676;\\[7pt] AC = \sqrt{676}=26\ \text{см}. \end{gather*}

Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить в точці перетину діагоналей. Діагональ \(AC\) ділиться цією точкою навпіл.

Отже, радіус кола

\begin{gather*} R = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\cdot 26 = 13\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: \(13.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних та степеневих виразів.

\begin{gather*} (\sqrt{20})^{\textstyle 2+\log_{20}16} = \left(20^{\textstyle \frac{1}{2}}\right)^{\textstyle 2+\log_{20}16} = \left(20^{\textstyle \frac{1}{2}}\right)^2 \cdot \left(20^{\textstyle \frac{1}{2}\log_{20}16}\right) =\\[6pt] = 20 \cdot 20^{\textstyle \log_{20}\sqrt{16}} = 20 \cdot \sqrt{16} = 20 \cdot 4 = 80. \end{gather*}

Відповідь: \(80.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

Застосуємо геометричний зміст визначеного інтеграла – площа фігури, обмеженої графіком функції та віссю \(Ox.\)

Дана фігура – прямокутна трапеція \(OABC\) з основами \(OA = 3\), \(BC = 8\) та висотою \(OC = 7.\) Отже,

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{0}^{7} = S_{OABC} = \frac{OA + BC}{2}\cdot OC = \frac{3 + 8}{2}\cdot 7 = \frac{11}{2}\cdot 7 = 5{,}5\cdot 7 = 38{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(38{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак перпендикулярності прямої та площини у просторі.

\(ABCA_1B_1C_1\) – пряма призма \(\Delta ABC\) – рівнобедрений, \(AB=BC=25\) см, \(AC=30\) см.

Додаткова побудова:
\(AK\ \perp\ BC\) (у \(\Delta ABC\)),
\(KK_1\ \perp BC\ (BCC_1).\)

За ознакою перпендикулярності прямої та площини \(BC\ \perp\ (AKK_1).\)

Отже, \(AKK_1A_1\) – переріз призми, який проходить через ребро \(AA_1\) та перпендикуляра \(BC.\) \(AKK_1A_1\) – прямокутник.

Розглянемо \(\Delta ABC.\) \(BE\ \perp\ AC\), \(AK\ \perp\ BC.\) \(\Delta ABE\) \((\angle E=90^\circ)\), \(AB=25\) см.

\(AE=\frac 12 AC=15\) см (\(BE\) – висота та медіана). За теоремою Піфагора

Відповідь: \(900.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} \sqrt{(\sqrt{x-3})^2+2\sqrt{x-3}+1}+(14-2a)\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}+32-6a=0;\\[7pt] \sqrt{(\sqrt{x-3}+1)^2}+(14-2a)\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}+32-6a=0;\\[7pt] |\sqrt{x-3}+1|+(14-2a)\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}+32-6a=0;\\[7pt] \sqrt{x-3}+1 \gt 0. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} |\sqrt{x-3}+1|=\sqrt{x-3}+1;\\[7pt] \sqrt{x-3}+(14-2a)\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}+33-6a=0. \end{gather*}

Нехай \(\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}=t\ge 0\), тоді

\begin{gather*} t^2+(14-2a)t+33-6a=0;\\[7pt] D=(14-2a)^2-4(33-6a)=196-56a+4a^2-132+24a=\\[7pt] =4a^2-32a+64=4(a-4)^2;\\[6pt] t_1=\frac{2a-14+2(a-4)}{2}=a-7+(a-4);\\[6pt] t_2=\frac{2a-14-2(a-4)}{2}=a-7-(a-4). \end{gather*}

Розглянемо випадок \(D=0\), \(a=4.\)
\(t=4-7=-3\) не задовольняє умові \(t\gt 0.\)

\(D \gt 0,\ a\ne 4\).

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} t_1=a-7\pm(a-4),\ \text{при } a\gt 4,\\ t_2=a-7\pm(a-4),\ \text{при } a\lt 4. \end{array}\right. \end{gather*}

1) \(t_1=a-7+a-4=2a-11\), \(2a-11\ge 0\), \(2a\ge 11\), \(a\ge 5{,}5\),
\(t_2=a-7-a+4=-3.\)

2) \(t_1=a-7+(a-4)=2a-11\), \(a\ge 5{,}5\),
\(t_2=a-7-(a-4)=-3.\)

Найменше значення \(a\), при якому рівняння має хоча б один корінь \(a=5{,}5.\)

Відповідь: \(5{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac 2x=5;\\[6pt] x=\frac 25;\\[6pt] x=0{,}4. \end{gather*}

Відповідь: Г.