ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє знання означення похідної функції в точці, вміння знаходити кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці.

Значення похідної функції в точці – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції. Отже, \(f'(5)=0\) тому що дотична паралельна осі абсцис і кут нахилу дотичної до осі абсцис дорівнює нулю.

За умовою \(f(5)=-9.\)

Значення виразу

Відповідь: \(-90.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння нерівності та їхні системи. Текстові задачі. Системи лінійних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних рівнянь, текстові задачі.

Нехай початкова вартість \(1\) кг огірків – \(x\) грн, а \(1\) кг помідорів – \(y\) грн.

За \(4\) кг огірків та \(5\) кг помідорів заплатили \(87\) грн, тому \(4x+5y=87.\)

Після подорожчання огірків на третину вони стали коштувати \(\frac 43x\) грн за \(1\) кг. Після подешевшання помідорів на третину їхня ціна стала \(\frac 23y\) грн за \(1\) кг.

За \(4\) кг огірків та \(5\) кг помідорів заплатили \(86\) грн, тому

Складемо систему рівнянь:

Віднімемо почленно рівняння системи:

Підставимо значення \(x\) в перше рівняння. Отримаємо

Відповідь: \(19\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач, знання середньої лінії трапеції та її властивості, вписаного кола в чотирикутник.

1. За властивістю чотирикутника, в який можно вписати коло, сума протилежних сторін рівна.

Отже, сума довжин основ трапеції дорівнює: $$ BC+AD=\frac P2=\frac{132}{2} = 66\ \text{см}. $$

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тому довжина середньої лінії становить $$ \frac 12\cdot 66=33\ \text{см}. $$

2. Довжина кола вписаного в трапецію, становить \(24\pi\) см.

За формулою довжини кола знаходимо його радіус

де \(p\) – півпериметр трапеції, \(r\) – радіус вписаного кола.

Відповідь: 1. \(33.\)
                   2. \(792.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки та пропорції.

1. Перший автомат за \(2\) хвилини, що дорівнює \(120\) секундам, наповнює гелієм \(3\) кульки, а другий – на \(100\text{%}\), тобто в два рази більше, кульок.

Якщо за \(120\) секунд автомат наповнить \(6\) кульок, то одну він наповнить за: $$ 120:6=20\ \text{секунд}. $$

2. За \(10\) хвилин перший автомат наповнить $$ 3\cdot 5=15\ \text{кульок}, $$ а другий – $$ 6\cdot 5=30\ \text{кульок}. $$

Обидва автомати за \(10\) хвилин наповнять $$ 30+15=45\ \text{кульок}. $$

Відповідь: 1. \(20.\)
                   2. \(45.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення і властивості циліндра та піраміди до розв'язування стереометричних задач.

1. Площа основи циліндра дорівнює \(9\pi.\) Отже,

Отже, 1 – Б.

2. \(\angle AOB=90^\circ\), \(AO=OB=3\) як радіуси, тому \(\Delta AOB\) – прямокутний, рівнобедрений. За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – Г.

3. Висоту циліндра \(OO_1\) знаходимо з \(\Delta OO_1B\) \((\angle O=90^\circ).\) \(\angle B=60^\circ\), тому

Отже, 3 – Д.

4. Об'єм піраміди \(O_1AOB\) знаходимо за формулою:

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів та знаходити їхнє числове значення.

1. \(\cos^2 15^\circ+\sin^2 15^\circ=1\) за основною тригонометричною тотожністю. Отже, 1 – Г.

2.

Отже, 2 – Д.

3.

за формулою $$ \sin 2\alpha=2\sin \alpha\cdot \cos \alpha. $$ Отже, 3 – B.

4.

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – B, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, тригонометричні, степеневі функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1.

\(y=2x-7\) лінійна функція, зростаюча, тому найбільше значення на проміжку \([0; 5]\) буде при більшому значенні аргументу: $$ y(5)=2\cdot 5-7=3. $$ Отже, 1 – B.

2.

\(y=-x^2+2\) графік – парабола з гілками вниз. На проміжку \([0; 5]\) спадає. Найбільше значення функції буде при найменшому значенні аргументу $$ y(0)=-1\cdot 0^2+2=2. $$ Отже, 2 – Б.

3. 

\(y=\sin 2x\) найбільше значення \(y=1.\) Отже, 3 – A.

4. 

\(y=\sqrt{x-1}+3\) – зростає, тому при \(x=5\)

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Знайдемо нулі функції \(x^2+x-6=0:\)

Зобразимо схематично графік функції.

$$ x\in (-\infty; -3)\cup (2; +\infty). $$

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну, використовуючи її основні властивості.

Задана функція \(y=3x.\) Її первісна

Графік первісної – параболи, які переміщуються паралельно, вздовж осі \(y.\)

Отже, не будь-який графік первісної проходить через точку \(O(0; 0)\) та не будь-який графік перетинає вісь \(x\), але будь-яка первісна цієї функції є парною.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.