ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Вирази з коренями. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з дробовими виразами.

Щоб спростити вираз, зведемо дроби до спільного знаменника. На практиці дроби з різними знаменниками зводять до найпростішого (найменшого) спільного знаменника. Найпростішим спільним знаменником дробів є вираз \(ab(a-b)\), який ділиться і на \(b(a-b)\), і на \(a(a-b).\) Зазначимо, що, наприклад, вираз

також є спільним знаменником, проте він ділиться на спільний знаменник \(ab(a-b)\), тому не є найпростішим.

Скористаємось основною властивістю дробів: дріб не зміниться, якщо його чисельник і знаменник домножити на один і той самий ненульовий вираз. Тоді чисельник і знаменник першого дробу домножимо на \(a\), а другого – на \(b\mathord{:}\)

Тоді

Розкладемо чисельник на множники, скориставшись формулою різниці квадратів, і скоротимо отриманий дріб:

Запропонований спосіб розв'язання не є єдиноможливим. Вираз можна спростити, виконавши ще такі перетворення:

Тоді

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Нерівність трикутника.

Це завдання перевіряє вміння визначати можливе значення невідомої сторони трикутника.

Використаємо нерівність трикутника: будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю. Оскільки сторони трикутника \(AB\) і \(BC\) дорівнюють відповідно \(3\) см і \(10\) см, то довжина сторони \(AC\) повинна бути більшою за $$ 10-3=7\ \text{см} $$ та меншою за $$ 10+3=13\ \text{см}. $$

Цю умову задовольняє лише варіант Г – \(11\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє знання графіків основних елементарних функцій.

Пряма є графіком лінійної функції, тобто функції, заданої рівнянням $$ y=kx+b, $$ де \(k\), \(b\) – числа. Серед наведених функцій лінійною є лише функція \(y=2x.\)

Цю функцію отримаємо, якщо в рівняння $$ y=kx+b $$ підставимо значення \(k=2\) i \(b=0.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язування.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь мішаного типу.

Друге рівняння системи, що містить лише одну змінну \(x\), є показниковим. Розв'яжемо це рівняння. Для цього запишемо число \(16\) у вигляді степеня з основою \(4\): $$ 16=4^2, $$ тоді $$ 16^{-1}=(4^2)^{-1}=4^{-2}. $$ Отже, рівняння набуває вигляду $$ 4^x=4^{-2}. $$ Оскільки степені з однаковими основами рівні, коли рівні показники їх степенів, то отримуємо \(x=-2.\) Підставимо отримане значення \(x=-2\) в перше рівняння системи:

Отже, пара чисел \((-2; 7)\) є розв'язком \((x_0; y_0)\) системи рівнянь. Тоді

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Перетворення виразів із степенями.

Це завдання перевіряє вміння зводити одночлен до стандартного вигляду. Для цього треба знайти добуток коефіцієнтів: $$ 0\mathord{,}4\cdot 5=2 $$ та добуток степенів з однаковою основою, використовуючи формулу

Тоді $$ 0\mathord{,}4x^2\cdot 5x^3=2x^5. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання означення розв'язку нерівності з однією змінною.

ОДЗ: \(x-3\ne 0.\)

Розв'яжемо нерівність:

Розв'яжемо методом інтервалів:

З наведених чисел, лише \(4\) належить даному проміжку.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні та суміжні кути.

Це завдання перевіряє вміння визначати невідомий кут, використовуючи означення суміжних кутів і властивості вертикальникх кутів.

Зображені на рисунку кути \(\alpha\) i \(\beta\) є вертикальними, тому що утворені при перетині двох прямих \(m\) i \(n.\)

Вертикальні кути рівні, тому $$ \alpha=\beta=\frac{50^\circ}{2}=25^\circ. $$ Кути \(\alpha\) i \(\gamma\) є суміжними, оскільки промінь \(OA\), що лежить на прямій \(n\), є спільною стороною цих кутів, а сторони \(OB\) та \(OC\), що лежать на прямій \(m\), є доповняльними променями. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює \(180^\circ\), то $$ \gamma=180^\circ-\alpha=180^\circ-25^\circ=155^\circ. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Ірраціональні нерівності з параметром.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності з параметрами.

Задана нерівність $$ \sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}\gt a\ \ \ \ \ (1) $$ має сенс, якщо обидва підкореневі вирази набувають невід’ємних значень: \(a+x\ge 0\) і \(a-x\ge 0\), отже, область допустимих значень (ОДЗ) заданої нерівності є множина розв’язків системи нерівностей $$ \left\{\begin{array}{l} x\ge -a,\\ x\le a.\ \ \ \ \ \ (2) \end{array}\right. $$

Розглянемо випадки:

1) \(a\lt 0\), тоді система (2) не має розв’язків, отже, і задана нерівність також.

2) \(a=0\), тоді розв’язком системи (2) є єдине значення \(x=0\), яке не задовольняє нерівність \(\sqrt{x}+\sqrt{-x}\gt 0\), оскільки \(\sqrt{0}+\sqrt{0}=0.\) Отже, при \(a=0\) нерівність (1) не має розв’язків.

3) \(a\gt 0\), тоді ліва та права частини нерівності (1) набувають лише невід’ємних значень, тому піднесемо обидві частини нерівності (1) до квадрата, у результаті отримаємо нерівність, яка рівносильна на ОДЗ нерівності (1):

Хід розв’язання нерівності (3) визначається знаком її правої частини. Розглянемо випадки:

а) $$ \left\{\begin{array}{l} a\gt 0,\\ a^2-2a\lt 0, \end{array}\right. $$ тобто \(a\in (0; 2)\). За таких значень \(a\) нерівність (3) рівносильна нерівності \begin{gather*} a^{2}-x^{2}\ge 0,\\[7pt] x^{2}\le a^{2},\\[7pt] x\in [-a; a]. \end{gather*} Отже, якщо \(a\in (0; 2)\), то множиною розв’язків нерівності (3), відповідно й нерівності (1), є проміжок \(x\in [-a; a].\)

б) $$ \left\{\begin{array}{l} a\gt 0,\\ a^2-2a\ge 0, \end{array}\right. $$ тобто \(a\in [2; +\infty).\) Тоді обидві частини нерівності (3) невід’ємні. Піднесемо їх до квадрата і отримаємо на ОДЗ рівносильну заданій нерівність:

Нерівність (4) має розв’язки лише у випадку, коли права частина набуває додатних значень, тобто якщо \(a^{3}(4-a)\gt 0\), звідси \(a\in (0; 4).\) Враховуючи, що \(a\in [2; +\infty)\) i \(a\in (0; 4)\), маємо: \(a\in [2; 4).\) Для таких значень \(a\) множиною розв’язків нерівності (4) є

При \(a\in [4;+ \infty)\) нерівність (4), отже, і нерівність (1), не мають розв’язків.

Відповідь: \(x\in \{\varnothing\}\), якщо \(a\in (-\infty; 0]\cup [4; +\infty)\);
                   \(x\in [-a; a]\), якщо \(a\in (0; 2)\);
                   \(x\in \left(-\frac{a\sqrt{a(4-a)}}{2}; \frac{a\sqrt{a(4-a)}}{2}\right)\), якщо \(a\in [2; 4).\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання. Об’єм тіла.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів геометричних тіл, зокрема, правильної чотирикутної піраміди.

Для розв’язання завдання потрібно перш за все правильно побудувати рисунок, знати формулу об’єму піраміди, означення двогранного кута та його лінійного кута, вміти визначати довжини відрізків, використовуючи подібність трикутників та співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника.

1. Нехай \(SABCD\) – задана правильна чотирикутна піраміда, квадрат \(ABCD\) – основа піраміди, \(SO\) – висота піраміди (див. рисунок).

Оскільки піраміда \(SABCD\) є правильною, то точка \(O\) є точкою перетину діагоналей квадрата \(ABCD.\) Відрізок \(OA\) є проєкцією ребра \(SA\) на площину основи піраміди. Оскільки діагоналі квадрата перпендикулярні, то \(OA\ \perp\ BD.\) За теоремою про три перпендикуляри \(SA\ \perp\ BD.\) Окрім цього, за умовою \(SA\ \perp\ OM.\) Тоді за ознакою перпендикулярності прямої і площини \(SA\ \perp\ BMD\), що й треба було довести.

2. Оскільки \(SA\ \perp\ BMD\) і \(BM\) та \(DM\) лежать в площині \(BMD\), то \(BM\ \perp\ SA\) і \(DM\ \perp\ SA.\) Тому \(\angle BMD\) є лінійним кутом двогранного кута з ребром \(SA.\) За умовою \(\angle BMD = 120^\circ\).

У правильній піраміді всі бічні грані рівні, тому \(BM = DM\) (як відповідні відрізки в рівних трикутниках). Тоді в рівнобедреному трикутнику \(DMB\) медіана \(MO\) є одночасно і висотою, і бісектрисою. Отже, \(MO\ \perp\ BD\) i \(\angle BMO = 60^\circ.\)

З прямокутного трикутника \(BMO\mathord{:}\)

Тоді \(AO = BO = 9\sqrt{2}\).

З прямокутного трикутника \(AMO\mathord{:}\)

Прямокутні трикутники \(SOA\) і \(OMA\) подібні (за двома кутами). Тому $$ \frac{SO}{OM} = \frac{AO}{AM}, $$ тоді

Обчислимо площу основи піраміди:

Тоді об’єм піраміди

Відповідь: 2. \(972.\)