ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

1. За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1).\)

\(a_2=a_1+d\), \(a_6=a_1+5d.\)

Отже, \(a_2-a_6=a_1+d-(a_1+5d)=a_1+d-a_1-5d=-4d=7\mathord{,}2.\)

\(d=7\mathord{,}2:(-4)=-1\mathord{,}8.\)

2. \(a_4=0\mathord{,}7\), \(a_4=a_1+3d\),

\(a_1=a_4-3d=0\mathord{,}7-3\cdot (-1\mathord{,}8)=0\mathord{,}7+5\mathord{,}4=6\mathord{,}1.\)

Відповідь: 1. \(-1\mathord{,}8.\)
                   2. \(6\mathord{,}1.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, застосовувати системи рівнянь до розв’язування текстових задач.

Нехай \(x\) грн – вартість квитка на ранковий сеанс, тоді \((x+15)\) грн – на вечірній.

\(4\) квитки на ранковий сеанс коштують \(4x\) грн, а \(6\) квитків на вечірній – \(6(x+15)\) грн.

За умовою, \begin{gather*} 6(x+15)-4x=220,\\[7pt] 6x+90-4x=220,\\[7pt] 2x=220-90,\\[7pt] 2x=130,\\[7pt] x=65. \end{gather*} \(65\) грн коштує квиток на ранковий сеанс.

Відповідь: \(65.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Знайдемо середнє значення за формулою:

Відповідь: \(9\mathord{,}8.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.

\(KABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(AB=9\sqrt{2}\) см, \(BK=15\) см.

У квадраті \(BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18\) см.

У \(\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BK^2=BO^2+KO^2\),

\(KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12\) см – висота піраміди.

\(S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162\) см\(^2.\)

Об'єм піраміди знаходимо за формулою:

Відповідь: \(648.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв‘язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

На місце водія є \(2\) можливості посадити водія. Решта копанії розсядуться довільно. Кількість варіантів розсадити на пасажирські місця знаходимо за формулою: \begin{gather*} P(n)=n!,\\[7pt] P(5)=5!=120. \end{gather*}

Усього способів зайняти місця $$ 120\cdot 2=240. $$

Відповідь: \(240.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника, знаходити площу трикутника.

Накреслимо трикутник \(ABC. AB=BC.\) Отже, точка \(B\) має абсцису \(-1.\) \((AC=10).\) Нехай координати точки \(B(-1; y).\)

Точка \(B\) лежить на прямій \(y=2x+9,\) тому \(y=2(-1)+9=7,\) \(B(-1; 7).\) \(BK\perp AC.\) \(BK=15\) висота та медіана.

Відповідь: \(75.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійної та тригонометричної функцій, розв’язувати тригонометричні рівняння, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуємо графіки функцій

\(f(x)=\frac 12\) – пряма

\(g(x)=\sin x\) – синусоїда, \(x\in\left[-\frac{\mathbf{\pi}}{2}; \frac{\mathbf{\pi}}{2}\right].\)

3. Спільна точка графіків функцій \(f\) та \(g\) є точка \(A\left(\frac{\mathbf{\pi}}{6}; \frac 12\right).\)

4. Множина всіх коренів \(f(x)=g(x)\) на інтервалі \((-\infty; +\infty)\) \begin{gather*} \sin x=\frac 12;\\[6pt] x=(-1)^n\mathrm{arcsin}\ \frac 12+\mathbf{\pi}n,\ n\in Z;\\[6pt] x=(-1)^n\frac{\mathbf{\pi}}{6}+\mathbf{\pi}n, n\in Z. \end{gather*}

Відповідь: 3. \(\left(\frac{\mathbf{\pi}}{6};\frac 12\right).\)
                   4. \((-1)^n\frac{\mathbf{\pi}}{6}+\mathbf{\pi}n, n\in Z.\)

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння будувати перерізи призми, знання теореми про три перпендикуляри, кута між прямою та площиною, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямокутний паралелепіпед, \(ABCD\) – прямокутник, бічні ребра – висоти паралелепіпеда, \(CC_1D_1D\) – квадрат, \(B_1C=8\) – діагональ бічної грані.

1. Точка \(C_2\) – середина ребра \(CC_1.\)

Побудуємо переріз площиною \(\mathbf{\gamma}\) через \(AD\) та точку \(C_2.\) \((AA_1D_1D)\ ||\ (BB_1C_1C)\) як протилежні грані паралелепіпеда. За властивістю паралельних площин, \(\mathbf{\gamma}\) перетинає паралельні площини по паралельних прямих.

Побудуємо \(B_2C_2\ ||\ BC(BB_1C).\) $$ \left.\begin{array}{l} \mathbf{\gamma}\cap (DD_1C_1)=DC_2\\ \mathbf{\gamma}\cap (AA_1B_1)=AB_2 \end{array}\right| \rightarrow AB_2C_2D - \text{шуканий переріз}. $$

2. Перший спосіб.
\(AB_2C_2D\) – паралелограм. \(AD=B_2C_2\), \(AD\ ||\ B_2C_2\) – ознака паралелограма.
\(C_2C\perp (ABC)\), \(C_2D\) – похила, \(CD\) – проекція похилої.
\(AD\perp DC\) (сторони прямокутника), тому \(C_2D\perp AD\) за теоремою про три перпенидкуляри.
Отже, в паралелограмі \(AB_2C_2D\ \angle D=90^\circ\), тому \(AB_2C_2D\) – прямокутник.

Другий спосіб.
У прямокутнику \(ABCD\) діагоналі \(AC=BD\) (за властивістю прямокутника). $$ \left.\begin{array}{l} B_2B\perp (ABC)\\ C_2C\perp (ABC) \end{array}\right| \rightarrow \left.\begin{array}{l} B_2D,\ \ C_2A - \text{похилі}.\\ BD,\ \ CA - \text{проекції похилих}. \end{array}\right. $$ За властивістю: рівним проекціям відповідають рівні похилі, \(B_2D=C_2A.\)
Отже, у прямокутнику \(AB_2C_2D\) рівні діагоналі. За ознакою прямокутника доводимо, що \(AB_2C_2D\) – прямокутник.

3. \(B_1C_1\perp (DCC_1)\)
\(B_1C\) – похила до площини \((DCC_1)\)
\(CC_1\) – проекція похилої.
За означенням кута між прямою та площиною

У \(\Delta C_2CD\ (\angle C=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: \(16\sqrt{5}\sin2\mathbf{\alpha}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні та показникові рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

1. Розв'яжемо показникове рівняння:

2. \((3^{x+1}+3^{x+3}-10)\cdot (\sqrt{x^2+a}-\sqrt{3a-6-x^2})=0.\) \begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 3^{x+1}+3^{x+3}-10=0,\\ \sqrt{x^2+a}-\sqrt{3a-6-x^2}=0, \end{array}\right. \\[7pt] \ \ \left[\begin{array}{l} x_1=-1,\\ \sqrt{x^2+a}=\sqrt{3a-6-x^2}. \end{array}\right. \end{gather*}

ОДЗ: \(3a-6-x^2\ge 0.\)

\(x_1=-1\) буде коренем рівняння, якщо буде належати ОДЗ.

Розв'яжемо друге рівняння:

Рівняння має корені, якщо \(a-3\ge 0\), \(a\ge 3.\)

Розглянемо параметричну пряму

при \(a=3\ \ x_2=x_3=0.\)

Відповідь: 1. \(x=-1\)

                   2. якщо \(a\in \left(-\infty; 2\frac 12\right)\), то \(x\in\varnothing\)
                       якщо \(a\in \left[2\frac 13; 3\right)\), то \(x=-1\)
                       якщо \(a\in [3; +\infty)\), то \(x\in\{-1; \sqrt{a-3}; -\sqrt{a-3}\}.\)