У правильній трикутній піраміді \(SABC\) з основою \(ABC\) бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки \(K\) і \(L\) є серединами ребер \(AC\) і \(BC\) відповідно. Через пряму \(KL\), паралельно до ребра \(SC\), проведено площину \(\alpha\). Знайдіть кут \(\varphi\) між площиною \(\alpha\) і площиною \((ABC)\).

На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

Визначте кут між векторами \(\vec{a}\) і \(\vec{b}+\vec{c}\) у градусах, якщо відомо, що \(\vec{a}(2;2)\), \(\vec{b}(2;4)\) і \(\vec{c}(-2;-6)\).

Використовуючи графік рівняння \(|y|=1-|x-12|\) (див. рисунок), знайдіть усі значення параметра \(a\), при яких система

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |x-12|+|y|=1,\\ (x-a)^2+y^2=4 \end{array}\right. \end{gather*}

має єдиний розв'язок. У відповідь запишіть їхню суму.

У коробці є \(80\) цукерок, з яких \(44\) – з чорного шоколаду, а решта – з білого. Визначте ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду.

Маємо два водно-сольових розчини. Концентрація солі в першому розчині становить \(0{,}25\), а в другому – \(0{,}4\). На скільки більше треба взяти кілограмів одного розчину, ніж другого, щоб отримати розчин масою \(50\) кілограмів, концентрація солі в якому – \(0{,}34\).

Розв’яжіть рівняння \(x-5+\sqrt{2x^2-14x+13}=0\). Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх добуток.

Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої \(b_n=5\cdot3^{-n}\).

Обчисліть \(2\sqrt{13}\cos(\operatorname{arctg}\dfrac{2}{3})\).