ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання основних формул тригонометрії, а саме співвідношень між тригонометричними функціями одного кута.

Скористаємося формулою $$ 1 + \mathrm{tg}^{2}\ \alpha = \frac{1}{\cos^{2} \alpha}. $$ Тоді $$ \frac{1}{1 + \mathrm{tg}^{2}\ \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{\cos^{2}\alpha}} = \cos^{2}\alpha. $$

Можна також розв’язувати це завдання наступним чином:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події.

Імовірність того, що навмання вибраний білет буде виграшним, за класичним означенням ймовірності дорівнює відношенню кількості виграшних білетів \(x\) до загальної кількості білетів \(300.\) За умовою, $$ \frac{x}{300} = 0{,}2, $$ отже розв’язавши рівняння, отримаємо $$ x = 300 \cdot 0{,}2 = 60, $$ тому виграшних білетів \(60.\) Кількість всіх лотерейних білетів без виграшу дорівнює $$ 300 - 60 = 240. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє знання означення косинуса гострого кута прямокутного трикутника.

Косинус гострого кута \(\alpha\) прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого до цього кута катета до гіпотенузи. Отже, $$ \cos \alpha = \frac{b}{c}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Представимо числа \(4\) і \(8\) як степені з основою \(2\): \begin{gather*} 4 = 2^{2},\\[7pt] 8 = 2^{3}. \end{gather*} Тоді \((2^{2})^{x} = 2^{3}\). За властивістю степенів \((2^{2})^{x} = 2^{2x}\), звідки \begin{gather*} 2^{2x} = 2^{3},\\[7pt] 2x = 3,\\[6pt] x = \frac{3}{2}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Ознаки паралельності прямої та площини.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати паралельність прямої та площини.

Пряма паралельна площині, якщо не має з нею спільних точок. Кожна з прямих \(BC\), \(BD\), i \(A_{1}B\) проходить через точку \(B\), пряма \(CB_{1}\) проходить через точку \(B_{1}\), що належать площині \((AA_{1}B_{1})\). Оскільки ці точки належать площині \((AA_{1}B_{1})\), то вказані прямі перетинають задану площину. Пряма \(C_{1}D\) лежить у площині \((C_{1}CD)\). Оскільки площина \((C_{1}CD)\) паралельна площині \((AA_{1}B_{1})\), то пряма \(C_{1}D\) паралельна площині \((AA_{1}B_{1})\).

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення між двома числами.

Нехай Петро зібрав \(x\) яблук, тоді Сергій зібрав \(5x\) яблук. Оскільки разом хлопці зібрали \(x + 5x = 6x\) яблук, то $$ \frac{x}{6x} = \frac{1}{6} $$ всіх яблук зібрав Петро.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати належність точки графіку функції.

Точка належить графіку функції, якщо цей графік проходить через точку. З рисунка видно, що серед запропонованих точок лише точка \((-3; 1)\) належить графіку заданої функції.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Розділимо обидві частини нерівності на \(0{,}2\): \begin{gather*} 0{,}2x \lt 54,\\[6pt] x\lt \frac{54}{0{,}2},\\[6pt] x\lt 270. \end{gather*}

Або: \begin{gather*} 5 \cdot 0{,}2x \lt 5 \cdot 54,\\[7pt] x \lt 5 \cdot 54,\\[6pt] x\lt 270. \end{gather*} Запишемо у вигляді інтервалу: \(x \in (-\infty; 270).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Теорема про суму кутів трикутника.

Це завдання перевіряє вміння користуватися теоремою про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ\), тобто $$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ. $$ Трикутник \(ABC\) рівнобедрений, тому кути при основі \(AC\) трикутника рівні:

Відповідь: Б.