ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію \(a_n\) задано формулою \(n-\text{го}\) члена: \(a_n=5-3,6n\).

1. \(a_6=5-3,6\cdot 6=5-21,6=-16,6.\)

2.

Відповідь: 1. -16,6. 2. -7,2.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події.

Нехай імовірність того, що переможе Антон буде \(p\). Тоді ймовірність перемоги Миколи – \(p\), а Наталі – \(2p\).

Оскільки сума ймовірностей дорівнює 1, то \begin{gather*} p+p+2p=1,\\[7pt] 4p=1,\\[6pt] p=\frac 14 = 0,25 \end{gather*}

Відповідь: 0,25.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь.

Нехай доповідь триває \(x\) хвилин, тоді презентація – \((x+10)\) хвилин.
\(3\) доповіді тривали \(3x\) хвилин,
\(2\) презентації – \(2(x+10)\) хвилин.
Доповіді й презентації тривали \(40\) хвилин. Отже, складемо рівняння:

\begin{gather*} 3x+2(x+10)=40,\\[7pt] 3x+2x+20=40,\\[7pt] 5x=20,\\[7pt] x=4. \end{gather*} Доповідь тривала \(4\) хвилини.

Відповідь: 4.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Використаємо властивості степені та логарифмів

Відповідь: 25.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати нерівності з модулем.

Сума всіх цілих розв'язків: $$ 6+7+8+9+10+11+12=63 $$ Всі розв'язки містяться на проміжку \([-15;\ 15]\).

Відповідь: 63.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи розміщення.

Кількість способів вибрати 3 смайлики з 15 знаходимо за формулою розміщень:

$$ A^k_n=\frac{n!}{(n-k)!} $$ Вибрані смайлики можуть розміщуватися по-різному.

Відповідь: 2730.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції, нулів функції, екстремумів функції, будувати графіки функцій; знання достатньої умови зростання (спадання) функції.

Задано функцію \(y=x^3-12x\)

1.

2. Точки перетину графіка \(y=x^3-12x\) із віссю \(x\):

3.

Використали правило знаходження похідної степеневої функції $$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha -1}. $$

4. Нулі функції \(f'\) \begin{gather*} f'=3x^2-12=0,\ \ 3(x^2-4)=0,\\[7pt] x^2-4=0,\ \ x_1=2\ \text{або}\ x_2=-2. \end{gather*}

5. Знайдемо знаки похідної функції.

\(f'=0\) при \(x_1=2\) та \(x_2=-2\)

Точки екстремуму: \(x_{max}=-2\) (знак похідної змінюється з "+" на "–"),
\(x_{min}=2\) (знак похідної змінюється з "–" на "+").
\(f(x)\) зростає при \(x\in (-\infty;\ -2]\) та \([2;\ +\infty)\)
\(f(x)\) спадає при \(x\in [-2;\ 2]\).

Знайдемо екстремуми функції:

6.

Відповідь:

1. \(x=-1,\ \ y=11,\)
\(x=0,\ \ y=0,\)
\(x=2,\ \ y=-16\).
2. \((0;\ 0),\ (-2\sqrt{3};\ 0),\ (2\sqrt{3};\ 0)\).
3. \(f'(x)=3x^2-12\).
4. \(x_1=2;\ \ x_2=-2\).
5. Проміжки зростання: \((-\infty;\ -2],\ [2;\ +\infty)\)
проміжок спадання: \([-2;\ 2]\)
точки екстремуму: \(x_{max}=-2;\ \ x_{min}=2\).
екстремуми: \(f_{max}=16;\ \ f_{min}=-16\).

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру, знаходження об’єму.

1. \(ABCD\) – осьовий переріз, \(AD,\ BC\) – діаметри основ, \(AD=BC=d\).

2. Твірна \(AB\) перпендикулярна площині основи, тому й \(BC\), яка належить цій площині. \(AC\) – похила до площини основи, \(BC\) – проекція \(AC\) на площину. \(\angle ACB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) – кут між \(AC\) й верхньої основи циліндра.

3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де \(R=\frac 12 BC=\frac 12 d\), \(H=AB\).

Відповідь: \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d^3\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{4}\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

\(ABCD\) - прямокутник, \(\angle ACB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta},\ \ AD=BC=d\). \(AK\) видно з точки \(D\) під кутом \(30^\circ\). Отже, \(\angle ADK=30^\circ\).

1. Вписаний кут \(AKD\) спирається на діаметр \(AD\), тому \(\angle AKD=90^\circ \).

2. У \(\triangle AKD\ (\angle K=90^\circ) \). \(AD=d,\ \angle D=30^\circ ,\)

Відповідь: 2. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\frac{2\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{\sqrt{3}}\right)\).