ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння з параметрами.

Рівняння буде мати один корінь у двох випадках:

1) рівняння \(x^2-x+a=0\) має один корінь \((D=0)\) та він не дорівнює \(-1{,}5.\)

2) рівняння \(x^2-x+a=0\) має два корені \((D\gt 0)\), але один з коренів дорівнює \(-1{,}5.\)

Розглянемо кожний випадок: \begin{gather*} \text{1)}\ x^2-x+a=0;\\[7pt] D=1-4a=0;\\[7pt] a=\frac 14;\\[7pt] x=\frac 12. \end{gather*}

Отже, при \(a=\frac 14\) рівняння має один корінь.

\(x_1\gt 0\), отже, не може дорівнювати \(-1{,}5.\)

Знайдемо значення \(a\), при якому \(x_2=-1{,}5.\)

Отже, при \(a=-3{,}75\) рівняння має один корінь.

У відповідь запишем найменше значення \(a.\)

Відповідь: \(-3{,}75.\)