ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Формули скороченого множення. Модуль числа.

Це завдання перевіряє вміння спрощувати вираз, що містить під знаком модуля раціональний дріб.

Для розв’язання цього завдання потрібно знати формули скороченого множення: $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ та означення модуля. Модулем (абсолютною величиною) числа \(a\) називається саме число \(a\), якщо воно невід’ємне, та протилежне число \(-a\), якщо \(a\) – від’ємне, тобто

Спочатку спростимо заданий вираз:

За означенням,

Оскільки за умовою \(a\lt -7\), то

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння визначати координатну чверть, в якій тригонометричні функції набувають певних знаків, та можливе значення іншої тригонометричної функції для кута, що належить цій чверті.

Якщо \(\mathrm{ctg}\alpha\lt 0\), то кут \(\alpha\) належить першій або третій координатній чверті (див. рисунок); \(\cos\alpha\gt 0\) для кутів першої та четвертої чверті (див. рисунок). Отже, якщо одночасно \(\mathrm{ctg}\alpha\lt 0\) і \(\cos\alpha\gt 0\), то кут \(\alpha\) знаходиться у IV координатній чверті. Для кутів \(\alpha\) цієї чверті виконується нерівність \(\sin\alpha\lt 0\) (див. рисунок), причому \(\sin\alpha \ne -1.\) Якщо припустити, що \(\sin\alpha=-1\), то \(\mathrm{ctg}\alpha=\cos\alpha=0\), що суперечить умові завдання. Тому

\(\sin\alpha\) серед наведених значень може приймати лише значення \(-\frac{1}{2}.\)

Або можна міркувати наступним чином: оскільки $$ \mathrm{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\lt 0 $$ і \(\cos\alpha\gt 0\), то \(\sin\alpha\lt 0\), причому \(\sin\alpha\ne -1\), тому що тоді \(\mathrm{ctg}\alpha=\cos\alpha=0\), що суперечить умові завдання.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Висота трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику.

Це завдання перевіряє знання означення висоти трикутника і вміння використовувати тригонометричні функції для знаходження елементів прямокутного трикутника.

Висота трикутника – це перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на протилежну сторону. Оскільки \(BM\) – висота, то трикутник \(AMB\) є прямокутним (див. рисунок). У цьому трикутнику сторона \(AB\) є гіпотенузою.

Синусом гострого кута \(\alpha\) називається відношення протилежного до нього катета \(BM\) до гіпотенузи \(AB.\)

Отже, $$ \sin\alpha=\frac{BM}{AB}=\frac{12}{AB}, $$ звідки $$ AB=\frac{12}{\sin\alpha}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Піднесемо обидві частини рівняння до кубу, отримаємо рівносильне рівняння: \begin{gather*} 2x=(-3)^3,\ \text{або}\\[7pt] 2x=-27,\\[6pt] x=-\frac{27}{2}=-13{,}5. \end{gather*} Отже, корінь рівняння належить проміжку \((-20; -10)\).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Монотонність функцій. Періодичність функцій. Парність і непарність функцій.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функції: парності, періодичності, монотонності.

Функція \(y=f(x)\) називається періодичною, якщо існує таке число \(T\ne 0\) (\(T\) – період функції), що для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується умова \(f(x)=f(x+T).\)

Функція \(y=f(x)\) називається парною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується умова \(y(-x)=y(x).\) Графік парної функції симетричний відносно осі \(y.\)

Функція \(y=f(x)\) називається непарною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується умова \(y(-x)=-y(x).\) Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Функція \(y=f(x)\) зростає (спадає) на проміжку \([a; b]\), якщо для будь-яких \(x_1\) та \(x_2\) з цього проміжку і таких, що \(x_1\lt x_2\), виконується умова \(f(x_1)\lt f(x_2)\) (\(f(x_1)\gt f(x_2)\)).

Зображена на рисунку функція не є періодичною і парною. Вона зростає на проміжках \([-6; 3]\), \([-1; 1]\) і \([3; 6]\), спадає на проміжках \([3; -1]\), \([1; 3]\). Функція є непарною, оскільки її графік симетричний відносно початку координат.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Декартова система координат на площині. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, координат точок та вміння визначати координати точки, розташованої на координатній осі.

Згідно з умовою точка \(C\) лежить на осі \(x\), тому її координати \((x_0; 0)\). Оскільки відрізок \(AC\) перетинає вісь \(y\), то \(x_0\gt 0\) і відрізок розташований так, як показано на рисунку. Трикутник \(AKC\) є прямокутним із катетом \(AK=4\) (довжина \(AK\) дорівнює модулю ординати точки \(A\)) і гіпотенузою \(AC=5\), тобто його другий катет \(KC\) можна визначити за теоремою Піфагора:

Додавши до \(-2\) число \(3\), дістанемо абсцису \(x_0=1\) точки \(C.\) Тоді \(C(1; 0)\) – шукана точка.

Це завдання можна розв’язати, використовуючи лише формулу довжини відрізка за заданими координатами його кінцевих точок.

Оскільки точка \(C\) лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює нулю, тобто \(C(x; 0)\). Тоді, довжина відрізка \(AC{:}\)

Розв’язавши це рівняння, одержимо два корені: \(x=-5\) та \(x=1.\) Значення \(x=-5\) не може бути абсцисою точки \(C\), оскільки в цьому випадку відрізок \(AC\) не перетинатиме вісь ординат. Отже, \(C(1; 0).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формула загального члена арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії та вміння за формулою загального \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії визначати її різницю.

Послідовність \((a_n)\) називається арифметичною прогресією, якщо кожен її член, починаючи з другого, відрізняється від попереднього на одне й те саме число \(d\). Число \(d\) – різниця прогресії. Загальний член арифметичної прогресії визначається за формулою: $$ a_n=a_1+d(n-1)=a_1-d+dn. $$

Оскільки за умовою \(n\text{-й}\) член задано формулою \(a_n=4-8n\), то коефіцієнт біля \(n\) є різницею прогресії: \(d=-8.\)

Різницю прогресії можна визначити ще таким способом. Підставимо у формулу $$ a_n=4-8n $$ значення \(n=1\) і \(n=2\). Отримаємо: \begin{gather*} a_1=4-8\cdot 1=-4,\\[7pt] a_2=4-8\cdot 2=-12. \end{gather*}

Тоді $$ d=a_2-a_1=-12+4=-8 $$ шукана різниця прогресії.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Ірраціональні вирази.

Це завдання перевіряє розуміння означення арифметичного кореня \(n\text{-го}\) степеня (зокрема, кубічного кореня) та вміння його добувати.

Оскільки \(64=4^3\), то $$ \frac{\sqrt[3]{64}}{64}=\frac{\sqrt[3]{4^3}}{64}=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}. $$

Відповідь: A.