Коментар

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей дійсних чисел.

1. Дільником числа \(8\) є числа, на які \(8\) ділиться без остачі. Серед наведених чисел – це \(8.\) Отже, правильна відповіль – A.

2. Просте число – це число, яке має тільки два дільники – \(1\) та саме число. Серед наведених – це \(17.\) Отже, правильна відповідь – B.

3. Квадратом натурального числа є число \(16=4^2.\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1А, 2В, 3Б.

Коментар

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні перетворення.

Завдання перевіряє знання геометричних перетворень на площині: симетрії відносно прямої та точки.

1 – Б. симетрія відносно осі \(x.\)

2 – Г. симетрія відносно осі \(y.\)

3 – Д. симетрія відносно точки \(O.\)

Відповідь: 1Б, 2Г, 3Д.

Коментар

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання означення геометричного змісту визначеного інтеграла, вміння обчислювати площу плоских фігур.

\(\int_0^{7}f(x)dx.\) Геометричний зміст визначеного інтеграла – площа фігури, обмеженої лініями: графіком \(f(x),\) \(x=0,\) \(x=7\) та віссю \(x.\)

Відповідь: 38,5.

Коментар

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Нехай Михайлу треба отримати \(x\) оцінок \(\text{"}10\text{"}.\)

Середнє арифметичне значень:

\begin{gather*} \frac{8+7+9+8+10\cdot x}{x+4}=9,5\\[6pt] 32+10x=9,5(x+4)\\[6pt] 32+10x=9,5x+38\\[7pt] 0,5x=6\\[7pt] x=12. \end{gather*}

Отже, Михайлу треба отримати \(12\) оцінок \(\text{"}10\text{"}.\)

Відповідь: 12.

Коментар

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, властивості подібних фігур.

Площина, паралельна основі, відтинає подібний конус.

Коефіцієнт подібності $$ k=\frac{AB}{AO}=\frac 12. $$ Об'єми подібних тіл відносяться як $$ k^3=\left(\frac 12\right)^3=\frac 18. $$

Отже, об'єм меншого конуса \(64:8=8\ (\text{см}).\)

Відповідь: 8.

Коментар

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\(\log_2^2x-(a-1)\log_2x-a=0.\)

ОДЗ: \(x\gt 0.\)

Зробимо заміну: \(\log_2x=t.\)

Корені квадратного рівняння:

\begin{gather*} t_1=\frac{(a-1)+(a+1)}{2}=a\\[6pt] t_2=\frac{a-1-(a+1)}{2}=-1. \end{gather*}

Повертаємось до заміни:

\begin{gather*} \left[ \begin{array}{l} \log_2x=-1,\\ \log_2x=a; \end{array} \right. \ \ \ \left[ \begin{array}{l} x_1=\frac 12,\\ x_2=2^a. \end{array} \right. \end{gather*}

\(x_1\notin (30;\ 100),\) тому даному проміжку повинен належати \(x_2.\)

\begin{gather*} 30\lt x_2\lt 100,\ \ 30\lt 2^a\lt 100.\\[7pt] \text{при}\ a=5\ (a\in \mathbb{Z}). \end{gather*}

Наймеше значення \(a=5.\)

Відповідь: 5.

Коментар

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом.

Столи і стільці було придбано у співвідношенні \(1:3\) відповідно. Отже, столи становлять \(\frac 14\) всіх меблів, а стільці – решту, \(\frac 34\).

Правильно відображено розподіл на рисунку Г.

Відповідь: Г.

Коментар

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Застосувавши розподільний закон множення, розкриємо дужки:

$$ 2(5x+6)=2\cdot 5x+2\cdot 6=10x+12. $$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Коментар

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та хорд.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається хордою. Найбільша за довжиною хорда – діаметр кола.

Отже, \(AB=32,\) тому що радіус кола дорівнює \(16\ (d=2R).\)

Відповідь: Г.