ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

Функція \(y=f(x)\) є прямою пропорційністю, це означає, що вона має вигляд \(f(x)=kx\), де \(k\) – коефіцієнт пропорційності.

Графік функції проходить через точку \((2; 7)\). Підставимо ці координати в рівняння функції, щоб визначити \(k\mathord{:}\) \begin{gather*} 7=k\cdot 2,\\[6pt] k=\frac 72. \end{gather*}

Отже, функція \(f(x)\) має вигляд: \begin{gather*} f(x)=\frac 72x,\\[6pt] g(x)=3f(x)+\frac{|x|}{8}. \end{gather*}

Підставимо \(f(x)\) у вираз для \(g(x)\mathord{:}\)

Треба обчислити значення функції \(g(x)\) у точці з абсцисою \(x_0=-2.\)

Відповідь: \(-20\mathord{,}75.\)

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

На діаграмі відображено відповіді учнів про те скільки вони витрачають годин на підготовку до контрольної роботи.

Не менш як дві години витратили:
\(2\) години – \(5\) учнів;
\(2\mathord{,}5\) години – \(4\) учні;
\(3\) години – \(2\) учні;
\(3\mathord{,}5\) та \(4\) години – по \(1\) учню.

Всього таких учнів – \(13.\)

Імовірність події \(A\) того, що навмання вибраний учень із цієї групи витратив не менш як дві години, визначмо за формулою: $$ P(A)=\frac kn, $$ де \(k\) – кількість сприятливих подій \((k=13)\), а \(n\) – кількість усіх рівноможливих подій \((n=20).\)

Отже, $$ P(A)=\frac{13}{20}=0\mathord{,}65. $$

Відповідь: \(0\mathord{,}65.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання основних видів многогранників, зокрема призми, властивості сфери, уміння застосовувати формули для обчислення площі поверхні сфери й об’єму призми.

\(S=64\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(AA_1=AC\), \(OK=O_1D.\)

Площа поверхні сфери \(S=4\mathbf{\pi}R^2=64\mathbf{\pi}\), \(R^2=16\ \textit{см}^2,\) \(R=4\) см.

За умовою задачі радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми. Отже, \(OK=O_1D=4\) см.

Призма – правильна, отже \(\Delta ABC\) – рівносторонній, a $$ r=O_1D=\frac{a}{2\sqrt{3}}, $$ де \(a\) – сторона трикутника. Тобто \begin{gather*} 4=\frac{AC}{2\sqrt{3}},\\[6pt] AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}. \end{gather*}

Площу правильного трикутника обчислiмо за формулою:

Об'єм призми

Відповідь: \(1152.\)

ТЕМА: Координати і вектори на площині.

Завдання скеровано на перевірку знання рівняння кола, властивостей прямокутної системи координат на площині, уміння застосовувати координати для розв’язання планіметричних задач.

За умовою:

Рівняння кола: \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.\)

Дано коло із центром у точці \((11+3a; -2)\) i радіусом \(7.\)

Унаслідок зміни параметра \(a\) коло переміщується вздовж прямої \(y=-2.\)

Для того, щоб коло дотикалося до осі \(Oy\), центр кола повинен бути в точці \((7; -2)\) або \((-7; -2).\)

Щоб коло перетинало двічі вісь ординат, абсциса \(a\) центра кола повинна бути цілим числом – розв'язком нерівності:

Найменше ціле значення \(a=-5.\)

Відповідь: \(-5.\)

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Марко купив \(4\) набори з \(2\) ручок по \(25\) грн кожний і \(3\) набори з \(5\) ручок по \(40\) грн кожний.

За покупку Марко заплатив:

Відповідь: В.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа

Отже, \(|2\sqrt{2}-3|=-(2\sqrt{2}-3)=3-2\sqrt{2}.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Застосуймо аксіому стереометрії: якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести лише одну площину.

Отже, прямі \(SO\) i \(SB\) лежать в одній площині, бо мають спільну точку \(S.\)

За аксіомою стереометрії якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж, тільки одну.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати основні задачі на відсотки, уміння визначати число за розміром його відсотка.

Ціна акції зросла на \(10\ \text{%}\) від початкової ціни.

Ціна тепер становить \(990\) грн і це \(110\ \text{%}\) від початкової ціни.

Визначмо \(x\) – початкову ціну акцій, яка становить \(100\ \text{%}.\) Складімо пропорцію:

Відповідь: A.

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів.

Кути \(\mathbf{\beta}\) i \(\mathbf{\varphi}\) – вертикальні. За їхньою властивістю \(\mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}.\)

За умовою \(\mathbf{\beta}+\mathbf{\varphi}=70^\circ\), тому $$ \mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}=70^\circ:2=35^\circ. $$

Кути \(\mathbf{\alpha}\) i \(\mathbf{\beta}\) – суміжні. За властивістю суміжних кутів:

Відповідь: A.