ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює \(a.\)

Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(H=a.\)

Отже,

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу трапеції.

Верхня основа \(BC=3\), нижня основа \(AD=6\), висота трапеції \(BH=7.\)

Обчилімо площу трапеції за формулою:

Підставмо у формулу відповідні значення:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей степеня з цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.

1. За означенням модуля:

Число \(0{,}5\) належить проміжку \([0; 1).\) Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(a^3=(-0{,}5)^3=-0{,}125.\)

Число \(-0{,}125\) належить проміжку \([-1; 0).\) Отже, правильна відповідь – В.

Число \(-2\) належить проміжку \([-2; -1).\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. \(y=x^2+4\) квадратична функція, графіком якої є парабола.

Функція спочатку спадає, а потім зростає. Має лише одну точку локального екстремуму при \(x=0\), \(f_{min}(0)=4.\) Отже, правильна відповідь — A.

2. \(y=\log_4 x\) логарифмічна функція з основою \(a=4.\)

Оскільки основа \(4\gt 1\), функція є зростаючою на всій своїй області визначення \((x\gt 0).\) Отже, правильна відповідь — Б.

3. \(y=4-2x\) лінійна функція вигляду \(y=kx+b\), де \(k=-2.\)

Оскільки коефіцієнт \(k\) від'ємний \((k\lt 0)\), пряма нахилена вниз, тобто функція спадає на всій області визначення. Отже, правильна відповідь — Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників.

1. Периметр — це сума всіх сторін. Трикутник рівнобедрений, бічні сторони \(AB=BC=10\) см.

Отже, правильна відповідь — Г.

2.

Проведемо висоту \(BH\) до основи \(AC.\) У рівнобедреному трикутнику висота є також медіаною, тому вона ділить основу навпіл:

Розглянемо прямокутний трикутник \(ABH\ (\angle H=90^\circ){:}\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь — В.

3. Знайдімо радіус описаного кола для довільного трикутника за формулою через сторони та площу:

Площа трикутника \(S{:}\)

Отже, правильна відповідь — А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

Використали властивості логарифма:

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення комбінації, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Оскільки Микола купує «різні» флешки і нам не важливо, яку він покладе в кошик першою, а яку другою, скористаймося формулою комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Обираємо \(2\) флешки по \(32\) ГБ.

Миколі потрібно вибрати \(2\) з \(12\) наявних варіантів.

Обираємо \(1\) флешку по \(64\) ГБ.

Миколі потрібно вибрати \(1\) варіант із \(10.\) Це можна зробити \(10\) способами.

Оскільки Микола має купити і першу групу, і другу одночасно, застосуймо правило добутку:

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) — \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(660.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Діагональний переріз прямої призми — це прямокутник. Його сторони — це діагональ ромба \((d)\) та висота призми \((H).\) Периметр цього прямокутника розраховується за формулою:

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 58=2(d+5);\\[7pt] 29=d+5;\\[7pt] d_1=24. \end{gather*}

Діагоналі ромба перетинаються під кутом \(90^\circ\) і діляться навпіл. Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta COD\), де: \(CD=20\) (сторона ромба), \(OD=24:2 = 12\) (половина відомої діагоналі \((d_1)\) ромба).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=OD^2+OC^2;\\[7pt] 20^2=12^2+OC^2;\\[7pt] 400=144+OC^2;\\[7pt] OC^2=400-144=256;\\[7pt] OC=\sqrt{256}=16. \end{gather*}

Отже друга діагональ ромба

\begin{gather*} d_2=AC=2\cdot OC=2\cdot 16=32. \end{gather*}

Формула об’єму призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площа основи (ромба):

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання спрямовано на перевірку навичок розв’язання квадратних рівнянь, їхнього аналізу та дослідження рівнянь із параметрами.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У заданому рівнянні:

Підставимо \(x_2=x_1+4\) у рiвняння добутку:

Розв’яжімо, це рівняння

Для кожного варіанта \(x_1\) знайдімо \(x_2\) та параметр \(m\), використовуючи суму коренів \(x_1+x_2=2m-2.\)

1. Для \(x_1=-7.\)

\(-4\lt 0\) підходить.

2. Для \(x_1=3.\)

\(6\gt 0\) не підходить.

Відповідь: \(-4.\)