Всі запитання ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1935

Завдання 1936 з 2001

При якому найбільшому від'ємному значенні параметра \(a\) рівняння \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x|-1}-2x=a\) має один корінь?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з параметрами, користуватися графічним методом розв'язування і дослідженням рівнянь.

Розв'яжемо графічно. \begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1} - 2x = a,\\[7pt] \sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1} = 2x + a. \end{gather*}

Умова задачі зводиться до знаходження найбільшого значення параметра \(a\), при якому графіки функцій \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1}\) та \(y = 2x + a\) мають одну спільну точку. Побудуємо графіки даних функцій

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1},\\[7pt] D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty),\\[7pt] |x| - 1 \ge 0,\\[7pt] |x| \ge 1. \end{gather*}

\(y = 2x + a\) лінійна функція, пряма буде переміщатися на \(a\) одиниць вздовж осі \(y.\)

При \(a \lt 0\) пряма \(y = 2x + a\) може мати спільні точки тільки з одною гілкою параболи \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1}.\)

Щоб така точка була одна, необхідно прямій \(y = 2x + a\) бути дотичною до графіка функції \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1}.\)

Отже, знайдемо рівняння дотичної:

\begin{gather*} y' = \left((x - 1)^{\frac{1}{4}}\right)' = \frac{1}{4}(x - 1)^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 4]{(x - 1)^3}},\\[6pt] y'(x_0) = \frac{1}{4\sqrt[\scriptstyle 4]{(x_0 - 1)^3}} = 2, \end{gather*}

\((y = 2x + a\) – рівняння дотичної \(k = y'(x_0) = 2).\)

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 4]{(x_0 - 1)^3} = \frac{1}{8},\\[6pt] (x_0 - 1)^3 = (2^{-3})^4,\\[7pt] x_0 - 1 = \frac{1}{16},\\[7pt] x_0 = 1\frac{1}{16}, \end{gather*}

\(x_0\) – точка дотику.

\begin{gather*} y(x_0) = y\left(1\frac{1}{16}\right) = \sqrt[\scriptstyle 4]{1\frac{1}{16}-1} = \sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}. \end{gather*}

За формулою рівняння дотичної до графіка функції в точці \(x_0\), маємо:

\begin{gather*} y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0),\\[6pt] y = 2\left(x - 1\frac{1}{16}\right) + \frac{1}{2},\\[6pt] y = 2x - \frac{17}{8} + \frac{1}{2},\\[6pt] y = 2x - 1\frac{5}{8}. \end{gather*}

Отже, \(y = 2x + a = 2x - 1\dfrac{5}{8}\),

\(a = -1\dfrac{5}{8} = -1{,}625.\)

Відповідь: \(-1{,}625.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1937 з 2001

Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює \(120^\circ.\) Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом \(30^\circ.\) Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см\(^2\)), якщо її висота дорівнює \(4\) см.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площ поверхонь, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

Нехай \(SABCD\) – піраміда, \(ABCD\) – ромб, \(\angle B = 120^\circ.\)

\begin{gather*} \left.\begin{array}{l} (SBA)\!\perp\!(ABC),\\ (SBC)\!\perp\!(ABC),\\ (SBC) \cap (SBA) = SB, \end{array}\right| \Rightarrow\ SB\ –\ \text{висота піраміди}=4\ \text{см}. \end{gather*}

Побудуємо \(BK\!\perp\!AD\), \(BM\!\perp\!CD\) (висоти ромба). За теоремою про три перпендикуляри \(SK\!\perp\!AD\), \(SM\!\perp\!CD.\)

\((SKB)\!\perp\!AD \Rightarrow \angle SKB = 30^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((SAD)\) і \((ABC).\)

\((SMB)\!\perp\!CD\ \Rightarrow \angle SMB = 30^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((SDC)\) і \((ABC).\)

У \(\Delta SBK\) \((\angle B = 90^\circ)\), \(\angle K = 30^\circ\),

\begin{gather*} SB = 4\ \text{см},\\[7pt] KB = SB\mathrm{ctg}\ \angle K = 4\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 4\sqrt{3}\ \text{см},\\[6pt] SK = \frac{SB}{\sin K} = \frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{0{,}5} = 8\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta ABK\) \((\angle K = 90^\circ)\), \(\angle A = 60^\circ\) (за властивістю кутів ромба \(\angle A + \angle B = 180^\circ\))

\begin{gather*} AB = \frac{BK}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta ASD = \Delta CSD\) (за трьома сторонами: \(AD = DC\) – сторони ромба, \(SD\) – спільна, \(SA = SC\) як рівні похилі).

\begin{gather*} S_{ASD} = S_{CSD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\ \text{см}^2. \end{gather*}

\(\Delta SBA = \Delta SBC\) (за трьома сторонами),

\begin{gather*} S_{SBA} = S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{бічна} = 2(S_{ABS} + S_{ASD}) = 2 \cdot (32 + 16) = 2 \cdot 48 = 96\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(96.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1938 з 2001

У фестивалі беруть участь \(25\) гуртів, серед яких є по одному гурту з України і Чехії. Порядок виступу гуртів визначається жеребкуванням, за яким кожен із гуртів має однакові шанси отримати будь-який порядковий номер від \(1\) до \(25.\) Знайдіть імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1939 з 2001

Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції \(y=\dfrac{22}{3}-(x+1)^2\) і прямими \(y=\dfrac x3\), \(x=-1\) та \(x=1.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1940 з 2001

У прямокутний трикутник \(ABC\) вписано коло, яке дотикається катетів \(AC\) та \(BC\) у точках \(K\) i \(M\) відповідно. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника \(ABC\) (у см), якщо \(AK=4{,}5\) см, \(MB=6\) см.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1941 з 2001

Знайдіть найбільше значення функції \(y=\dfrac{(1-2\cos x)^4}{2}.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1942 з 2001

Знайдіть значення виразу \(|y-2x|\), якщо \(4x^2-4xy+y^2=\dfrac 94.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1943 з 2001

Розв'яжіть рівняння \(3^x\cdot 4^x=(12^{x+1})^5\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1944 з 2001

У магазині молодіжного одягу діє акція: при покупці будь-яких двох однакових футболок за одну з них платять на \(40\ \%\) менше, ніж за іншу. За дві однакові футболки, придбані в цьому магазині під час акції, Микола заплатив \(200\) гривень. Скільки гривень заплатить Микола, якщо він купить лише одну таку футболку?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1945 з 2001

Установіть відповідність між тілом обертання (1–4) та формулою (А – Д) для обчислення його об'єму \(V.\)

1

2

3

4

А\(V=\dfrac{1}{3}\pi a^3\)

Б\(V=\dfrac{9}{16}\pi a^3\)

В\(V=\dfrac{2}{3}\pi a^3\)

Г\(V=\pi a^3\)

Д\(V=2\pi a^3\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площ поверхонь, об'ємів многогранників і тіл обертання.

1. Квадрат зі стороною \(a\) обертається навколо прямої. Отримаємо циліндр з радіусом основи \(a\) та висотою \(a.\)

\begin{gather*} V = \pi R^2H = \pi a^2 \cdot a = \pi a^3. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

2. Прямокутний рівнобедрений трикутник з катетом \(a\) обертається навколо прямої. Отримаємо конус з радіусом основи \(a\) та висотою \(a.\)

\begin{gather*} V = \frac{1}{3}\pi R^2H = \frac{1}{3}\pi a^3. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. Отримаємо циліндр, в якому вирізано конус з радіусом основи \(a\), висотою \(a.\)

\begin{gather*} V_\text{ф} = V_\text{ц} - V_\text{к},\\[7pt] V_\text{ц} = \pi R^2H = \pi a^2 \cdot a = \pi a^3,\\[6pt] V_\text{к} = \frac{1}{3}\pi R^2H = \frac{1}{3}\pi a^3,\\[6pt] V_\text{ф} = \pi a^3 - \frac{1}{3}\pi a^3 = \frac{2}{3}\pi a^3. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

4. \(OA = \dfrac{3}{4}a\)

Отримаємо кулю з радіусом \(OA.\)

\begin{gather*} V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot \left(\frac{3}{4}a\right)^3 = \pi\cdot \frac{4 \cdot 3^3}{3 \cdot 4^3}a^3= \frac{9}{16}\pi a^3. \end{gather*}

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на