ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різницею векторів \(\overrightarrow{a}\ (x_1; y_1; z_1)\) i \(\overrightarrow{b}\ (x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{:}\)

Щоб знайти координати різниці двох векторів, потрібно від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \overrightarrow{a}\ (3; 1; -4);\\[7pt] \overrightarrow{b}\ (-8; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-8-3; 0-1; 2-(-4));\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 2+4);\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 6). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

Перепишімо перший доданок:

Тепер функція має вигляд:

\begin{gather*} f(x)=4\cdot x-3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}. \end{gather*}

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\mathrm{tg}\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) має загальний розв’язок:

Розгляньмо значення \(n\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(n=0\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\in [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо \(n=1\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо \(n=-1\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{5\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою \(O\) навпіл, трикутник \(\Delta AOB\) – рівнобедрений. Оскільки кут при вершині \(\angle AOB=60^\circ\), то кути при основі також по \(60^\circ\ ((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ).\) Отже, трикутник \(ABO\) – рівносторонній.

Оскільки \(AO\) — це половина діагоналі, то вся діагональ

\begin{gather*} AC=4\cdot 2=8\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).\) Гіпотенуза \(AC=8\) см і катет \(AB=4\) см. За теоремою Піфагора визначмо довжину сторони \(BC{:}\)

Обчислімо площу прямокутника \(ABCD{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, логарифмічними виразами, порівнювати числа.

1. \(\pi\approx 3{,}14\)

Число \(1{,}57\) належить проміжку \([1; 2).\) Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\sin \pi=0\)

Число \(0\) належить проміжку \([0; 1).\) Отже, правильна відповідь – В.

3. За властивістю степеня:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

За властивістю логарифма:

Число \(-1\) належить проміжку \([-1; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій, заданих формулою.

Побудуймо задані графіки функцій.

1.

Оскільки графіком функції \(y=x^2-2\) є парабола з вершиною в точці \((0; -2)\), вітки якої напрямлені вгору, то вона двічі перетинає графік прямої \(y=3.\) Отже, правильна відповідь – Г.

2.

\(y=3^x.\) Показникова функція вигляду \(a^x\) завжди набуває лише додатних значень \((y\gt 0)\) за будь-яких \(x.\) Отже, правильна відповідь – Б.

3.

\(y=x^3\) – це кубічна парабола. Якщо \(x=0\), \(y=0^3=0\), то графік проходить через початок координат – точку \((0; 0).\) Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, центральні кути, дуги.

1. \(\overset{\smile}{CB}.\) Оскільки \(AB\) — це діаметр, він ділить коло навпіл. Отже, вся дуга \(ACB\) (півколо) дорівнює \(180^\circ.\)

Отже, правильна відповідь — B.

2. \(\angle CKA.\)

Радіус \(OC\), проведений у точку дотику \(C\), завжди перпендикулярний до дотичної \(CK.\)

Тобто \(\angle OCK=90^\circ.\) Кут \(\angle COB\) є центральним кутом, що спирається на дугу \(\overset{\smile}{CB}.\)

Його величина дорівнює градусній мірі дуги: \(\angle COB=\overset{\smile}{CB}=50^\circ.\) У прямокутному трикутнику \(\Delta OCK\) сума гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

Отже, правильна відповідь — Б.

3. \(\angle ABC.\)

Кут \(\angle ABC\) є вписаним кутом, що спирається на дугу \(\overset{\smile}{AC}.\) Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається.

Отже, правильна відповідь — Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\) перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:
\(a_1=6\) (кількість ієрогліфів у перший день);
\(d=2\) (на стільки більше він вивчає кожного наступного дня);
\(n=25\) (кількість днів).

Для обчислення загальної кількості ієрогліфів за \(n\) днів використаймо формулу суми перших \(n\) членів і формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: \(750.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення розміщення, уміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

Оскільки порядок книг у комплекті не має значення, для розрахунків застосуймо формулу комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Кількість способів вибрати \(2\) збірники з \(8{:}\)

Кількість способів вибрати \(3\) науково-популярні книжки з \(10{:}\)

Оскільки треба вибрати і збірники, і науково-популярні книжки одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 28\cdot 120=3360. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(3360.\)