ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

\(\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}\ dx\) – площа фігури, обмеженої графіком функції \(y=\sqrt{25-x^2}\),
\(y \ge 0\), \(x \in [-5; 0].\)

Відповідь: \(6{,}25.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми синусів та наслідку з неї, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

1. У \(\Delta AKB\ (\angle K = 90^\circ)\) \begin{gather*} \mathrm{tg}\ B = \frac{AK}{KB} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. \end{gather*} Отже, \(\angle B = 60^\circ\).

2. \(\angle KBA + \angle ABC = 180^\circ\) (суміжні), \(\angle ABC = 120^\circ\).

3. За наслідком з теореми синусів:

Відповідь: \(45.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосуємо властивості логарифма, спростимо вираз:

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

ОДЗ: \begin{gather*} 2y - 5 \ne 0,\\[7pt] 2y \ne 5,\\[7pt] y \ne 2{,}5. \end{gather*}

Розв'яжемо методом підстановки:

\((-6; 3)\) – розв'язок системи.

Добуток \(x_0\cdot y_0 = -6\cdot 3 = -18.\)

Відповідь: \(-18.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Дріб \(\dfrac mn\), де \(m\) набуває значень \(1\), \(2\) або \(4\), \(n\) набуває значень \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\).

\(m\) може набувати \(3\) значення, \(n\) – \(5\). Отже, різних дробів можна скласти
\(3 \cdot 5 = 15\) способами.

Відповідь: \(15.\)

ТЕМА: Алгбера і початки аналізу. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

За умовою задачі складемо таблицю:

Максимальна вартість трьох атракціонів для Марійки становить: $$ 16+15+13=44\ \textit{грн}, $$ для Богдана: $$ 20+17+15=52\ \textit{грн}. $$

Максимальна сума коштів, що витратять батьки: $$ 44+52=96\ \textit{грн}. $$

Відповідь: 96.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння знаходити величини кутів у просторі, взаємне розміщення прямих та площин у просторі.

1. \begin{gather*} \left.\begin{array}{l} CB\!\perp\!BA,\\ CB\!\perp\!BB_1, \end{array}\right| \Rightarrow CB\!\perp\!(ABB_1). \end{gather*}

Отже, 1 – Б.

Отже, 2 – А.

Отже, 3 – Д.

4. \(A_1B \in (ABB_1).\)

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Д, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування рівнянь.

1.

Рівняння має три корені.

Отже, 1 – Г.

2. \(\log_3 x = -2\), \(x = 3^{-2}\), \(x = \dfrac{1}{9}\) – один корінь.

Отже, 2 – Б.

3.

Отже, рівняння має два корені \(x = 0\), \(x = 2.\)

Отже, 3 – В.

4. \(x^4 + 5x^2 + 4 = 0.\)

Нехай

Обидва значення \(t < 0\), тому початкове рівняння не має жодного кореня.

Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – В, 4 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою.

Підставимо координати точки в рівняння, яким задана функція. Якщо координати точки перетворюють рівняння в правильну рівність, то вона лежить на графіку функції.

1. \(O(0; 0)\ y = \mathrm{tg}\ x,\) \(0 = \mathrm{tg}\ 0.\)
Отже, 1 – В.

2. \(M(0; -1)\ y = \sqrt{x} - 1\), \(-1 = \sqrt{0} - 1.\)
Отже, 2 – Г.

3. \(N(-1; 0)\ y = 2x + 2\), \(0 = 2(-1) + 2.\)
Отже, 3 – А.

4. \(K(0; 1)\ y = 2^x\), \(1 = 2^0.\)
Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – А, 4 – Д.