ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формули для обчислення бічної поверхні циліндра й уміння її застосовувати.

Площу бічної поверхні циліндра обчислімо за формулою:

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти циліндра \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m\cdot a^n=a^{m+n};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi R\cdot R=2\pi R^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

А також властивість степенів:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

З першого рівняння виразімо добуток \(xy{:}\)

Підставмо отриманий вираз у друге рівняння:

\begin{gather*} 2x+3=2x-y+11;\\[7pt] 2x-2x+y=11-3;\\[7pt] y=8. \end{gather*}

Підставмо \(y=8\) в перше рівняння:

\begin{gather*} 8x=2x+3;\\[7pt] 8x-2x=3;\\[7pt] 6x=3;\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

\((0{,}5; 8)\) – розв'язок системи.

Обчислімо добуток:

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=0{,}5\cdot 8=4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про вписані кути в колі та вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника.

За умовою \(AB=BC\), тож трикутник \(\Delta ABC\) – рівнобедрений. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні: \(\angle BAC=\angle BCA.\)

Сума кутів трикутника – \(180^\circ.\) Отже,

Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Оскільки \(\angle BCA=80^\circ\) і він спирається на дугу \(\overset{\smile}{AB}\), то сама дуга вдвічі більша:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв’язувати задачі на застосування властивостей арифметичної прогресії.

Обчислімо різницю арифметичної прогресії \((d){:}\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1)\) обчислімо найменший додатний член прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9+(-0{,}7)(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9-0{,}7n+0{,}7\gt 0;\\[7pt] -0{,}7n\gt -2{,}9-0{,}7;\\[7pt] -0{,}7n\gt -3{,}6;\\[7pt] n\lt -3{,}6:(-0{,}7)\approx 5{,}14;\\[7pt] n\lt 5{,}14. \end{gather*}

Отже, номер найменшого додатного члена прогресії \(n=5.\)

Обчислімо п`ятий член цієї прогресії:

Відповідь: A.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Якщо \(n=0\), то \(x=0.\)

Якщо \(n=1\), то \(x=3\pi.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей степеня із цілим показником, а також уміння здійснювати тотожні перетворення раціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо \(\dfrac na=3\), то

Отже, 1 – Д.

2. Якщо \(1+\log_3 n=\log_3 a\), то

\begin{gather*} \log_3 3+\log_3 n=\log_3 a;\\[7pt] \log_3 3n=\log_3 a;\\[7pt] a=3n. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. Якщо \(3^n\cdot 3=3^a\), то

\begin{gather*} 3^n\cdot 3^1=3^a;\\[7pt] 3^{n+1}=3^a;\\[7pt] a=n+1. \end{gather*}

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} a^1=a;\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. \(y=\log_2 x\) логарифмічна функція з основою \(a=2.\)

Функція визначена лише за \(x\gt 0\), отже, вона не визначена за \(x=-2.\) Отже, 1 – А.

2. \(y=x^2-4x-4\) квадратична функція, графік якої – парабола.

Обчислімо значення функції за \(x=2{:}\)

Оскільки \(-8\lt 0\), функція набуває від'ємного значення за \(x=2.\) Отже, 2 – Б.

3. Функція \(y=\dfrac 4x\) непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника і середньої лінії трапеції.

1. \(KC.\) У паралелограмі протилежні сторони рівні:

\(AD=BC;\)

Отже, \(BC=26\) см.

Оскільки точка \(K\) – середина \(BC{:}\)

\begin{gather*} KC=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. Середня лінія трапеції \(KCDP.\)

Розгляньмо чотирикутник \(KCDP.\) Сторони \(KC\!\parallel\!PD\) (як частини основ паралелограма), а \(KP\!\nparallel\!PD.\) Це прямокутна трапеція. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} L=\frac{KC+PD}{2};\\[6pt] L=\frac{13+8}{2}=\frac{21}{2}=10{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. \(KP.\) Розгляньмо трикутник \(AKD.\) За умовою він прямокутний \((\angle AKD=90^\circ)\), а \(KP\) – його висота, проведена до гіпотенузи \(AD.\) За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику:

\begin{gather*} KP^2=AP\cdot PD;\\[7pt] KP^2=18\cdot 8=144;\\[7pt] KP=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – В.