ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку тотожних перетворень раціональних та логарифмічних виразів.

1. Скористаймося формулою скороченого множення квадрат різниці:

Отже, правильна відповідь – Д.

Скористалися формулою скороченого множення різниця квадратів:

Отже, правильна відповідь – A.

3. Скористаймося властивостями логарифма:

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

A. Функція \(y=-\dfrac 3x\) має графік – гіперболу.

Б. \(y=x^2+3\) квадратична функція, графік якої – парабола з вершиною на осі \(y.\)

Функція \(y=x^2+3\) парна:

\begin{gather*} f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=f(x). \end{gather*}

Графік симетричний відносно осі \(y.\) Отже, 3 – Б.

B. Функція \(y=\sqrt{x}\) зростає на всій області визначення.

\(y=\sqrt{x}\) за означенням набуває значень від \(0\) до \(+\infty.\)

\begin{gather*} E(y)=[0; +\infty). \end{gather*}

Отже, 2 – B.

Г. \(y=\log_{0{,}5}x\) логарифмічна функція з основою \(a=0{,}5.\)

Оскільки основа \(0{,}5\lt 1\), функція спадна на всій своїй області визначення \(x\gt 0.\) У точці \(x=3\) функція має найменше значення на відрізку \([1; 3]\).

Отже, 1 – Г.

Д. Графік функції \(y=3x\) – пряма.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\angle KAB.\) Оскільки \(\Delta AKB\) рівнобедрений \((AK=KB)\), то кути при його основі рівні:

Отже, 1 – B.

2. \(\angle KAC.\) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ.\) \(\Delta ACB{:}\)

Оскільки промінь \(AK\) проходить між сторонами кута \(\angle CAB{:}\)

Отже, 2 – Б.

3. \(\angle OKB.\)

У прямокутному трикутнику центр описаного кола (точка \(O\)) – середина гіпотенузи \((AB).\) Отже, \(AO=OB.\) Оскільки \(\Delta AKB\) – рівнобедрений \((AK=KB)\) за умовою, то медіана \(KO\), проведена до його основи \(AB\), є також і висотою. \(KO\!\perp\!AB\Rightarrow \angle KOB=90^\circ.\) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ. \Delta KOB{:}\)

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил знаходження первісної, визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона – Лейбніца:

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), a \(F(x)\) – її первісна.

Відповідь: \(-7{,}5.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення комбінації, вміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

Відвідувач вибирає або (сендвіч і напій), або (салат і напій).

Сендвіч і напій. Вибираємо один із \(10\) сендвічів \((C_{10}^1=10)\) й один із \(6\) напоїв \((C_6^1=6)\) за правилом добутку:

Салат і напій. Вибираємо один із \(8\) салатів \((C_8^1=8)\) й один із \(6\) напоїв \((C_6^1=6)\) за правилом добутку:

\begin{gather*} 8\cdot 6=48. \end{gather*}

Оскільки відвідувач вибирає або перший набір, або другий, за правилом суми додамо отримані результати:

\begin{gather*} 60+48=108. \end{gather*}

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) — \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Правило суми: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) — \(m\) способами (і ці способи не перетинаються), то вибір «\(A\) або \(B\)» можна здійснити \(n + m\) способами.

Відповідь: \(108.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

В основі прямокутного паралелепіпеда лежить прямокутник. Оскільки його діагоналі рівні, за умовою вони становлять \(12\) см, що вдвічі більше за одну зі сторін основи.

У прямокутному \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Площа прямокутника \(ABCD\) (основи паралелепіпеда):

Діагональний переріз \(BB_1D_1D\) – прямокутник зі сторонами \(BD\) і \(DD_1\) де (\(DD_1=H\) – висота паралелепіпеда).

За умовою:

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=72\sqrt{3};\\[7pt] S_{BB_1D_1D}=BD\cdot H;\\[7pt] 12\cdot H=72\sqrt{3};\\[7pt] H=72\sqrt{3}:12=6\sqrt{3}. \end{gather*}

Об'єм прямокутного паралелепіпеда обчислімо за формулою:

Відповідь: \(648.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом, рівняння з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола з центром в точці \(O(x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

1) \((x-6)^2+(y+8)^2=a\) коло з центром \(O_1(6; -8)\) та радіусом \(R=\sqrt{a}.\)
2) \(x^2+y^2=9\) коло з центром \(O_2(0; 0)\) та радіусом \(r=3.\)

Система має єдиний розв'язок тоді, коли ці два кола дотикаються.

Знайдемо відстань між центрами кіл \(O_1O_2\) за формулою відстані між точками:

Для дотику відстань між центрами має дорівнювати або сумі, або різниці радіусів:

Зовнішній дотик: \(R+r=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}+3=10;\\[7pt] \sqrt{a}=7;\\[7pt] a=49. \end{gather*}

Внутрішній дотик: \(|R-r|=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}-3=10;\\[7pt] \sqrt{a}=13;\\[7pt] a=169. \end{gather*}

(Також можливий варіант \(3-\sqrt{a}=10\), але тоді \(\sqrt{a}=-7\), що неможливо).

Оскільки за умовою потрібне найбільше значення, вибираємо \(169.\)

Відповідь: \(169.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Отже, кількість опадів перевищувала \(50\) мм у \(5\), \(6\), \(7\) та \(12\text{-му}\) місяцях.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

Відповідь: Д.