ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та скалярний добуток векторів.

1. \begin{gather*} \overline{a}(2;\ -9;\ 3)\\[7pt] \overline{b}=-2\overline{a}(-4;\ 18;\ -6) \end{gather*} Сума координат \(-4+18+(-6)=8\).

2.

$$ \overline{a}(a_1;\ a_2;\ a_3),\ \overline{b}(b_1;\ b_2;\ b_3) $$ За формулою \(\overline{a}\cdot \overline{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) знаходимо скалярний добуток векторів:

Відповідь: 1. 8. 2. –188.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Круг.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей геометричних фігур.

\(\angle KAD=90^\circ,\ S_{\text{сектора}}=100\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\) \(BM=16\ \text{см}.\)

1. Площа сектора \(KAD\) становить \(\frac 14\) площі круга.

Площа круга \(S=\mathbf{\pi}R^2\). Отже, \(S_{\text{сектора}}=\frac 14\mathbf{\pi}R^2=100\mathbf{\pi}.\)

2. \(AM=AD=20\ \text{см}\) (як радіуси)
\(BM=16\ \text{см}\) (за умовою).

У \(\triangle ABM\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \begin{gather*} AM^2=AB^2+BM^2;\\[7pt] AB^2=20^2-16^2=(20-16)(20+16)=\\[7pt] =4\cdot 36\\[7pt] AB=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot AD=12\cdot 20=240\ \ \text{см}^2 \end{gather*}

Відповідь: 1. 20. 2. 240.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, знаходити відсоток від числа.

1. У 100 г морозива міститься:

2. Морозиво, з'їдене Ладою, становило \(30\ \text{%}\) від \(500\ \text{г}\). Маса з'їденого морозива $$ 500\cdot 0,3=150\ \text{г}. $$

У \(100\ \text{г}\) морозива енергетична цінність становить \(206\ \text{ккал}\).

У \(150\ \text{г}\) морозива енергетична цінність становить \(206\cdot 1,5=309\ \text{ккал}\), тому що \(150\ \text{г}\) у \(1,5\) рази більше, ніж \(100\ \text{г}\).

Відповідь: 1. 206. 2. 309.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма, ромба; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

1. На рис. 1 зображено ромб. За властивістю ромба діагоналі перетинаються під прямим кутом. Отже, 1 – A.

2.

У \(\triangle ABK (\angle K=90^\circ )\) катет \(BK=4\) менше гіпотенузи вдвічі \(AB=8\), тому \(\angle A=30^\circ\ \left(\sin 30^\circ=\frac 12=\frac{BK}{AB}\right)\). Правильна відповідь - Б.

3.

За формулою \(S=ah_a\), де \(a=8,\ \ h_a=2\). Площа паралелограма \(S=8\cdot 2=16.\) Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1А, 2Б, 3Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання поняття відстані від точки до площини, між паралельними площинами.

1. Довжина діагоналі куба дорівнює \begin{gather*} B_1D^2=AD^2+DC^2+DD_1^2=\\[7pt] =2^2+2^2+2^2=12\\[7pt] B_1D=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3} \end{gather*} Отже, 1 - В.

2. Бічне ребро \(AA_1\perp (A_1B_1C_1)\), а отже, й прямій \(A_1C_1\), яка міститься в цій площині $$ AA_1=\mathbf{\rho}(A, A_1C_1)=2 $$ отже, 2 - A.

3. Осьовий переріз куба \(BB_1D_1D\) перпендикулярний площині основи. \(AO\perp BD\) за властивістю квадрата. Отже, \begin{gather*} \mathbf{\rho}(A,\ (BB_1D_1))=AO\\[7pt] AC=2\sqrt{2},\\[7pt] AO=\frac 12 AC=\frac 12\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}. \end{gather*} отже, 3 - Д

Відповідь: 1В, 2А, 3Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази, вирази з модулем та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.

1. $$ |x-\sqrt{5}|=|\sqrt{5}-1-\sqrt{5}|=|-1|=1 $$ Oтже, 1 - Б.

2. \begin{gather*} (\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5})^2-1^2=\\[7pt] =5-1=4 \end{gather*} використали формулу $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ Отже, 2 - B.

3. \begin{gather*} x^2+2x+1=(x+1)^2=\\[7pt] =(\sqrt{5}-1+1)^2=(\sqrt{5})^2=5 \end{gather*} використали формулу $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ Отже, 3 - Г.

Відповідь: 1Б, 2В, 3Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуємо задані графіки функцій

1. \(y=\log_2 x\)

Не перетинає вісь \(y\). Отже, 1 – А.

2. \(y=x^2+3\)

Має лише одну спільну точку з графіком рівняння \(x^2+y^2=9\). Отже, 2 - Г.

3. \(y=\cos x\).

Розташований у всіх координатних чвертях. Отже, 3 - В.

Відповідь: 1А, 2Г, 3В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, трапеції; вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

\(ABCD\) – рівнобічна трапеція, \(AB=CD\). Уздовж основи \(BC\) встановлено \(15\) стовпчиків на відстані \(1\) м. Отже, довжина сторони \(BC=14\ \text{м}\).

Відстань між паралельними сторонами \(BC\) та \(AD\) дорівнює \(5\) м. $$ CE\perp AD,\ \ CE=5\ \text{м}. $$

У \(\triangle CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Уздовж сторін \(AB\) й \(CD\) має бути по \(13\) стовпчиків.

Всього стовпчиків має бути $$ 13+15+13=41. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.

Розв'яжемо показникову нерівність:

Функція \(y=3^x\) зростає, отже, \begin{gather*} x\lt 3-x;\ \ 2x\lt 3;\ \ x\lt \frac 32.\\[7pt] x\in (-\infty;\ \frac 32). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

\(EF\) – апофема (висота бічної грані).

\(ABCD\) – квадрат зі стороною \(8\ \text{см}\). $$ S_{\text{повної}}=S_{\text{бічної}}+S_{\text{основи}}=208\ \text{см}^2 $$

За формулою

запишемо площу бічної поверхні (де \(m=EF\)) $$ S_{\text{основи}}=8^2=64\ (\text{см}^2) $$

Отже,

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Завдання скеровано на перевірку знання геометричного змісту визначеного інтеграла.

Використаємо геометричний зміст визначеного інтеграла та формулу Ньютона-Лейбніца, знаходимо площу фігури: \begin{gather*} S=\int_{0}^{4}(3-f(x))dx \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів з цілим показником, логарифмічних виразів.

Запишемо числа \(a,\ b\) i \(c\) в іншому вигляді:

Правильна подвійна нерівність \begin{gather*} -1\lt 0,2\lt 2,\ \text{отже},\\[7pt] c\lt b\lt a \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння.

Розв'яжемо рівняння $$ \frac{x}{9-x}=\frac 12;\ \ x\ne 9 $$

Використаємо властивість пропорції

належить проміжку \((2;\ 5]\).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Використаємо основну тригонометричну тотожність \(\sin^2\mathbf{\alpha}+\cos^2\mathbf{\beta}=1\) та спростимо вираз:

Відповідь: Д.