ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.

I.   Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).

II.  Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).

III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання властивостей степенів.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення буквеного виразу.

За формулою \(\mathrm{F}=1\mathord{,}8\cdot \mathrm{C} +32\) знаходимо значення, яке показуватиме термометр, якщо \(\mathrm{C}=50^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Спростимо вираз за формулою "різниці квадратів":

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей та графіків функцій.

Правильна відповідь – Г\((4; -2).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, суміжних кутів.

За властивістю суміжних кутів $$ \angle ABM+\angle CBA=180^\circ. $$

За властивістю паралелограма \(\angle B=\angle D=155^\circ\) як протилежні.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння: \begin{gather*} x^2-8x+15=0,\\[6pt] D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4,\\[6pt] x_1=\frac{8+2}{2\cdot 1}=5,\\[6pt] x_2=\frac{8-2}{2\cdot 1}=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників.

Прямою трикутною призмою є призма, основою якої є трикутник, а бічні ребра перпендикулярні до площини основи. Це означає, що всі бічні грані - прямокутники.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

\(40\) учасників семінару мають бути забезпечені двома пляшками води. Отже, потрібно \(80\) пляшок.

Упаковка містить \(12\) пляшок води. \(80:12=6\) (остача \(8\)). Тобто, потрібно \(6\) упаковок та \(8\) пляшок води.

Отже, найменша кількість упаковок, яких вистачить для всіх учасників семінару - \(7\) шт.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих телевізорів.

У січні – \(270\),
лютому – \(160\),
березні – \(260\),
квітні – \(230\),
травні – \(280\),
червні – \(320.\)

Правильна відповідь – B (у березні продано телевізорів більше, ніж у лютому).

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності, логарифмічні нерівності з параметрами та їхні системи.

1. Розв'яжемо методом інтервалів першу нерівність: $$\frac{3(x+2)}{x}\le 0,\ \ x=-2,\ \ x\ne 0.$$

Отже, \(x\in [-2; 0).\)

2. Розв'яжемо другу нерівність:

1) При \(a\in (1; 2)\) функція \(y=\log_{(a/2)}x\) спадна, отже,

$$x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3].$$

2) При \(a\in (2; +\infty)\) логарифмічна функція зростаюча

\begin{gather*} |x-a+2|\ge a-1,\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x-a+2\ge a-1,\\ x-a+2\le 1-a, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ge 2a-3,\\ x\le -1. \end{array}\right. \end{gather*}

$$x\in (-\infty; -1]\cup [2a-3; +\infty).$$

Відповідь: при \(a\in (0; 1]\cup {2}\) немає розв'язків;

3. Розв'яжемо систему нерівностей:

при \(a\in (1; 1\mathord{,}5)\)

$$x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3]$$

при \(a\in (1\mathord{,}5; 2)\)

$$x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-0]$$

при \(a\in (2; +\infty)\)

$$x\in [-2; -1]$$

при \(a= 1\mathord{,}5\)

$$x\in [-1; -0\mathord{,}5)\cup (-0\mathord{,}5; 0).$$

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

\(OA=R\), \(SA=l\), \(AB\) – хорда.

1. \(\Delta SAB\) – переріз площиною \(\mathbf{\beta}\), яка проведена через вершину \(S\) та хорду \(AB.\) \(SA=SB=l\) – твірна конуса, отже, \(\Delta SAB\) – рівнобедрений.

2. Проведемо \(OK\ \perp\ AB.\) \(SO\ \perp\ (OAB)\), \(SK\) – похила, \(OK\) – проекція похилої \(SK\) на \((OAB).\) За теоремою про три перепендикуляри: якщо \(OK\ \perp\ AB\), то \(SK\ \perp AB.\) \(SK\cap OK.\)

За ознакою перпендикулрності прямої та площини \(AB\ \perp\ (SOK)\), тому \(\angle SKO=\mathbf{\alpha}\) – лінійний кут відповідного двограного між площинами \((SAB)\) i \((OAB).\)

3. У \(\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: \begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2,\\[7pt] SO^2=SA^2-OA^2=l^2-R^2,\\[7pt] SO=\sqrt{l^2-R^2}. \end{gather*}

У \(\Delta SAB\ SA=SB=l\), \(SK\) – висота, медіана. \(AK=KB.\)

У \(\Delta SKA\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(2l+\frac{2}{\sin\mathbf{\alpha}}\sqrt{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, розв'язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної.

Задано функції \(f(x)=\frac 3x\) i \(g(x)=5-3x.\)

1. \(f(x)=\frac 3x\) обернена пропорційність, графік – гіпербола.

2. \(g(x)=5-3x\) – лінійна функція, графік – пряма.

4. Дотичні до графіка функції \(f(x)=\frac 3x\) паралельні прямій \(g(x)=5-3x.\)

Отже, \(f'(x_0)=k=-3.\)

Підставимо значення похідної в точці в похідну:

\(\frac{-3}{x_0^2}=-3\), \(x_0^2=1\), \(x_0=1\) або \(x_0=-1.\)

Відповідь: 3. \(f'(x)=-\frac{3}{x^2}.\)
                   4. \(x_0=1\) або \(x_0=-1.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів.

Запишемо рівняння кола у вигляді:

\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус.
\((x^2-8x+16)+y^2-16+7=0\),
\((x-4)^2+y^2=9\), \(O(4; 0)\) – центр кола.

За формулою знаходження координат середини відрізка знаходимо координати точки \(D:\)

Знайдемо координати векторів \(\overline{AB}\) та \(\overline{AD}:\)

\(\overline{AB}(0-(-4); 3-(-3))\), \(\overline{AB}(4; 6)\), \(\overline{AD}(12; 0).\)

Знайдемо довжини векторів:

Відповідь: \(72.\)