ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логаримфічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, степеневих, логарифмічних виразів, використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

1. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою: \begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|,\\[6pt] \sqrt{\left(-\frac 12\right)^2}=\left|-\frac 12\right|=\frac 12=0\mathord{,}5\\[6pt] 0\mathord{,}5\in [0; 1). \end{gather*} Отже, 1 – B.

2. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою: \begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y},\\[6pt] 8^{\frac 23}=(2^3)^{\frac 23}=2^2=4,\\[6pt] 4\in [3; +\infty). \end{gather*} Отже, 2 – Д.

3. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулами: \begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b,\\[7pt] \log_{a^k} b=\frac 1k\cdot \log_a b. \end{gather*}

\(\log_{\frac 12} 10\lt \log_{\frac 12} 8\)
\(\log_{\frac 12} x\) – спадна функція, тому більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. $$ \log_{\frac 12} 8=-3, $$ тому $$ \log_{\frac 12}10\lt -3\ \ (-\infty; -3). $$ Отже, 3 – A.

4.За означенням модуля числа: \begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[6pt] \left|\frac 12-2\right|=\left|-1\frac 12\right|=1\frac 12=1\mathord{,}5\\[6pt] 1\mathord{,}5\in [1; 3). \end{gather*} Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про прямокутник та його властивості, середню лінію трикутника та її властивості.

1. У \(\Delta ABC\ KM\) – середня лінія, тому точка \(E\) – середина \(KM.\) \(EE_1\ \perp\ BC\), \(EE_1\ ||\ BK\), тому \(EE_1\) – середня лінія \(\Delta BKM.\)

(за властивістю середньої лінії).

Отже, 1 – A.

2. \(AC\cap BD=O.\) \(KO\) – середня лінія \(\Delta ABD\), тому

Отже, 2 – B.

3. У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\(KM\) – середня лінія \(\Delta ABC\) $$ KM=\frac 12AC=\frac 12\cdot 10=5. $$

Отже, 3 – Б.

4. Нехай \(\angle BKM=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), тоді

\(\Delta KBM\) подібний \(\Delta NAK\) (за двома кутами).

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості тіл і поверхонь обертання до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення площ поверхонь та об'ємів тіл обертання.

\(ABCD\) осьовий переріз циліндра \(R=OB=6\), \(OO_1=h.\)

1. 

Отже, 1 – Д.

2. 

Отже, 2 – Б.

3. 

Отже, 3 – A.

4.

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Основні задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом, знаходити відсоток від числа.

Зошит у клітинку або в лінійку коштує \(3\) грн. Кожному учневі потрібно \(9\) зошитів у клітинку та \(3\) зошити в лінійку.

1. Кількість зошитів, яку треба закупити:

2. При купівлі зошитів по \(10\) штук надається знижка \(5\text{%}.\) Кількість зошитів кожного виду кратна \(10\), тому знижка буде на всі зошити.

Отже, вартість усіх зошитів зі знижкою \(5\text{%}\) становить

Відповідь: 1. \(960.\)
                   2. \(2736.\)

ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, уміння застосовувати властивості ромба, використовувати формули площ геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач.

1. Довжина кола $$ C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R=12\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}. $$ Отже,

2. Нехай $$ AK=MC=x, $$ тоді $$ KM=6x=2R=12. $$ Отже, \(x=2.\)

Площу ромба знайдемо за формулою: $$ S=\frac 12d_1d_2, $$ де \(d_1\), \(d_2\) – довжини діагоналей.

Відповідь: 1. \(12.\)
                   2. \(96.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст.

Це завдання перевіряє знання таблиці похідних елементарних функцій, правила знаходження похідної суми, вміння розв'язувати задачі з використанням фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом: $$ S(t)=4t^2+9t+8. $$

Швидкість руху $$ V(t)=S'(t)=8t+9. $$

При \(t=4\ \text{с}\)

Відповідь: \(41.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Застосування рівнянь до розв'язування задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування задач.

Розв'яжемо задачу складанням рівняння.

Нехай на виготовлення \(1\) стола необхідно \(x\) пластику, тоді на \(1\) диван витрачають \((x+1)\) кг, а на крісло – \((x+1-3)\) кг.

На \(10\) крісел витрачають стільки пластику, скільки на \(2\) стола та \(4\) дивана, тому

На \(1\) стiл витрачається пластику \(6\) кг, \(1\) диван – \(7\) кг, \(2\) крісла – \(2\cdot 4=8\) кг.

Отже, на виготовлення одного комплекту меблів витрачають $$ 6+7+8=21\ \text{кг} $$ пластику.

Відповідь: \(21.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики. Перестановки, комбінації, розміщення (без повторень). Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів вибрати один торт з десяти: $$ C_{10}^1=10. $$

Кількість способів вибрати \(3\) пачки печива з \(15\) знаходимо:

Необхідно вибрати або \(1\) торт або \(3\) пачки печива, тому використовуємо комбінаторне правило суми:

Відповідь: \(465.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів.

1. \(AD\ ||\ BC.\) Отже,

2. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) (за правилом трикутника). Отже, \(\overrightarrow{AC}(-2; 12).\)

3. \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BD}(-10; -3).\)

4. Знаходимо скалярний добуток векторів:

Відповідь: \(-16.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Показникові, логарифмічні, квадратичні функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень та визначення функцій, будувати графіки елементарних функцій.

Знайдемо область допустимих значень:

Розв'яжемо методом інтервалів:

Область визначення даної функції \(D(y)=(0; 5).\)

Використаємо основну логарифмічну тотожність: \(a^{\log_ab}=b\), тоді \(y=5x-x^2.\)

Отже, побудувати необхідно графік квадратичної функції.

\(a=-1\), гілки параболи напрямлені вниз.

Знаходимо координати вершини параболи:

\((2\mathord{,}5; 6{,}25)\) – вершина.

Точки перетину параболи з осями координат:

Побудуємо графік функції на області визначення:

Область значень: \(E(y)=(0; 6\mathord{,}25].\)

Відповідь: \((0; 6\mathord{,}25].\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, нерівності з параметрами; рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Знайдемо область допустимих значень: $$ \left\{\begin{array}{l} |x+6|-|x|+6\ne 0,\ \ (1)\\ x+2a\ge 0,\\ 4-x\ge 0. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо рівняння (1): $$ |x+6|-|x|+6\ne 0 $$

I) при \(x\in (-\infty; -6]\) \begin{gather*} -x-6+x+6=0,\\[7pt] 0=0 \end{gather*} при будь-якому значенні \(x\) знаменник дорівнює нулю, тому на даному проміжку коренів немає.

II) при \(x\in (-6; 0)\) \begin{gather*} x+6+x+6=0,\\[7pt] x=-6 \end{gather*} на даному проміжку немає значень \(x\) при яких знаменник дорівнює нулю.

III) при \(x\in [0; +\infty)\) \begin{gather*} x+6-x+6=0,\\[7pt] 12\ne 0 \end{gather*} на даному проміжку немає значень \(x\) при яких знаменник дорівнює нулю.

Якщо \(-2a\gt 4\), то \(a\lt -2\) розв'язків немає.

Розглянемо випадок \(-2a\le 4\), \(a\ge -2.\)

На області допустимих значень \(x_2=7n,\ n\in Z\) має \(x=0\) корінь.

\(x_1=2-a\) – корінь за умови

при \(a\in [-2; 8)\)

при \(x_1=x_2=0\), \(\ 2-a=0\), \(\ a=2.\)

Відповідь: при \(a\in (-\infty; -2)\) немає коренів;
                   при \(a\in [-2; 0)\ x=2-a\);
                   при \(a\in [0; 2]\cup (2; 8)\ x_1=2-a\); \(x_2=0\);
                   при \(a\in [8; +\infty)\cup \left\{2\right\}\ x=0.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання кута між прямою та площиною, між площинами, уміння застосовувати властивості піраміди до розв'язування стереометричних задач.

1. 

2. \(SA\ \perp\ (ABC)\), \(SB\) – похила, отже \(AB\) – проекція \(SB\) на \((ABC).\) Тому кут між площинами \(SB\) та \((ABC)\mathord{:}\ \angle SBA=30^\circ.\)

3. У \(\Delta SAB\ (\angle A=90^\circ)\)

4. За умовою, \(\Delta ABC\) – гострокутний, тому основа висоти \(AK\) до сторони \(BC\) належить стороні \(BC.\)

5. \(AK\ \perp\ BC\), \(SK\ \perp BC\) (за теоремою про три перпендикуляри), звідси \((SAK)\ \perp\ BC\), а отже \(\angle SKA\) – лнійний кут двогранного кута між площинами \((SBC)\) та \((ABC).\)

6. 

отже, \(AK=8.\)

7. У \(\Delta SAK\ (\angle A=90^\circ)\)

Відповідь: \(\mathrm{arctg}\ \frac{3\sqrt{3}}{4}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння першого степеня, застосовувати загальні методи та прийоми в процесі розв’язання рівнянь.

Розв’яжемо рівняння першого степеня відносно \(y:\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Аксіоми планіметрії.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

Відповідь: A.