ТЕМА: Дійсні числа. Раціональні, ірраціональні, тригонометричні й логарифмічні числа.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення степеневих, логарифмічних і тригонометричних виразів.

1. За властивістю степенів: $$ a^n:a^m=a^{n-m}, $$

Отже, правильна відповідь – Д.

2. За властивістю логарифмів:

Отже,

Правильна відповідь – Б.

3. Спростiмо вираз за формулою різниці квадратів: $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$ \(\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\) – табличне значення.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=-x^3\) набуває всіх значень із проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(y=\sqrt{x}\) має лише одну спільну точку з колом \(x^2+y^2=9\) (центра кола \((0; 0)\) і радіус \(3\)).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=\cos x.\) З тригонометричних функцій \(y=\sin x\), \(y=\cos x\), \(y=\operatorname{tg}\ x\), \(y=\operatorname{ctg}\ x\) тільки одна функція парна – це \(y=\cos x\). Всі інші тригонометричні функції – непарні.

Функція \(y=\cos(x)\) є парною, бо для неї виконується рівність \(\cos(-x)=\cos(x)\), її графік є симетричним відносно осі \(Oy.\) Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати первісну, використовуючи її основні властивості.

За таблицею первісних: функція \(f(x)=e^x\) має первсну \(F(x)=e^x + C\), функція \(f(x)=1\) має первісну \(F(x)=x+C\), де \(C\) – стала.

Визначмо загальний вигляд первісних для функції \(f(x)=2e^x+1\mathord{:}\) $$ F(x)=2e^x+x+\mathrm{C}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Корені рівняння:

якщо \(n=0\), $$ x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}\cdot 0=\mathbf{\pi}, $$ якщо \(n=-1\),

Відповідь: B.

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

Корінь рівняння \(4\in [3; 10).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника.

За властивістю середньої лінії трапеції: $$ KM\ ||\ BC\ ||\ AD, $$

У \(\Delta ABC\ KO\) – середня лінія. За властивістю середньої лінії: $$ KO=\frac 12BC. $$ Oтже, \(BC=10\) см.

У \(\Delta ACD\ OM\) – середня лінія, тому

Побудуймо \(CH\ \perp\ AD.\)

У \(\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)\)

Площа трапеції

Відповідь: Г.

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, застосовувати формули скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, обчислювати їхнє значення.

За основною тригонометричною тотожністю:

Обчислімо значення виразу:

Відповідь: A.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й висоти трикутника.

I. \(AM\) – медіана. Вона може дорівнювати довжині сторони \(BC\), але не обов'язково. Твердження неправильне.

II. Відстанню від точки \(A\) до прямої \(BC\) є довжина перпенидкуляра з точки \(A\) до \(BC.\)

У довільному трикутнику медіана не є висотою, а тому твердження неправильне. Таку властивість має медіана рівнобедреного трикутника, яку проведено до основи.

III. Точка \(M\) – середина сторони \(BC\), тож вона рівновіддалена від точок \(B\) i \(C.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних прямих.

За властивістю паралельності прямих \(AB\ ||\ CD\), \(CD\ ||\ C_1D_1\), \(AB\ ||\ C_1D_1\), \(AB\ ||\ A_1B_1\) (як протилежні сторони квадратів).

Отже, прямих, що проходять через ребра куба і є паралельними прямій \(AB\), – три \((CD\), \(\ C_1D_1\), \(\ A_1B_1).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з раціональними числами, використовувати властивості модуля.

Спростімо вираз

за формулою різниці квадратів $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$

Підставимо в умову:

За властивістю модуля числа:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функції.

На рисунку зображено графік функції на проміжку \([-5; 4].\)

Функція набуває додатних значень там, де графік проходить вище від осі \(Ox.\) Це відповідає \(x\) із проміжку \([-5; -1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей і видів кутів.

Розгорнутий кут поділено на \(10\) рівних частин. Градусна міра кожного з-поміж цих кутів $$ 180^\circ: 10=18^\circ. $$

Градусна міра кута між довгими стрілками складається з двох градусних мір кутів між довгою і короткою стрілкою.

Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати квадратні рівняння.

А

Рівняння має один корінь.

Б

Рівняння коренів не має.

В

Рівняння має два різні дійсні корені.

Г

Рівняння коренів не має.

Д

Рівняння має один корінь.

Відповідь: В.