ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати перетворення графіків функцій.

1. На проміжку \([-4; 0]\) зображено графік функції \(y=\sqrt{-x}.\)

Елементарним перетворенням \(f(x)\rightarrow f(-x)\) графік відображено симетрично відносно осі \(Oy.\) Отже, правильна відповідь – Д.

2. На проміжку \((0; 2]\) зображено графік функції \(y=x^3.\) Отже, правильна відповідь – A.

3. На проміжку \((2; 6)\) зображено графік лінійної функції \(y=12-2x.\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. \(\ln\frac 1e=\ln e^{-1}=-1\cdot \ln e=-1\) є від'ємним цілим числом.

Застосували формули:

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(e+1\approx 2\mathord{,}7+1\approx 3\mathord{,}7\) є ірраціональним числом. Отже, правильна відповідь – Д.

Вираз \((e-1)^2\) спростили за формулою квадрата різниці: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – А.

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні і раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

Підставмо значення \(y=0\mathord{,}5\) у перше рівняння:

Розв'язком системи є пара чисел \((9; 0\mathord{,}5)\mathord{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворення виразу \(\frac 3x\) за властивістю степенів \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\mathord{:}\) $$ \frac 3x=3\cdot \frac 1x=3x^{-1}. $$

За правилом визначення похідних \((u+v)'=u'+v'\) визначимо похідну функції:

За таблицею похідних

Відповідь: A.

ТЕМА: Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, обчислення їхнього значення за заданих значень змінних.

Застосуймо формулу подвійного аргумента $$ \sin 2\mathbf{\alpha}=2\sin \mathbf{\alpha}\cos \mathbf{\alpha} $$ для спрощення виразу:

Значення виразу належить проміжку \([1; 2).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності.

\(BC=2x\), \(AD=5x=b\), \(x=\frac b5.\)

Побудуймо висоти \(BH\) i \(CK.\) \(HBCK\) – прямокутник, тому

Точка \(O\) – середина \(AD\), а тому \(HO=OK=x.\)

У \(\Delta BHO\ (\angle H=90^\circ)\), \(O=45^\circ.\) Отже, \(\Delta BHO\) – рівнобедрений. \(HO=BH=x.\)

Площу трапеції визначмо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота

Якщо $$ x=\frac b5, $$ то

Відповідь: Г.

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Застосуймо властивості алгоритмів:

Зведімо обидві сторони рівняння до логарифмів з однаковою основою:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, зокрема прямокутника.

I. Периметром паралелограма називають суму довжин всіх його сторін. $$ P=2(a+b). $$ Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

Отже, твердження правильне.

II. Площу паралелограма визначають за формулою: $$ S=ab\cdot \sin \mathbf{\alpha}. $$ Отже, якщо паралелограми мають рівні сторони, але різні кути між ними, то й площі будуть різні. Тому, твердження про рівність площ паралелограмів із однаковими сторонами в разі різних кутів між ними неправильне.

III. Рівні діагоналі прямокутника не означають рівності сторін. Тільки за умови, що протилежні сторони також рівні, інші сторони прямокутників також будуть рівними між собою.

Отже, твердження неправильне.

Відповідь: А.

ТЕМА: Показникові нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

Функція \(y=\left(\frac 14\right)^x\) – спадна, тому більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу:

$$ x\in (-\infty; 4). $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння додавати і віднімати вектори, визначати модуль вектора.

Визначмо різницю векторів за формулами:

Визначимо модуль вектора \(\overrightarrow{c}\) за формулою:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\(12a\) i \(5a\) – подібні доданки. Щоб звести подібні доданки, треба додати їхні коефіцієнти й результат помножити на буквену частину.

Аналогічно спрощують \((1a-17a).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Показникова функція.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості перетворення графіків функцій, знання властивостей показникової функції.

Графік функції \(y=3^x\) перенесли на \(2\) одиниці вниз уздовж осі \(y.\)

За властивістю елементарних перетворень переміщення вздовж осі \(y\) $$ f(x)\rightarrow f(x)+A, $$ де \(A\) – кількість одиниць, на які переміщують графік. Якщо \(A\gt 0\), то графік переміщують угору, а якщо \(A\lt 0\) – униз.

Запис \(y=3^x \rightarrow y=3^x-2\) означає, що графік функції перемістили вниз на \(2\) одиниці, бо \(A=-2.\)

Відповідь: А.

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів.

Кути \(\mathbf{\beta}\) i \(\mathbf{\varphi}\) – вертикальні. За їхньою властивістю \(\mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}.\)

За умовою \(\mathbf{\beta}+\mathbf{\varphi}=70^\circ\), тому $$ \mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}=70^\circ:2=35^\circ. $$

Кути \(\mathbf{\alpha}\) i \(\mathbf{\beta}\) – суміжні. За властивістю суміжних кутів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати основні задачі на відсотки, уміння визначати число за розміром його відсотка.

Ціна акції зросла на \(10\ \text{%}\) від початкової ціни.

Ціна тепер становить \(990\) грн і це \(110\ \text{%}\) від початкової ціни.

Визначмо \(x\) – початкову ціну акцій, яка становить \(100\ \text{%}.\) Складімо пропорцію:

Відповідь: A.