Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 800

Математика. Всі запитання починаючи з 800

801802803804805806807808809810811812813814815 ▶

Завдання 801 з 2375

Підлога кімнати має форму квадрата. На ній лежить квадратний килим, кожна сторона якого віддалена від найближчої стіни кімнати на $20\ \textit{см}$ (див. рисунок). Визначте периметр килима, якщо периметр підлоги дорівнює $18\ \textit{м}.$ Наявністю плінтусів на підлозі знехтуйте.

А$10$ м

Б$13\mathord{,}6$ м

В$15\mathord{,}8$ м

Г$16\mathord{,}4$ м

Д$17\mathord{,}2$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадрата, уміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач практичного змісту.

Нехай сторона квадрата (підлоги)

$a=P:4=18:4=4\mathord{,}5$ м.

Сторона квадрата (килима)

$b=a-0\mathord{,}4=4\mathord{,}5-0\mathord{,}4=4\mathord{,}1$ м.

$P=4b=4\cdot 4\mathord{,}1=16\mathord{,}4$ м – периметр килима.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12515

Завдання 802 з 2375

Якщо $2\sin \mathbf{\alpha}=\cos \mathbf{\alpha}$, то $\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=$

А$-2$

Б$-0\mathord{,}5$

В$0\mathord{,}2$

Г$0\mathord{,}5$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних.

$2\sin \mathbf{\alpha}=\cos \mathbf{\alpha}.$ Поділимо обидві частини рівності на вираз $\cos \mathbf{\alpha}\ne 0.$

\begin{gather*} \frac{2\sin \mathbf{\alpha}}{\cos \mathbf{\alpha}}=\frac{\cos \mathbf{\alpha}}{\cos \mathbf{\alpha}},\\[6pt] 2\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=1,\\[6pt] \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac 12=0\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12516

Завдання 803 з 2375

В арифметичній прогресії $(a_n)$ перший член $a_1=-21$, різниця $d=1\mathord{,}5.$ Скільки всього від'ємних членів має ця прогресія?

А$13$

Б$14$

В$15$

Г$16$

Д$18$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичні прогресії.

За формулою $n\text{-го}$ члена $a_n=a_1+d(n-1)$ знаходимо кількість від'ємних членів прогресії:

\begin{gather*} a_n=-21+1\mathord{,}5(n-1)\lt 0\\[7pt] -21+1\mathord{,}5n-1\mathord{,}5\lt 0\\[7pt] 1\mathord{,}5n\lt 22\mathord{,}5\\[7pt] n\lt 15. \end{gather*}

Найбільше ціле, яке є розв'язком нерівності $n=14$, є розв'язком задачі.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12517

Завдання 804 з 2375

Якщо $a\lt 1$, то $|a-1|+|-7|=$

А$a-8$

Б$a+6$

В$-a+6$

Г$-a-6$

Д$-a+8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивостей.

За властивістю модуля дійсного числа

\begin{gather*} |a|= \left\{\begin{array}{l} a,\ \text{при}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{при}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Спрощуємо вираз:

\begin{gather*} |a-1|+|-7|=-(a-1)+7=-a+1+7=-a+8,\\[7pt] a-1\lt 0\ \text{при}\ a\lt 1. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12518

Завдання 805 з 2375

Обчисліть інтеграл $ \mathop{\int}\limits_0^2(f(x)+6)dx, $ якщо $ \mathop{\int}\limits_0^2f(x)dx=8. $

А$20$

Б$14$

В$2$

Г$28$

Д$48$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбніцa для обчислення визначеного інтеграла.

$$ \mathop{\int}\limits_{0}^2 f(x)dx=8. $$

За формулою Ньютона-Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{0}^2 f(x)dx=\left.F(x)\right|_0^2=F(2)-F(0)=8. \end{gather*}

Звідси,

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{0}^2 (f(x)+6)dx=\left.F(x)+6x\right|_0^2=\\[6pt] =F(2)+6\cdot 2-F(0)-6\cdot 0=F(2)-F(0)+12=\\[6pt] =8+12=20. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12519

Завдання 806 з 2375

Визначте площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, довжина сторони основи якої дорівнює $10\ \textit{см}$, а довжина бічного ребра – $13\ \textit{см}.$

А$180$ cм$^2$

Б$15\sqrt{69}$ cм$^2$

В$30\sqrt{69}$ cм$^2$

Г$360$ cм$^2$

Д$390$ cм$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, знання формули для обчислення площі поверхні.

Дано: правильна трикутна піраміда, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

$AB=BC=AC=10$ см, $DA=DB=DC=13$ см. $DK\ \perp\ BC$ – апофема, $CK=KB=5$ см.

У $\Delta DKB\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} DB^2=DK^2+KB^2,\\[7pt] DK=\sqrt{169-25}=12\ \textit{см}. \end{gather*}

$$ S_\text{біч}=p_\text{осн}\cdot l, $$ де $p_\text{осн}$ – півпериметр основи, $DK=l$ – апофема.

$$ S_\text{біч}=\frac 12\cdot 30\cdot 12=180\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12520

Завдання 807 з 2375

Якому проміжку належить корінь рівняння $\log_2x=2\log_23$?

А$(0; 2]$

Б$(2; 4]$

В$(4; 6]$

Г$(6; 8]$

Д$(8; 10]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

Використаємо властивість логарифма: $$ \log_a b^n=n\cdot \log_a b, $$

\begin{gather*} \log_2x=\log_23^2,\\[7pt] \log_2x=\log_29. \end{gather*}

Звідси, $x=9$ корінь рівняння. Проміжок, якому належить корінь рівняння $(8; 10].$

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12521

Завдання 808 з 2375

Установіть відповідність між виразом (1–4) та твердженням про його значення (А – Д) при $a=15.$

Вираз

1$\frac 73a$

2$2a-1$

3$a^2+12a+36$

4$a^2-13^2$

Твердження про значення виразу

Аменше за $20$

Бє простим числом

Вє парним

Гділиться націло на $3$

Дділиться націло на $5$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів і знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінної.

1. $\frac 73a=\frac 73\cdot 15=\frac{7\cdot 15}{3}=35$

ділиться націло на $5.$ Отже, 1 – Д.

2. $2a-1=2\cdot 15-1=29$

є простим числом. Отже, 2 – Б.

3. $a^2+12a+36=(a+6)^2=(15+6)^2=21^2$

ділиться націло на $3.$ Отже, 3 – Г.

4. $a^2+13^2=15^2+13^2=225+169=394$

є парним числом. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – Г, 4 – В.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12523

Завдання 809 з 2375

Рівносторонній трикутник $ABC$ та рівнобедрений трикутник $ACD$, у якому $AC=DC$ i $\angle ACD=40^\circ$, лежать в одній площині (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1–4) та його градусною мірою (А – Д).

Кут

1$\angle ABC$

2$\angle ADC$

3кут між прямими $AB$ i $AD$

4кут між бісектрисами кутів $BAC$ i $CAD$

Градусна міра кута

А$45^\circ$

Б$50^\circ$

В$60^\circ$

Г$65^\circ$

Д$70^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. $\angle ABC=60^\circ$ (кут рівностороннього трикутника). Отже, 1 – В.

2. $\Delta ACD$ – рівнобедренний, тому

$$\angle A=\angle D=(180^\circ-\angle ACD): 2=(180^\circ-40^\circ):2=70^\circ.$$

Отже, 2 – Д.

3. $\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=60^\circ+70^\circ=130^\circ.$

Кутом між прямими, що перетинаються, називають менший із кутів, що утворився при перетині цих прямих. Кут між прямими $AB$ та $AD$ – це гострий кут, тому він дорівнює $180^\circ-130^\circ=50^\circ$ (суміжний з $\angle BAD$). Отже, 3 – Б.

4. $\angle BAD=130^\circ.$ $AK$ – бісектриса $\angle BAC$, $AP$ – бісектриса $\angle CAD.$

\begin{gather*} \angle KAP=\angle KAC+\angle CAP=\frac 12 \angle BAC+\frac 12 \angle CAD=30^\circ+35^\circ=65^\circ. \end{gather*}

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б, 4 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12524

Завдання 810 з 2375

Для приготування чайної суміші змішали індійський та цейлонський чай у відношенні $10:13$, причому індійського чаю взяли $180$ г.

1. Скільки грамів чайної суміші отримали?

2. На скільки відсотків у суміші цейлонського чаю більше, ніж індійського?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	414			30

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, відсоток від числа, число за значенням його відсотка.

1. Індійський чай $180$ г – це складає $\frac{10}{23}$ від маси суміші.

Отже,

$$ 180:\frac{10}{23}=\frac{180\cdot 23}{10}=414\ \textit{г} $$

маса суміші.

2. Якщо індійський чай складає $100\text{%}$, то цейлонський – $130\text{%}$, тому що маса чаїв складається у відношенні $10 : 13.$ Отже, цейлонського чаю на $30\text{%}$ більше.

Відповідь: 1. $414.$
2. $30.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12526

Завдання 811 з 2375

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ і кругові сектори $KAM$ та $BCP$, що мають одну спільну точку $O.$ Площа сектора $BCP$ дорівнює $9\mathbf{\pi}$ см$^2$, $AO=4$ см.

1. Визначте радіус сектора $BCP$ (у см).

2. Обчисліть площу прямокутника $ABCD$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	6			48

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

26

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їхні вимірювання. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, формул для обчислення площі кругового сектора, прямокутника.

1. Площу кругового сектора знаходимо за формулою $$ S_\text{сек}=\frac{\mathbf{\pi}R^2}{360^\circ}\cdot \mathbf{\alpha}, $$ де $\mathbf{\alpha}$ – центральний кут.

\begin{gather*} S_{BCP}=\frac{\mathbf{\pi}R^2}{360^\circ}\cdot 90^\circ=\frac{\mathbf{\pi}R^2}{4}=9\mathbf{\pi}\ \textit{см}^2,\\[6pt] R^2=36\ \textit{см}^2,\\[6pt] R=6\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Нехай $a$ – спільна дотична до секторів. За властивістю дотичної до кола $AO\ \perp\ a$, $CO\ \perp\ a$, тому точка $O$ лежить на прямій $AC.$

\begin{gather*} AC=AO+OC=4+6=10\ \textit{см}. \end{gather*}

У $\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)$ – єгипетський, тому $AB=8$ см.

$$ S_{ABCD}=AB\cdot BC=8\cdot 6=48\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: 1. $6.$
2. $48.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12527

Завдання 812 з 2375

Знайдіть область визначення функції $y=\sqrt[4]{50-3x}.$ У відповіді запишіть найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Нерівності. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції, розв'язувати лінійні нерівності.

Область визначення знаходимо з розв'язку нерівності: \begin{gather*} 50-3x\ge 0,\\[7pt] -3x\ge -50,\\[7pt] 3x\le 50,\\[7pt] x\le 50:3,\\[7pt] x\le 16\frac 23. \end{gather*}

Найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення – це число $16.$

Відповідь: $16.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12528

Завдання 813 з 2375

Човен проходить $24$ км за течією ріки за $5$ годин і $12$ км проти течії за $3$ години. Визначте швидкість течії ріки (у км/год). Уважайте, що власна швидкість човна та швидкість течії незмінні.

Впишіть відповідь:

0.4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, знання методів розв'язування раціональних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Човен проходить за течією $24$ км за $5$ годин, тому швидкість човна була:

$24:5=4\mathord{,}8$ км/год.

Проти течії човен проходить $12$ км за $3$ години, тому швидкість човна проти течії:

$12:3=4$ км/год.

Швидкість течії знаходимо таким чином:

$(4\mathord{,}8-4):2=0\mathord{,}8:2=0\mathord{,}4$ км/год.

Відповідь: $0\mathord{,}4.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12529

Завдання 814 з 2375

Спортсмен робить один постріл у мішень. Імовірність того, що він улучить у мішень, у $7$ разів більша за ймовірність того, що він у неї не влучить. Обчисліть імовірність того, що спортсмен улучить у мішень.

Впишіть відповідь:

0.875

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Нехай $P_1$ – ймовірність того, що спортсмен влучить у мішень, а $P_2$ – ймовірність того, що не влучить.

За умовою $P_1=7P_2$ та $P_1+P_2=1.$

Розв'яжемо систему рівнянь:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} P_1=7P_2,\\ P_1+P_2=1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} P_1=7(1-P_1),\\ P_2=1-P_1. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжемо рівняння

\begin{gather*} P_1=7(1-P_1),\\[7pt] P_1=7-7P_1,\\[7pt] 8P_1=7,\\[6pt] P_1=\frac 78=0\mathord{,}875. \end{gather*}

Відповідь: $0\mathord{,}875.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12530

Завдання 815 з 2375

У прямокутній системі координат на площині задано вектори $\overrightarrow{a}(-1; 1)$ та $\overrightarrow{b}(-1; 2).$ Визначте значення $m$, за якого вектори $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{mb}$ та $\overrightarrow{b}$ перпендикулярні.

Впишіть відповідь:

-0.6

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів, знання правил додавання векторів, множення вектора на число.

\begin{gather*} \overrightarrow{a}(-1; 1),\\[7pt] \overrightarrow{b}(-1; 2),\\[7pt] m\overrightarrow{b}(-m; 2m),\\[7pt] \overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}(\overrightarrow{-1-m; 1+2m}). \end{gather*}

Умова перпендикулярності векторів – їх скалярний добуток дорівнює нулю.

\begin{gather*} (-1-m)\cdot (-1)+(1+2m)\cdot 2=0,\\[7pt] 1+m+2+4m=0,\\[7pt] 5m+3=0,\\[7pt] 5m=-3,\\[7pt] m=-3:5=-0\mathord{,}6. \end{gather*}

Відповідь: $-0\mathord{,}6.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 256. Запитання: 12531