ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити кут між площинами, застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язування задач, уміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл.

1. Площина, що проходить через діагональ \(AC\) та вершину \(B_1\) – це \((AB_1C).\) \((AB_1C)\) та \((ABB_1)\) має спільну пряму \(AB_1\), тому вони перетинаються по прямій \(AB_1\), \((ACB_1)\cap (BB_1C_1)=B_1C.\) Отже, переріз призми січною площиною – \(\Delta AB_1C.\)

2. Проведемо \(BK\ \perp\ AC\) у \((ABC).\)

За теоремою про три перпендикуляри \(B_1K\ \perp\ AC\), звідси \(AC\ \perp\ (BB_1K)\Rightarrow \angle B_1KB\) – лінійний кут відповідного двогранного. Кут між площинами \((AB_1C)\) та \((ABC)=\angle B_1KB=\mathbf{\alpha}.\)

3. У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\), \(AC=a\), \(\angle A=\mathbf{\beta}\), \(AB=a\cos \mathbf{\beta}\), \(BC=a\sin \mathbf{\beta}.\)

4. \(S_\text{осн}=S_{ABCD}=AB\cdot BC=a^2\sin \mathbf{\beta}\cdot \cos \mathbf{\beta}.\)

5. У \(\Delta BKA\ (\angle K=90^\circ)\), \(BK=AB\cdot \sin \mathbf{\beta}=a\cos \mathbf{\beta}\sin \mathbf{\beta}.\)

6. У \(\Delta BB_1K\ (\angle B=90^\circ)\), \(\angle B_1KB=\mathbf{\alpha}\), \(BB_1=BK\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=a\cos \mathbf{\beta}\cdot \sin \mathbf{\beta}\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.\)

7.\(V_\text{пр}=S_\text{осн}\cdot H\), де \(S_\text{осн}=S_{ABCD}\), \(H=BB_1.\)

Використавши формулу синуса подвійного кута, відповідь можнa записати у вигляді:

Відповідь: \(\frac 14a^3\sin^2 2\mathbf{\beta}\ \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля, розв'язувати ірраціональні та квадратні рівняння, розв'язувати системи рівнянь з параметром.

Знайдемо область допустимих значень: $$ \text{ОДЗ:}\ \left\{\begin{array}{l} 3ax-8x-6y\ge 0,\\ x\ge 0. \end{array}\right. $$

Якщо квадрати двох виразів рівні, то вирази або рівні, або протилежні.

1) Розв'яжемо першу систему:

Розв'яжемо способом підстановки:

Отже,

Знайдемо, при яких значеннях параметра \(a\) ці пари чисел є розв'язками

\(a\) – будь-яке. \((0; 0)\) – розв'язок системи при будь-якому значенні \(a.\)

2) Розв'яжемо другу систему:

підстановкою знаходимо:

при будь-якому значенні \(a.\)

Знаходимо, при яких значеннях \(a\)

При \(a\ge 0\) розв'язок \((3a; -4a).\)

Відповідь: при \(a\in (-\infty; 0]\ (0; 0)\);
                   при \(a\in \left(0; 4\frac 23\right]\ (0; 0)\), \((3a; -4a)\);
                   при \(a\in \left(4\frac 23; +\infty\right)\ (0; 0)\), \((3a; -4a)\), \((3a-14; 3a-14).\)

ТЕМА: Числа та вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей дій з дійсними числами, уміння округлювати десяткові дроби.

Для того, щоб округлити дріб до десятих, необхідно знати цифру, яка стоїть у розряді сотих.

Якщо ця цифра \(5\) або більше, то цифра, яка стоїть в розряді десятих, збільшується на один.

\(2\mathord{,}66\approx 2\mathord{,}7.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Лінійна функція, її властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік функції перетинає вісь абсцис у точці \(A(4; 0).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Отже, корінь рівняння \(x=4.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур, різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

\(\Delta ABC\) – рівносторонній, тому $$ \angle A=\angle B=\angle C=60^\circ. $$

\(\angle KBM=180^\circ\) – розгорнутий. $$ \angle KBA+\angle ABC+\angle CBM=180^\circ. $$

Отже,

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, їхні властивості, властивості та означення кореня \(n\text{-го}\) степеня. $$ a^4\cdot \sqrt{a^6}=a^4\cdot \sqrt{(a^3)^2}=a^4\cdot |a^3|. $$

При \(a\ge 0\ |a^3|=a^3\), тому \(a^4\cdot a^3=a^7.\)

Використали властивість степеня з натуральним показником: $$ a^{mn}=(a^m)^n, $$ та властивість кореня \(n\text{-го}\) степеня:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення площ поверхонь.

Данo куб, тому грань – квадрат, площею \(12\) см\(^2.\) Ребро куба \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) см.

Діагональ куба знаходимо за формулою \(d=a\sqrt{3}\), де \(a\) – ребро куба.

Отже, \(d=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=2\cdot 3=6\) см.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивості; вміння розв'язувати рівняння першого ступеня.

За властивістю модуля дійсного числа, рівняння \(|x-1|=6\) рівносильне сукупності таких рівнянь:

Сума коренів рівняння дорівнює \(7+(-5)=2.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Використали формулу "різниця квадратів":

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і почаки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати вибіркові характеристики рядів даних, зокрема медіану.

Дані таблиці розставимо за зростанням. Медіаною ряда чисел називається число, яке стоїть посередині впорядкованого за зростанням ряду чисел.

У ряду \(124\), \(140\), \(140\), \(\underline{163}\), \(168\), \(170\), \(195\) посередині стоїть число \(163.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, ознаки паралельності прямої та площини, ознаку мимобіжності прямих.

Задано дві мимобіжні прямі \(a\) i \(b.\) Нехай \(a\) міститься в площині \(\mathbf{\alpha}\), \(b\cap \mathbf{\alpha}=B.\)

Проведемо в площині \(\mathbf{\alpha}\) пряму \(b_1\ ||\ a\) через точку \(B.\) Через дві прямі, що перетинаються \(b_1\cap b\), можна провести площину та тільки одну. Нехай це буде площина \(\mathbf{\beta}.\)

\(\mathbf{\beta}\ ||\ a\) за ознакою паралельності прямої та площини.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів та знаходити числове значення при заданих значеннях змінних.

Якщо \(\log_43=a\), то за властивостями логарифма

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

На рисунку зображено квадрат \(ABCD.\) Вектори \(\overrightarrow{AB}\) та \(\overrightarrow{AD}\) із спільним початком. Їх сума зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах.

Отже, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\)

Відповідь: B.