Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 830

Математика. Всі запитання починаючи з 830

831832833834835836837838839840841842843844845 ▶

Завдання 831 з 2067

Тривалість зеленого сигналу світлофора на 15 с довша за тривалість червоного сигналу й у дванадцять разів довша за тривалість жовтого сигналу. Яка тривалість (у с) червоного сигналу, якщо тривалість зеленого сигналу відноситься до сумарної тривалості червоного й жовтого сигналів як 3 до 2?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай $x\ \text{с}$ – тривалість жовтого сигналу, систематизуємо дані:
Зелений - $12x\ \text{с}$
Червоний - $(12x-15)\ \text{с}$
Жовтий - $x\ \text{с}$.

Тривалість зеленого сигналу відноситься до сумарної тривалості червоного та жовтого сигналів як 3 до 2.

Отже, \begin{gather*} \frac{12x}{12x-15+x}=\frac 32,\ \ \frac{12x}{13x-15}=\frac 32,\\[6pt] 3(13x-15)=2\cdot 12x,\ \ 39x-45=24x,\\[7pt] 15x=45,\ \ x=3. \end{gather*} Тривалість червоного сигналу: $$ 12x-15=12\cdot 3-15=36-15=21\ \text{с}. $$

Відповідь: 21.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22925

Завдання 832 з 2067

На діаграмі відображено інформацію про результати складання письмового заліку студентами певної групи. Комісія з якості освіти розпочинає перевірку відповідності виставлених оцінок змісту залікових робіт студентів і відбирає для перевірки декілька робіт навмання. Яка ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою $D$? Отриману відповідь округліть до сотих.

Впишіть відповідь:

0.13

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події, вміння аналізувати графічну форму подання статистичних даних.

Робіт з оцінкою Д - 4, всього робіт - 32.

Отже, ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою Д $$ P=\frac{4}{32}=\frac 18=0,125 $$ Відповідь, яку округлили до сотих, становить $$ 0,125\approx 0,13 $$

Відповідь: 0,13.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22924

Завдання 833 з 2067

Суму $n$ перших членів арифметичної прогресії $(a_n)$ задано формулою: $$ S_n=\frac{5,2-0,8n}{2}\cdot n. $$

1. Визначте суму перших шести членів цієї прогресії.

2. Визначте четвертий член цієї прогресії.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	1.2			-0.2

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку розуміння змісту поняття «сума n-перших членів арифметичної прогресії», знання формули суми n-перших членів арифметичної прогресії, формули n-го члена арифметичної прогресії.

Сума $n$-перших членів арифметичної прогресії: $$ S_n=\frac{5,2-0,8n}{2}\cdot n $$

\begin{gather*} S_6=\frac{5,2-0,8\cdot 6}{2}\cdot 6=\frac{5,2-4,8}{2}\cdot 6=\frac{0,4}{2}\cdot 6=1,2. \end{gather*}

\begin{gather*} S_1=a_1=\frac{5,2-0,8\cdot 1}{2}\cdot 1=2,2\\[6pt] S_2=a_1+a_2=\frac{5,2-0,8\cdot 2}{2}\cdot 2=5,2-1,6=3,6. \end{gather*}

Оскільки $a_1=2,2,\ a_1+a_2=3,6$. Отже, $a_2=1,4$ $$ d=a_2-a_1=1,4-2,2=-0,8. $$ За формулою $n$-го члена арифметичної прогресії,

$$ a_4=a_1+3d=2,2+3\cdot(-0,8)=2,2-2,4=-0,2. $$

Відповідь: 1. 1,2. 2. –0,2.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22923

Завдання 834 з 2067

У прямокутній системі координат у просторі початком вектора $\overrightarrow{AB}(9;\ 12;\ -8)$ є точка $A(3;\ -7;\ 11)$.

1. Визначте ординату точки $B$.

2. Обчисліть модуль вектора $\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}$.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	5			51

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та модуль вектора.

1. Нехай $\text{т.}\ B(x;\ y;\ z).\ \overline{AB}(x-3;\ y+7;\ z-11)$. Отже, \begin{gather*} x-3=9,\ x=12,\\[7pt] y+7=12,\ y=5,\\[7pt] z-11=-8,\ z=3. \end{gather*} ордината $\text{т.}\ B\ y_B=5$.

\begin{gather*} \overrightarrow{d}=4\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AB}\\[7pt] |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9^2+12^2+(-8)^2}=\sqrt{81+144+64}=17\\[7pt] \overrightarrow{d}=|3\overrightarrow{AB}|=3\cdot 17=51. \end{gather*}

Відповідь: 1. 5. 2. 51.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22922

Завдання 835 з 2067

У ромб $ABCD$ вписано квадрат $KLMN$, сторона $KL$ якого перетинає діагональ $AC$ в точці $P$ (див. рисунок). $AL=10\ \text{см},\ AP=8\ \text{см}$.

1. Обчисліть довжину сторони квадрата $KLMN$ (у см).

2. Обчисліть довжину діагоналі $BD$ ромба $ABCD$ (у см).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			21

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, подібних трикутників, теореми Піфагора.

1. За теоремою Піфагора, $PL^2=AL^2-AP^2=100-64=36.$ $PL=6\ \text{см}$.

$\triangle ALK$ - рівнобедрений, отже, \begin{gather*} PL=\frac 12 LK,\\[6pt] LK=12\ \text{см}. \end{gather*}

2. $\triangle APL\sim \triangle LEB$ (за гострим кутом). $\angle LAP=\angle BLE$ - відповідні при $AP\ ||\ LE$ та січної $AB$. \begin{gather*} \frac{AP}{LE}=\frac{LP}{BE};\ \frac 86=\frac{6}{BE},\\[6pt] BE=\frac{6\cdot 6}{8}=4,5\ \text{см},\\[6pt] BO=BE+EO=4,5+6=10,5\ \text{см},\\[7pt] BD=2\cdot BO=21\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1. 12. 2. 21.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22921

Завдання 836 з 2067

Автомобіль двічі заправляли пальним і щоразу по 40 л. Ціна пального, використаного під час першого заправлення, становила 20 грн за 1 л. Порівняно з нею ціна пального, використаного для другого заправлення, була більшою на 2,5 %.

1. Скільки гривень коштував 1 л пального, використаного для другого заправлення?

2. Скільки всього витрачено грошей (у грн) за ці два заправлення автомобіля пальним?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	20.5			1620

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, знаходити відсоток від числа.

1. Ціна пального під час першого заправлення становила 20 грн за 1 л. Для другого заправлення ціна зросла на 2,5% та стала $$ 20\cdot 102,5:100=20,5\ (\text{грн}). $$

2. За два заправлення автомобіля пальним всього витрачено грошей

$$ 40\cdot 20+40\cdot 20,5=40(20+20,5)=40\cdot 40,5=1620\ (\text{грн}). $$

Відповідь: 1. 20,5. 2. 1620.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22920

Завдання 837 з 2067

Цукерку циліндричної форми висотою 10 см і радіусом основи 1 см запаковано в коробку, що має форму правильної трикутної призми (див. рисунок). Основи циліндра вписано у відповідні основи призми. Основи коробки (призми) виготовлено з поліетилену, а всі її бічні грані – з паперу. Визначте площу паперу, витраченого на виготовлення такої коробки. Укажіть відповідь, найближчу до точної. Витратами паперу на з’єднання граней коробки знехтуйте.

А$55\ \text{см}^2$

Б$75\ \text{см}^2$

В$105\ \text{см}^2$

Г$115\ \text{см}^2$

Д$135\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$AB=10\ \text{см},\ OK=1\ \text{см}$.

Бічні грані правильної трикутної призми виготовлені з паперу.

Площу паперу, витраченого на виготовлення коробки, визначимо за формулою площі бічної поверхні призми.

Радіус основи вписаного циліндра - це радіус кола, вписаного в правильний трикутник, $OK=r=1\ \text{см}$.

Сторону трикутника знайдемо за формулою:

\begin{gather*} a=2\sqrt{3}r=2\sqrt{3}\cdot 1=2\sqrt{3}\ \text{см},\\[7pt] S_{\text{бічної}}=P_{\text{основи}}\cdot H=3\cdot 2\sqrt{3}\cdot 10=60\sqrt{3}\ (\text{см}^2)\approx 60\cdot 1,73\approx 103,8 (\text{см}^2),\\[7pt] P_{\text{основи}}=P_{ACD},\ H=AB. \end{gather*}

Відповідь, найближча до точної, – $105\ \text{см}^2$.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22915

Завдання 838 з 2067

Бісектриса кута $A$ прямокутника $ABCD$ перетинає сторону $BC$ в точці $K$. Обчисліть площу чотирикутника $AKCD$, якщо $BK=KC=8\ \text{см}$.

А$48\ \text{см}^2$

Б$72\ \text{см}^2$

В$96\ \text{см}^2$

Г$128\ \text{см}^2$

Д$192\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, трапеції, вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

$BK=KC=8\ \text{см},\ AK -$ бісектриса $\angle A$.

1. $\angle A=90^\circ,\ \angle BAK=\angle KAD=45^\circ$.

2. $\triangle ABK\ (\angle B=90^\circ)\ \angle K= 45^\circ$, отже $AB=BK=8\ \text{см}$.

3. $ABCD$ – прямокутник. За властивістю прямокутника

$$ AD=BC,\ \ BC=BK+KC=8+8=16\ (\text{см}) $$ $AKCD -$ прямокутна трапеція, $CD -$ висота. $$ S_{AKCD}=\frac{KC+AD}{2}\cdot CD=\frac{8+16}{2}\cdot 8=12\cdot 8=96\ (\text{см}^2). $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22914

Завдання 839 з 2067

Спростіть вираз $2\cos(450^\circ + \mathbf{\alpha})-\sin \mathbf{\alpha}$.

А$\sin\mathbf{\alpha}$

Б$-3\sin\mathbf{\alpha}$

В$-2\cos\mathbf{\alpha}-\sin\mathbf{\alpha}$

Г$2\cos\mathbf{\alpha}-\sin\mathbf{\alpha}$

Д$3\sin\mathbf{\alpha}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Функції. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання властивостей періодичних функцій.

Спростимо вираз: $2\cos (450^\circ+\mathbf{\alpha})-\sin\mathbf{\alpha}$.

Функція $y=\cos x$ періодична з періодом $T=2\mathbf{\pi}$, отже $\cos(x+T)=\cos x$.

\begin{gather*} 2\cos(360^\circ+90^\circ+\mathbf{\alpha})-\sin\mathbf{\alpha}=2\cos(90^\circ+\mathbf{\alpha})-\sin\mathbf{\alpha}=\\[7pt] =-2\sin\mathbf{\alpha}-\sin\mathbf{\alpha}=-3\sin\mathbf{\alpha},\\[7pt] \end{gather*}

оскільки $$ \cos(90^\circ+\mathbf{\alpha})=-\sin\mathbf{\alpha}. $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22913

Завдання 840 з 2067

Розв’яжіть нерівність $4\cdot 3^x\lt 3^x +6$.

А$(-\infty; \log_9 6)$

Б$(-\infty; \log_2 3)$

В$(-\infty; 2)$

Г$(-\infty; 1)$

Д$(-\infty; \log_3 2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.

Розв'яжемо нерівність: \begin{gather*} 4\cdot 3^x\lt 3^x + 6,\\[7pt] 4\cdot 3^x-3^x\lt 6,\\[7pt] 3\cdot 3^3 \lt 6,\\[7pt] 3^x \lt 2,\\[7pt] x\lt \log_3 2,\\[7pt] x\in (-\infty;\ \log_3 2). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22912

Завдання 841 з 2067

Укажіть похідну функції $$ f(x)=\frac{2x-3}{x}. $$

А$$f'(x)=\frac{3}{x^2}$$

Б$$f'(x)=\frac 3x$$

В$$f'(x)=\frac{4x-3}{x^2}$$

Г$$f'(x)=-\frac{3}{x^2}$$

Д$$f'(x)=2$$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Таблиця похідних та правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження похідної частки двох функцій.

Знайдемо похідну функції за правилом диференціювання частки:

\begin{gather*} \left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\\[6pt] f'(x)=\frac{(2x-3)'\cdot x- (2x-3)\cdot x'}{x^2}=\frac{2x-2x+3}{x^2}=\frac{3}{x^2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22911

Завдання 842 з 2067

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} 6(x+5)+10y=3,\\ 2x=y+4. \end{array} \right. $$ Для одержаного розв’язку $(x_0;\ y_0)$ укажіть суму $x_0+y_0$.

А–2,5

Б–3,5

В3,5

Г6,5

Д–1,5

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.

Розв'яжемо систему рівнянь методом додавання: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} 6(x+5)+10y=3 & \\ 2x=y+4& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} 6x+30+10y=3 & \\ 2x-y=4& \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l l} 6x+10y=-27 & \\ 2x-y=4\ \ |\cdot (-3)& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} 6x+10y=-27 & \\ -6x+3y=-12& \end{array}\right. \\[7pt] 13y=-39,\ \ y=-3. \end{gather*}

Підставимо значення $y=-3$ у друге рівняння: \begin{gather*} 2x-(-3)=4;\ \ 2x+3=4; \\[6pt] 2x=1;\ \ x=\frac 12\\[6pt] x_0=\frac 12;\ \ y_0=-3. \end{gather*}

У відповідь запишемо суму $$ x_0+y_0=\frac 12+(-3)=-2,5. $$

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22910

Завдання 843 з 2067

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Діагоналі будь-якого паралелограма рівні.

II. Протилежні кути будь-якого паралелограма рівні.

III. Відстані від точки перетину діагоналей будь-якого паралелограма до його протилежних сторін рівні.

Алише ІІ

Блише І і ІІІ

ВІ, ІІ, ІІІ

Глише І і ІІ

Длише ІІ і ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей та ознак паралелограма.

З наведених тверджень привильними є твердження II i III.

Протилежні кути паралелограма рівні (властивість).

Відстані від точки перетину діагоналей до протилежних сторін рівні. $$ \triangle BEO=\triangle DKO $$ за гіпотенузою та гострим кутом.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22909

Завдання 844 з 2067

$$\frac{15^3}{3^2}=$$

А5

Б15

В125

Г375

Д675

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником.

Спростимо вираз:

$$ \frac{15^3}{3^2}=\frac{(5\cdot 3)^3}{3^2}=\frac{5^3\cdot 3^3}{3^2}=5^3\cdot 3=125\cdot 3=375. $$

Використали властивості степенів: $$ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\ \text{та}\ a^m:a^n=a^{m-n} $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22908

Завдання 845 з 2067

Період $T$ електромагнітних коливань у коливальному контурі, що складається з послідовно з’єднаних конденсатора ємністю $C$ й котушки з індуктивністю $L$, обчислюють за формулою Томсона $T=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}$. Визначте із цієї формули індуктивність $L$.

А$L=\frac{T}{2\mathbf{\pi}C}$

Б$L=\frac{2\mathbf{\pi}C}{T}$

В$L=\frac 1C\sqrt{\frac{T}{2\mathbf{\pi}}}$

Г$L=\frac{4\mathbf{\pi}^2C}{T^2}$

Д$L=\frac{T^2}{4\mathbf{\pi}^2C}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів.

З формули $T=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}$ визначимо $L$. \begin{gather*} T^2=(2\mathbf{\pi}\sqrt{LC})^2,\\[7pt] T^2=4\mathbf{\pi}^2LC,\\[6pt] L=\frac{T^2}{4\mathbf{\pi}^2C}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22907

Facebook

Twitter