ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція \(y=f(x)\) визначена й зростає на проміжку \([-3; 2]\), тому більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції.

З наведених точок може належати тільки точка \(L(1; 4).\)

Точка \((0; 2)\) належить графіку. Отже, точка з абсцисою \(x=1\) може мати ординату \(y\gt 2.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння другого степеня.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Використали властивості

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містять змінну під знаком модуля; розв'язувати рівняння з параметрами, рівняння, що містять логарифмічні вирази, вміння знаходити область визначення функцій.

Знайдемо ОДЗ: $$ \left\{\begin{array}{l} y-a\gt 0,\\ 4a^2+x-x^2\gt 0. \end{array}\right. $$

Розкриємо модулі:

Розв'яжемо методом підстановки:

Розглянемо 2 випадки:

1) \(D=0.\)

Перевірка:

вирази під знаком логарифма від'ємні, тому не належать ОДЗ.

Висновок: пара чисел \(\left(-\frac 12; -\frac 34\right)\) не є розв'язком.

2) \(D\gt 0\), тобто \(a\ne -\frac 14\)

Відповідні значення \(y\)

Зробимо перевірку:

1) \((2a; 3a)\)

При \(a\gt 0\) розв'язок \((2a; 3a).\)

2) \((-2a-1; -5a-2)\)

При \(a\lt -\frac 13\) розв'язок \((-2a-1; -5a-2).\)

При інших значеннях \(a\) система немає розв'язків.

Відповідь: при \(a\in (0; +\infty)\ (2a; 3a)\);
                   при \(a\in \left(-\infty; -\frac 13\right)\ (-2a-1; -5a-2)\);
                   при \(a\in \left[-\frac 13; 0\right]\) немає розв'язків.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості перпендикулярних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення об'ємів многогранників, уміння використовувати пряму та обернену теорему про три перпендикуляри для знаходження кута між площинами.

Нехай \(ABCA_1B_1C_1\) – дана правильна призма. \(\Delta ABC\) – рівносторонній, висота призми – бічне ребро.

Площина \((AB_1K)\) перетинає \((B_1BC)\) по прямій \(B_1K\), \((AB_1K)\cap (ABC)=AK\), \((A_1B_1K)\cap (AB_1B)=AB_1.\)

\(BB_1\ \perp\ (ABC)\), \(B_1K\) – похила, \(BK\) – проекція похилої \(B_1K\) на площину \(ABC.\)

\(AK\) – медіана та висота \(\Delta ABC\), тому \(AK\ \perp\ BK.\) За теоремою оберненою до теореми про три перпендикуляри \(B_1K\ \perp\ AK.\)

За ознакою перпендикулярності прямої та площини \((BCB_1)\ \perp\ AK.\)

\(AK=d.\) У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\), \(\angle B=60^\circ\),

Відповідь: \(\frac{d^3}{3}\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ.

Це завдання перевіряє вміння використовувати перетворення графіків функцій для побудови графіків, знаходити первісну, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

1. Знайдемо координати точок перетину графіка \(f\) з осями координат

2. Побудова графіка. \(f(x)=x^2-6x+9\) – квадратична функція, графік – парабола. \(f(x)=(x-3)^2.\)

Побудуємо перетворенням графіка функції \(y=x^2\) на \(3\) одиниці вправо вздовж осі \(Ox.\)

3.

4. Площa фігури.

Відповідь: 1. \((0; 9)\), \((3; 0).\)
                   3. \(\frac{x^3}{3}-3x^2+9x+C.\)
                   4. \(9\) кв. од.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора, знаходити скалярний добуток векторів, застосовувати координати й вектори до розв'язування планіметричних задач.

\(\overrightarrow{AB}\ \perp \overrightarrow{a}\), \(\ \overrightarrow{a}(4;3).\) Точка \(A(-2; 0)\), а точка \(B\) лежить на прямій \(y=2x\), тому \(B(x; 2x).\)

Координати вектора \(\overrightarrow{AB}(x+2; 2x).\) Координати \(\overrightarrow{a}\) та \(\overrightarrow{AB}\) взаємно перпендикулярні, тому скалярний добуток їх дорівнює нулю.

Відповідь: \(-0\mathord{,}8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірносі та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Це завдання перевіряє знання означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірності випадкових подій, розв'язувати нерівності першого степеня, раціональні.

Цукерок з молочного шоколаду – \(3\), з чорного шоколаду – \(m.\)

Ймовірність навмання витягнути цукерку з молочного шоколаду $$ P=\frac{3}{3+m}. $$

Якщо ймовірність менше \(0\mathord{,}25\), то

Оскільки знаменник дробу набуває тільки додатні значення, то

\(m\) – кількість цукерок, тому набуває цілі, додатні значення. \(m=10.\)

Відповідь: \(10.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, знання методів розв'язування раціональних рівнянь.

Нехай швидкість автобуса \(x\) км/год, тоді швидкість автомобіля

\(150\) км автобус проїжджає за \(\frac{150}{x}\) год, а автомобіль за \(\frac{150}{1\mathord{,}2x}\) год. Це на \(30\) хв \(\left(\frac 12\ \textit{год}\right)\) менше. Розв'яжемо рівняння

Час, за який автомобіль долає відстань між \(A\) та \(B\) $$ \frac{150}{1\mathord{,}2\cdot 50}=2\mathord{,}5\ \textit{год}. $$

Відповідь: \(2\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції, розв'язувати нерівності першого степеня.

Область визначення знаходимо з розв'язку нерівності \begin{gather*} 56-4x \gt 0\\[7pt] -4x\gt -56\ |:(-4)\\[7pt] x\lt 14. \end{gather*}

Найбільше ціле двоцифрове число – \(13.\)

Відповідь: \(13.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Фалеса, властивостей середньої лінії трикутника, трапеції, теореми Піфагора, уміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язання планіметричних задач.

1. Оскільки площа квадрата \(KBCM\ 18\) см\(^2\), то

\(KM\) з'єднує середини діагоналей \(AC\) та \(BD\), належить середній лінії \(LN.\)

\(\Delta ACE\ (\angle E=90^\circ)\ CE\ \perp\ AD\), \(KM\) – середня лінія \(KM=\frac 12AE\), \(AE=2KM=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\) см.

За теоремою Фалеса \(MK\ ||\ AD\), оскільки середина \(AC\), тому точка \(M\) – середина \(CE.\) \(CE=2CM=6\sqrt{2}\) см.

За теоремою Піфагора

2. Оскільки \(LK\) – середня лінія \(\Delta BAC\), \(MN\) – середня лінія \(\Delta BCD\), то

Відповідь: 1. \(12.\)
                   2. \(72.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити число за значенням його відсотка, розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки.

1. Оскільки \(2\) грн \(40\) коп це \(3\text{%}\), то Андрій вніс $$ 2\mathord{,}4 : 0\mathord{,}03 = 240 : 3 = 80\ \textit{грн}. $$

2. Оскільки Андрій вніс до терміналу \(80\) грн, то на телефон була внесена сума $$ 80 - 2\mathord{,}4 = 77\mathord{,}6\ \textit{грн} $$ з урахуванням комісії. $$ 77\mathord{,}6 : 5 = 15\mathord{,}52. $$ Таким чином, бонусів нарахують $$ 15\cdot 8=120. $$

Відповідь: 1. \(80.\)
                   2. \(120.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, знання формул для обчислення площ поверхонь тіл обертання, знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо \(S_\text{б.п.}=3S_\text{осн}\), то \(S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}rl\), \(S_\text{осн}=\mathbf{\pi}r^2\), \(\mathbf{\pi}rl=3\mathbf{\pi}r^2\), \(l=3r.\) Отже, 1 – B.

2. Якщо висота конуса дорівнює радіусу основи, то \(AO=OB=r\), \(\Delta AOB\) – прямокутний рівнобедрений, за теоремою Піфагора \(AB^2=OB^2+AO^2\), \(l^2=r^2+r^2\), \(l=r\sqrt{2}.\) Отже, 2 – Б.

3. Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то \(l=2r.\) \(OB\) – проекція твірної \(AB\) на площину основи. Отже, 3 – А.

4. Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює \(5\mathbf{\pi}r^2\)

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, уміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо \(a=b=c\), то \(\Delta ABC\) – рівносторонній.

Усі кути рівностороннього трикутника дорівнюють \(60^\circ\), \(\angle C=60^\circ.\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. Якщо \(c^2=a^2+b^2\), то \(\Delta ABC\) – прямокутний за наслідком з теореми косинусів.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Якщо \(a=c=\frac{b}{\sqrt{2}}\), то \(\Delta ABC\) – рівнобедрений з бічними сторонами \(a=c\) та основою \(b.\)

\(BH\ \perp\ AC.\) Так як \(CB=BA\), то \(CH=HA=\frac b2\) (висота є медіаною).

У \(\Delta BHC\ (\angle H=90^\circ)\), \(\cos C=\frac{CH}{CB}\), \(\cos C=\frac b2:a=\frac b2:\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\angle C=45^\circ.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

4. Якщо \(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \left(-\frac 12\right)\) за теоремою косинусів \(\cos C=-\frac 12\), \(\angle C=120^\circ.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.