Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 985

Математика. Всі запитання починаючи з 985

9869879889899909919929939949959969979989991000 ▶

Завдання 986 з 2067

На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих телевізорів у супермаркеті побутової техніки протягом перших шести місяців року.
Яке з наведених тверджень є правильним?

Анайменшу кількість телевізорів продано у квітні

Бу січні продано $240$ телевізорів

Ву березні продано телевізорів більше, ніж у лютому

Гу червні продано менше трьохсот телевізорів

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих телевізорів.

У січні – $270$,
лютому – $160$,
березні – $260$,
квітні – $230$,
травні – $280$,
червні – $320.$

Правильна відповідь – B (у березні продано телевізорів більше, ніж у лютому).

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 384. Запитання: 18975

Завдання 987 з 2067

Задано систему нерівностей $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{3x+6}{x}\le 0,\\ \log_{\frac a2}(x-a+2)^2\ge 2\log_{\frac a2}(a-1), \end{array}\right. $$ де $x$ – змінна, $a$ – додатна стала.

1. Розв'яжіть першу нерівність цієї системи.

2. Визначте множину розв'язків другої нерівності системи залежно від значень $a.$

3. Визначте всі розв'язки системи залежно від значень $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності, логарифмічні нерівності з параметрами та їхні системи.

1. Розв'яжемо методом інтервалів першу нерівність: $$\frac{3(x+2)}{x}\le 0,\ \ x=-2,\ \ x\ne 0.$$

Отже, $x\in [-2; 0).$

2. Розв'яжемо другу нерівність:

\begin{gather*} \text{ОДЗ:}\ \left\{\begin{array}{l} \frac a2\ne 1,\\ a\gt 0,\\ a-1\gt 0,\\ x-a+2\ne 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\ne 2,\\ a\gt 1,\\ x\ne a-2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\in (1; 2)\cup (2; +\infty),\\ x\ne a-2. \end{array}\right. \end{gather*}

1) При $a\in (1; 2)$ функція $y=\log_{(a/2)}x$ спадна, отже,

\begin{gather*} \log_{(a/2)}(x-a+2)^2\ge \log_{(a/2)}(a-1)^2,\\[7pt] (x-a+2)^2\le (a-1)^2,\ \ |x-a+2|\le |a-1|,\\[7pt] a-1\gt 0,\ \ |x-a+2|\le a-1,\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x-a+2\le a-1,\\ x-a+2\ge 1-a, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\le 2a-3,\\ x\ge -1, \end{array}\right.\\[7pt] 2a-3-(a-2)=2a-3-a+2=a-1,\\[7pt] a\gt 1,\ \text{отже}\ 2a-3\gt a-2. \end{gather*}

$$x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3].$$

2) При $a\in (2; +\infty)$ логарифмічна функція зростаюча

\begin{gather*} |x-a+2|\ge a-1,\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x-a+2\ge a-1,\\ x-a+2\le 1-a, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ge 2a-3,\\ x\le -1. \end{array}\right. \end{gather*}

$$x\in (-\infty; -1]\cup [2a-3; +\infty).$$

Відповідь: при $a\in (0; 1]\cup {2}$ немає розв'язків;

при $a\in (1; 2)\ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3]$;
при $a\in (2; +\infty)\ x\in (-\infty; -1]\cup [2a-3; +\infty).$

3. Розв'яжемо систему нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{3x+6}{x}\le 0,\\ \log_{(a/2)}(x-a+2)^2\ge 2\log_{(a/2)}(a-1), \end{array}\right. \end{gather*}

при $a\in (1; 1\mathord{,}5)$

$$x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3]$$

при $a\in (1\mathord{,}5; 2)$

$$x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-0]$$

при $a\in (2; +\infty)$

$$x\in [-2; -1]$$

при $a= 1\mathord{,}5$

$$x\in [-1; -0\mathord{,}5)\cup (-0\mathord{,}5; 0).$$

Відповідь: 1. $x\in [-2; 0).$
                   2. при $a\in (0; 1]\cup {2}$ немає розв'язків;
                       при $a\in (1; 2)\ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3]$;
                       при $a\in (2; +\infty)\ x\in (-\infty; -1]\cup [2a-3; +\infty).$
                   3. при $a\in (0; 1]\cup {2}$ немає розв'язків;
                       при $a\in (1; 1\mathord{,}5)\ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3]$;
                       при $a=1\mathord{,}5\ x\in [-1; -0\mathord{,}5)\cup (-0\mathord{,}5; 0).$
                       при $a\in (1\mathord{,}5; 2)\ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 0)$;
                       при $a\in (2; +\infty)\ x\in [-2; -1].$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17674

Завдання 988 з 2067

У конусі радіус основи дорівнює $R$, твірна – $l.$ Через вершину конуса й хорду його основи проведено площину $\mathbf{\beta}.$ Ця площина утворює з площиною основи конуса гострий кут $\mathbf{\alpha}.$

1. Зобразіть переріз конуса площиною $\mathbf{\beta}$ та вкажіть його вид.

2. Обґрунтуйте положення кута $\mathbf{\alpha}.$

3. Визначте периметр цього перерізу.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

$OA=R$, $SA=l$, $AB$ – хорда.

1. $\Delta SAB$ – переріз площиною $\mathbf{\beta}$, яка проведена через вершину $S$ та хорду $AB.$ $SA=SB=l$ – твірна конуса, отже, $\Delta SAB$ – рівнобедрений.

2. Проведемо $OK\ \perp\ AB.$ $SO\ \perp\ (OAB)$, $SK$ – похила, $OK$ – проекція похилої $SK$ на $(OAB).$ За теоремою про три перепендикуляри: якщо $OK\ \perp\ AB$, то $SK\ \perp AB.$ $SK\cap OK.$

За ознакою перпендикулрності прямої та площини $AB\ \perp\ (SOK)$, тому $\angle SKO=\mathbf{\alpha}$ – лінійний кут відповідного двограного між площинами $(SAB)$ i $(OAB).$

3. У $\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора: \begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2,\\[7pt] SO^2=SA^2-OA^2=l^2-R^2,\\[7pt] SO=\sqrt{l^2-R^2}. \end{gather*}

У $\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\ OK=SO\operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}=\sqrt{l^2-R^2}\operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}$, $$SK=\frac{SO}{\sin \mathbf{\alpha}}=\frac{\sqrt{l^2-R^2}}{\sin\mathbf{\alpha}}.$$

У $\Delta SAB\ SA=SB=l$, $SK$ – висота, медіана. $AK=KB.$

У $\Delta SKA\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SA^2=SK^2+AK^2,\\[6pt] AK^2=SA^2-SK^2=l^2-\frac{l^2-R^2}{\sin^2\mathbf{\alpha}}=\frac{l^2(\sin^2\mathbf{\alpha}+1)+R^2}{\sin^2\mathbf{\alpha}}=\frac{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}{\sin^2\mathbf{\alpha}},\\[6pt] AB=2AK=\frac{2\sqrt{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}}{\sqrt{\sin^2\mathbf{\alpha}}}=\frac{2\sqrt{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}}{\sin\mathbf{\alpha}},\\[6pt] P_{ASB}=2AS+AB=2l+\frac{2\sqrt{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}}{\sin\mathbf{\alpha}}=2l+\frac{2}{\sin\mathbf{\alpha}}\sqrt{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}. \end{gather*}

Відповідь: $2l+\frac{2}{\sin\mathbf{\alpha}}\sqrt{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}.$

Тест 357. Запитання: 17673

Завдання 989 з 2067

Задано функції $f(x)=\frac 3x$ i $g(x)=5-3x.$

1. Побудуйте графік функції $f.$

2. Побудуйте графік функції $g.$

3. Знайдіть похідну функції $f.$

4. До графіка функції $f$ проведено дотичні, паралельні графіку функції $g.$ Визначте абсциси точок дотику.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, розв'язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної.

Задано функції $f(x)=\frac 3x$ i $g(x)=5-3x.$

1. $f(x)=\frac 3x$ обернена пропорційність, графік – гіпербола.

2. $g(x)=5-3x$ – лінійна функція, графік – пряма.

3. $f'(x)=\left(\frac 3x\right)'=(3x^{-1})'=3\cdot (-1)\cdot x^{-2}=-\frac{3}{x^2}.$

4. Дотичні до графіка функції $f(x)=\frac 3x$ паралельні прямій $g(x)=5-3x.$

Отже, $f'(x_0)=k=-3.$

Підставимо значення похідної в точці в похідну:

$\frac{-3}{x_0^2}=-3$, $x_0^2=1$, $x_0=1$ або $x_0=-1.$

Відповідь: 3. $f'(x)=-\frac{3}{x^2}.$
4. $x_0=1$ або $x_0=-1.$

Тест 357. Запитання: 17672

Завдання 990 з 2067

Центр кола, заданого рівнянням $x^2-8x+y^2+7=0$, збігається з точкою перетину діагоналей $AC$ і $BD$ паралелограма $ABCD.$ Обчисліть площу цього паралелограма, якщо $A(-4; -3)$ i $B(0; 3).$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів.

Запишемо рівняння кола у вигляді:

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, де $(a; b)$ – центр кола, $R$ – радіус.
$(x^2-8x+16)+y^2-16+7=0$,
$(x-4)^2+y^2=9$, $O(4; 0)$ – центр кола.

За формулою знаходження координат середини відрізка знаходимо координати точки $D:$

\begin{gather*} x_O=\frac{x_B+x_D}{2};\ \ x_D=2x_O-x_B=2\cdot 4-0=8;\\[6pt] y_O=\frac{y_B+y_D}{2};\ \ y_D=2y_O-y_B=2\cdot 0-3=-3;\\[6pt] D(8; -3). \end{gather*}

Знайдемо координати векторів $\overline{AB}$ та $\overline{AD}:$

$\overline{AB}(0-(-4); 3-(-3))$, $\overline{AB}(4; 6)$, $\overline{AD}(12; 0).$

Знайдемо довжини векторів:

\begin{gather*} |\overline{AB}|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\\[7pt] |\overline{AD}|=\sqrt{12^{2}+0^2}=12.\\[6pt] \cos A=\frac{\overline{AB}\cdot \overline{AD}}{|\overline{AB}|\cdot |\overline{AD}|}=\frac{4\cdot 12+6\cdot 0}{2\sqrt{13}\cdot 12}=\frac{48}{24\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}.\\[6pt] \sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-\frac{4}{13}}=\sqrt{\frac{9}{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}.\\[6pt] S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin A=2\sqrt{13}\cdot 12\cdot \frac{3}{\sqrt{13}}=72. \end{gather*}

Відповідь: $72.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17671

Завдання 991 з 2067

У магазині в продажу є $6$ видів тарілок, $8$ видів блюдець та $12$ видів чашок. Олена збирається купити бабусі в подарунок у цьому магазині або чашку та блюдце, або лише тарілку. Скільки всього є способів в Олени купити бабусі такий подарунок?

Впишіть відповідь:

102

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів вибрати тарілку – $6$, чашку та блюдце $8\cdot 12=96.$

Якщо влаштовує варіант вибрати або тарілку, або чашку та блюдце, то, використовуючи комбінаторне правило додавання, отримаємо $96+6=102$ способи купити подарунок.

Відповідь: $102.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17670

Завдання 992 з 2067

Шлях від пристані $A$ до пристані $B$ теплохід, що рухається за течією річки, долає за
$2$ години. На зворотний шлях він витрачає на $15$ хвилин більше. Швидкість течії річки дорівнює $2$ км/год, власна швидкість теплохода є сталою.

Визначте власну швидкість теплохода (у км/год).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач.

$2$ год $15$ хв $=2\frac 14$ год.

Нехай власна швидкість телохода $x$ км/год, тоді швидкість за течією $(x+2)$ км/год, проти течії – $(x-2)$ км/год. Оскільки відстань, яку пройшов теплохід за течією та проти течії, однакова, то складемо рівняння

\begin{gather*} 2(x+2)=2\frac 14(x-2);\ \ 2x+4=2\frac 14x-4\mathord{,}5;\\[6pt] 2\frac 14x-2x=4+4\mathord{,}5;\ \ \frac 14x=8\mathord{,}5;\\[6pt] x=8\mathord{,}5\cdot 4;\ \ x=34. \end{gather*}

Отже, власна швидкість теплохода $34$ км/год.

Відповідь: $34.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17669

Завдання 993 з 2067

Укажіть ненульове значення $x$, за якого значення виразів $x-8$, $3x$ та $6x$ є послідовними членами геометричної прогресії.

Впишіть відповідь:

-16

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання властивостей геометричної прогресії, уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Якщо $x-8$, $3x$ та $6x$ є послідовними членами геометричної прогресії, то \begin{gather*} b_1=x-8\\[7pt] b_2=3x\\[7pt] b_3=6x. \end{gather*}

За властивістю геометричної прогресії:

\begin{gather*} b_2^2=b_1\cdot b_3;\ \ (3x)^2=6x(x-8);\\[7pt] 9x^2=6x^2-48;\ \ 9x^2-6x^2+48x=0;\\[7pt] 3x^2+48x=0;\ \ 3x(x+16)=0.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x+16=0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=-16. \end{array}\right. \end{gather*}

Ненульове значення $x=-16.$

Відповідь: $-16.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17668

Завдання 994 з 2067

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ Точки $K$, $L$, $M$ належать сторонам $BC$, $CD$ та $AD$ відповідно, $BK=8$ см. Трикутники $KCL$ та $LDM$ рівні, $KC=LD=15$ см.

1. Визначте довжину відрізка $KL$ (у см).

2. Обчисліть площу трикутника $KLM$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	17			144.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, формули площі прямокутного трикутника.

$BK=8$ см, $\Delta KCL=\Delta LDM$, $KC=LD=15$ см.

1. $ABCD$ квадрат.

$BC=CD=BK+KC=8+15=23$ см, $CL=8$ см.

У $\Delta KCL\ (\angle C=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

$KL^2=KC^2+CL^2=15^2+8^2=225+64=289$, $KL=17$ см.

2. Нехай $\angle CKL=\angle MLD=\mathbf{\alpha}$, $\angle CLK=\angle LMD=\mathbf{\beta}.$ $\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}=90^\circ$ (сума гострих кутів прямокутного трикутника).

$\angle CLK+\angle KLM+\angle DLM=180^\circ$, $\angle KLM=180^\circ-(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta})=90^\circ.$

Отже, $\Delta KLM$ – прямокутний, тому

$$ S_{KLM}=\frac 12KL\cdot LM=\frac 12\cdot 17\cdot 17=\frac 12\cdot 289=144\mathord{,}5\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: 1. $17.$
2. $144\mathord{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17667

Завдання 995 з 2067

У дитячому шаховому клубі функціонують лише молодша й старша групи. Старшу групу відвідують $27$ дітей. Відвідувачі молодшої групи становлять $46\ \text{%}$ від загальної кількості відвідувачів обох груп шахового клубу.

1. Визначте кількість дітей у молодшій групі.

2. Скільки дітей потрібно додатково набрати в молодшу групу за умови незмінності кількості дітей старшої групи, щоб відношення кількості відвідувачів молодшої групи до кількості відвідувачів старшої групи становило $4 : 3$?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	23			13

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, відсоток від числа, число за значенням його відсотка.

1. $100\text{%}-46\text{%}=54\text{%}$ – складає кількість дітей у страшій групі.

$27:54\cdot 100=50$ дітей – всього у шаховому клубі.

$50-27=23$ дітей – відвідує молодшу групу.

2. Для того, щоб при незмінності кількості дітей старшої групи ($27$ дітей), відношення кількості відвідувачів молодшої групи до кількості дітей старшої було $4 : 3$, необхідно:

$27:3\cdot 4=36$ дітей молодшої групи. Отже, необхідно додатково набрати
$36-23=13$ дітей.

Відповідь: 1. $23.$
2. $13.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17666

Завдання 996 з 2067

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Пряма $CB$

2Пряма $CD_1$

3Пряма $AC$

4Пряма $A_1B$

Закінчення речення

Апаралельна площині $AA_1B_1B.$

Бперпендикулярна до площини $AA_1B_1B.$

Вналежить площині $AA_1B_1B.$

Гмає з площиною $AA_1B_1B$ лише дві спільні точки.

Дутворює з площиною $AA_1B_1B$ кут $45^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі.

1. $CB\ \perp\ BA$ та $CB\ \perp\ BB_1$, звідси $CB\ \perp\ (AA_1B_1).$ Отже, 1 – Б.

2. $CD_1\in (CC_1D_1)$;

$(CC_1D_1)\ ||\ (ABA_1)\rightarrow CD_1\ ||\ (ABA_1).$

Отже, 2 – A.

3. $AC$ – похила до площини $(ABA_1)$, $BC\ \perp\ (ABA_1)$, $BA$ – проекція $AC$ на $(ABA_1).$ $\angle (AC,\ (ABA_1))=\angle CAB=45^\circ.$ $ABCD$ – квадрат, $AC$ – бісектриса $\angle A.$ Отже, 3 – Д.

4. $A_1B\in (AA_1B_1B)$, тому що точки $A_1$ i $B$ належать $(AA_1B).$ Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Д, 4 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17665

Завдання 997 з 2067

Основи $BC$ й $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ дорівнюють $7$ см i $25$ см відповідно. Діагональ трапеції $BD$ перпендикулярна до бічної сторони $AB.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Середня лінія трапеції дорівнює

2Проекція сторони $AB$ на пряму $AD$ дорівнює

3Висота трапеції дорівнює

4Сторона $AB$ трапеції дорівнює

Закінчення речення

А$9$ см.

Б$12$ см.

В$15$ см.

Г$16$ см.

Д$18$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про середню лінію трапеції, вміння застосовувати властивості трапеції до розв'язування планіметричних задач.

$BC=7$ см, $AD=25$ см, $BD\ \perp\ AB.$

1. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює:

$$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{7+25}{2}=\frac{32}{2}=16\ \textit{см}. $$

Отже, 1 – Г.

2. $BK\ \perp\ AD$, $AK$ – проекція $AB$ на пряму $AD.$ Проведемо перпендикуляр з вершини $C$ на пряму $AD.$ $CP\ \perp\ AD$ $BCPK$ – прямокутник, $BC=KP=7$ см.

$AK=PD=(AD-BC):2=(25-7):2=9$ см.

Отже, 2 – А.

3. $KD=25-9=16$ см.

За властивістю висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи:

$BK=\sqrt{AK\cdot KD}=\sqrt{9\cdot 16}=3\cdot 4=12$ см.

Отже, 3 – Б.

4. У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

$AB^2=AK^2+BK^2=9^2+12^2=81+144=225.$ $AB=15$ см.

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17664

Завдання 998 з 2067

Установіть відповідність між виразом (1–4) та тотожно рівним йому виразом (А – Д), якщо a – довільне додатне число.

Вираз

1$a^{-1}$

2$\sqrt{(-a)^2}$

3$5:\frac {1}{5a}$

4$25^{\log_5a}$

Тотожно рівний вираз

А$-a$

Б$\frac{1}{a}$

В$a$

Г$a^2$

Д$25a$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рацiональнi, iррацiональнi, степеневі, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів, знання властивостей кореня $n\text{-го}$ степеня.

1. $a^{-1}=\frac{1}{a^1}=\frac 1a.$ Отже, 1 – Б.

2. $\sqrt{(-a)^2}=|-a|=a\ (a\gt 0).$ Отже, 2 – B.

3. $5:\frac{1}{5a}=5\cdot \frac{5a}{1}=25a.$ Отже, 3 – Д.

4. $25^{\log_5a}=5^{2\log_5a}=(5^{\log_5a})^2=a^2.$ Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Д, 4 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17663

Завдання 999 з 2067

Установіть відповідність між функцією (1–4) та її властивістю (А – Д)

Функція

1$y=x^2$

2$y=x^3+1$

3$y=3-x$

4$y=\sin x$

Властивість

Аспадає на всій області визначення

Бзростає на всій області визначення

Внепарна

Гпарна

Добластю значень функції є проміжок $(0; +\infty).$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лiнiйнi, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмiчнi та триroнометричнi функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

1. $y=x^2$ функція парна (графік симетричний відносно осі $Oy$). Отже, 1 – Г.

2. $y=x^3+1$ зростає на всій області визначення. Отже, 2 – Б.

3. $y=3-x$ спадає на всій області визначення. Отже, 3 – А.

4. $y=\sin x$ непарна. Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17662

Завдання 1000 з 2067

Розв'яжіть рівняння $\cos(3x)=\frac 12.$

А$\pm\frac{\mathbf{\pi}}{9}+\frac 23\mathbf{\pi}k,\ k \in Z$

Б$(-1)^k\mathbf{\pi}+3\mathbf{\pi}k,\ k\in Z$

В$\pm\mathbf{\pi}+6\mathbf{\pi}k,\ k\in Z$

Г$(-1)^k\frac{\mathbf{\pi}}{9}+\frac 13\mathbf{\pi}k,\ k\in Z$

Д$\pm\frac{\mathbf{\pi}}{9}+\frac 13\mathbf{\pi}k,\ k\in Z$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування тригонометричних рівнянь.

Рівняння $\cos x=a$ при $|a|\lt 1$ має розв'язок $x\pm \mathrm{arccos}\ a+2\mathbf{\pi}n$, $n\in Z.$

\begin{gather*} \cos(3x)=\frac 12,\ \ 3x=\pm \mathrm{arccos}\ \frac 12+2\mathbf{\pi}n,\ \ n\in Z.\\[6pt] 3x=\pm\frac{\mathbf{\pi}}{3}+2\mathbf{\pi}n,\ \ n\in Z;\\[6pt] x=\pm\frac{\mathbf{\pi}}{9}+\frac{2\mathbf{\pi}n}{3},\ \ n\in Z. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 357. Запитання: 17661

Facebook

Twitter