Тренувальні мультитести

ТЕМА: Початок Української революції.

Словосполучення-маркери в джерелі 1 – «Однині Україна стає Українською Народною Республікою. Не відділяючись від республіки Російської,.. ми твердо станемо на нашій землі» – чітко вказують на основне положення Третього Універсалу.

Словосполучення-маркери в джерелі 2 – «Уповноваження  Генерального  Секретаріату  поширюються  на губернії: Київську, Волинську, Подільську, Полтавську і Чернігівську» – вказують на «Тимчасову інструкцію», за якою повноваження ГС поширювались на 5 губерній.

Словосполучення-маркери в джерелі 3 – «На федеративних принципах має бути відновлена давня могутність і сила Російської держави» – вказують на «Федеративну грамоту» П. Скоропадського.

Словосполучення-маркери у джерелі 4 – «Українська Центральна Рада, … поповниться на справедливих основах представниками інших народів» – вказує на Другий універсал, за яким склад УЦР мав поповнитися національними меншинами.

Правильна відповідь: 1 – В; 2 – Д; 3 – Г; 4 – Б.

ТЕМА: Культура України кінця XVIII – першої половини ХІХ ст. Культура України в другій половині XIX – на початку XX ст.

Василь Каразін був засновником відкритого 1805 року Харківського університету.

Михайло Максимович був першим ректором університету Святого Володимира, заснованого 1834 року з метою русифікації краю.

Агатангел Кримський – відомий сходознавець другої половини ХІХ ст. – початку XX ст. й один із засновників (1918 рік) Української академії наук.

Дмитро Яворницький досліджував історію запорозьких козаків.

Правильна відповідь: 1 – Д; 2 – В; 3 – Б; 4 – Г.

ТЕМА: Творення нової України.

У квітні 2022 року Укрпошта успішно розпочала випуски марок, кожну з яких присвячено визначній події під час воєнного стану. Зображену марку анонсували в день визволення міста Херсон 11.11.2022. Довгоочікувана поштова марка «Херсон – це Україна!» є першою, яку присвячено деокупованому місту. 

Правильна відповідь – Г.

ТЕМА: Україна в період загострення кризи радянської системи.

На поштовій марці зображено відомого актора Івана Миколайчука. Він зіграв головну роль Івана Палійчука в українському фільмі режисера Сергія Параджанова «Тіні забутих предків» (1965 р.). Фільм є екранізацією однойменної повісті Михайла Коцюбинського. 

Правильна відповідь – Г.

ТЕМА: Україна в умовах десталінізації.

На обкладинці журналу «Перець» відображено початок космічної ери – 1957 рік, коли було запущено перший штучний супутник Землі. Важливу роль у цьому прориві відіграв український авіа- та ракетобудівник Сергій Корольов, який став головним конструктором радянської космічної програми.

Правильна відповідь – А.

ТЕМА: Україна в перші повоєнні роки.

Самоліквідація УГКЦ відбулась 1946 року на так званому Львівському соборі. 

Того ж року розпочався післявоєнний голод в Україні, спричинений посухою і радянською політикою хлібозаготівель, який припав на 1946–1947 роки.

Правильна відповідь – Б.

ТЕМА: Утвердження більшовицького режиму в Україні

На зображенні бачимо вирок 1937 р. про розстріл Леся Курбаса – видатного українського режисера, засновника театру «Березіль».

Термін «розстріляне відродження» використовується для позначення покоління українських митців 1920-х та початку 1930-х років, які були репресовані та фізично знищені радянським режимом. Лесь Курбас є однією з ключових постатей цього трагічного періоду.

Правильна відповідь – А.

ТЕМА: Утвердження більшовицького тоталітарного режиму в Україні.

Націонал-ухильництво – це звинувачення радянською владою діячів у відхиленні від марксизму-ленінізму через захист національної мови, культури, автономії та особливостей розвитку союзних республік. 

У варіанті відповіді  А наведено визначення поняття розстріляного відродження, у варіанті Б – терміна геноцид, у варіанті Г – розкуркулення.

Правильна відповідь – В.

ТЕМА: Встановлення комуністичного режиму в Україні.

На плакатах є маркер, який скеровує до періоду нової економічної політики, а саме продподаток, який замість продрозкладки запровадили з початком нової економічної політики 1921 року.

Правильна відповідь – Б.

ТЕМА: Україна в роки Першої світової війни.

На монеті зображено історичного діяча, пов’язаного з Легіоном Українських Січових Стрільців (УСС).

Василь Вишиваний (Вільгельм фон Габсбург-Лотрінґен) служив у лавах УСС і мав звання полковника, відіграючи помітну роль у формуванні українського військового руху під час Першої світової війни.

Правильна відповідь – В.

ТЕМА: Українські землі в складі Австро-Угорщини в другій половині ХІХ ст.

Газета «Діло» була провідним українським часописом Галичини та першою щоденною українською газетою. Вона виходила у Львові від 1 січня 1880 року до 5 вересня 1939 року. Видання заснувала група народовців на чолі з Володимиром Барвінським для захисту прав українців Галичини. «Діло» послідовно обстоювало ідеї державної незалежності та соборності України, відіграючи важливу роль у формуванні національної свідомості.

Правильна відповідь – В.

ТЕМА: Українські землі в Російській імперії другої половини ХІХ ст.

1 – Після знищення 1828 року Задунайської Січі козацька організація не відродилася в тому ж форматі, тому цей варіант не підходить.

2 – Об'єднання цукрозаводчиків у синдикат для контролю цін і стабілізації прибутку на ринку цукру (перший синдикат «Цукор») відбулося 1887 року, тобто в другій половини ХІХ ст.

3 – Заснування масонських лож і таємних організацій дворян-офіцерів відбувалося на початку ХІХ ст.

4 – Поширення й розвиток чумацького промислу припав на першу половину ХІХ ст., а з другої половини він занепав через розвиток залізниць.

5 – Створення розгалуженої системи залізниць активно відбувалося саме в другій половині ХІХ ст.

Правильна відповідь – В.

ТЕМА: Українські землі в складі Російської імперії наприкінці XVIII – у першій половині XIX ст.

У цитованому документі відображено засади діяльності Кирило-Мефодіївського братства (1846–1847 рр.). Основне завдання братства полягало в побудові майбутнього суспільства на засадах християнської моралі через здійснення реформ. Братчики прагнули створення демократичної федерації суверенних слов'янських республік із центром у м. Київ. Вони виступали за знищення царизму, скасування кріпосного права та станів, забезпечення рівноправності всіх слов'янських мов, розвиток культури й освіти.

Правильна відповідь – Г.

ТЕМА: Українські землі другої половини ХVІІІ ст.

У фрагменті Г детально описано внутрішні реформи, здійснені за гетьманування Данила Апостола (1727–1734 рр.). Ці заходи включали: 

• збільшення автономії України; 
• заснування скарбниці й формування першого річного бюджету;
• підтвердження Магдебурзького права та створення системи оподаткування;
• проведення Генерального слідства про маєтності для повернення незаконно захоплених земель.

Інші варіанти відповіді стосуються інших історичних періодів або діячів. 

Варіант відповіді А має чіткі маркери, які скеровують до правління останнього гетьмана Кирила Розумовського: доба останнього піднесення, відповіддю …на навалу московського імперіалізму, яка невблаганно сунула на Україну.

Варіант відповіді Б є словами Івана Мазепи про розрив звʼязків з Московією.

Варіант відповіді В є описом процедури обрання Івана Скоропадського гетьманом, коли Петро I відхилив кандидатуру Павла Полуботка.

Правильна відповідь – Г.

ТЕМА: Українські землі кінця XVII – першої половини ХVІІІ ст.

Пам'ятка на фото – це Троїцький собор Троїцько-Іллінського монастиря в Чернігові. Його будівництво пов'язане з діяльністю гетьмана Івана Мазепи, який у 1679–1689 роках надав кошти на спорудження собору в стилі козацького бароко. 

Правильна відповідь – Б.

ТЕМА: Національно-визвольна війна українського народу середини XVII ст.

Зображену монету присвячено 350-річчю битви під Батогом, найвизначнішій перемозі української армії під час Визвольної війни.

Битва відбулася 1–2 червня 1652 року на лівому березі Південного Бугу неподалік гори Батіг (Тростянецький р-н Вінницької області) між українсько-татарським військом під керівництвом Б. Хмельницького і польським військом М. Калиновського.

Монету введено в обіг 22 серпня 2002 року. Вона належить до серії «​Герої козацької доби»​.

Правильна відповідь – Б.

ТЕМА: Українські землі в Речі Посполитій другої половини XVI ст.

Універсал короля Стефана Баторія 1578 року став важливим етапом в оформленні правового статусу реєстрового козацтва. Цим актом було офіційно закріплено їхнє особливе становище в державі, збільшено чисельність реєстру до 500 осіб і надано низку привілеїв, які фактично наближали козаків до окремого суспільного стану. Універсал визначав їхні військові обов’язки, порядок служби та взаємини з королівською владою, підкреслюючи зростання ролі козацтва в обороні Речі Посполитої.

Варіант відповіді А – «Пункти для заспокоєння руського народу» (1632 р.) – це постанова сейму Речі Посполитої, ухвалена після смерті короля Сигізмунда III Вази, у якій юридично відновлено права православної церкви в Речі Посполитій, що були втрачені після Берестейської унії 1596 року.

Варіант відповіді Б – «Ординація Війська Запорозького» (1638 р.) – документ, який обмежував козацтво, зменшував реєстр і посилював контроль після придушення повстань, а не визнавав козацтво як стан. 

Варіант відповіді Г – Зборівський договір (1649 р.), укладений під час повстання Богдана Хмельницького, фактично започаткував козацьку державу з власною системою управління. За його умовами реєстр було збільшено до 40 тисяч козаків, а владу гетьмана поширено на значну частину українських земель.

Правильна відповідь – В.

ТЕМА: Руські удільні князівства у складі іноземних держав у другій половині XIV – першій половині XVI ст. Кримське ханство

Марку присвячено 650-річчю битви, що відбулася на річці Сині Води (Поділля) між литовсько-руським військом Великого князя Литовського Ольгерда Гедиміновича й ордами монголо-татарських правителів.

Після перемоги Ольгерд повернув у литовські володіння Чернігово-Сіверщину, Київ і Поділля, відібравши їх у татар. На цих приєднаних землях сформувалося Подільське князівство, правителями якого стали племінники Ольгерда – князі Коріятовичі.

Правильна відповідь – Б.

ТЕМА: Королівство Руське. Монгольська навала.

В історичному джерелі літописець описав обставини смерті Лева Даниловича – одного з найвпливовіших правителів Галицько-Волинської держави.

Автор літопису підкреслив масштаб цієї втрати, порівнюючи князя з його славетним дідом Романом Мстиславичем, засновником об’єднаної Галицько-Волинської держави. У тексті звучить образна метафора: зі смертю Лева «сонце наше зайшло», що передає відчуття глибокої скорботи й занепокоєння серед населення.

Правильна відповідь – В.

ТЕМА: Русь-Україна (Київська держава).

У варіанті відповіді В зображено Спасо-Преображенський собор у м. Чернігів (1036 р.), у якому було поховано князя Мстислава Володимировича – брата Ярослава Мудрого.

Після смерті брата Ярослав успадкував землі Мстислава і став єдиновладним правителем Русі-України.

Правильна відповідь – В.

ТЕМА: Стародавня історія України.

В уривку з історичного джерела йдеться про Велике розселення слов’ян у V–VII ст.

На території українських земель осіли слов’янські племінні союзи полян, деревлян, сіверян, уличів, тиверців, волинян (дулібів) і білих хорватів. У фрагменті є маркер – білі хорвати, який дає змогу зрозуміти, що йдеться про Велике розселення слов’ян.

Правильна відповідь – Г.

ТЕМА: Стародавня історія України.

У період палеоліту людина використовувала кам’яні знаряддя праці, навчилася добувати вогонь, а також будувала житла з бивнів мамонта, що ми й бачимо на зображеній марці. 

Правильна відповідь – А.

ТЕМА: Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметром.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

Якщо \(a=2\), рівняння не має коренів \((x\cdot 0=7).\)

Якщо \(a\ne 2\), корінь є. Його визначають так: $$ x=\frac{a+5}{a-2}. $$

Корінь рівняння буде додатним, якщо $$ \frac{a+5}{a-2}\gt 0. $$

Розв'яжімо методом інтервалів:

На проміжку \(a\in [-9; 9]\) рівняння має розв'язок, якщо \(a\in [-9; -5)\cup (2; 9].\)

Цілі значення \(a\) із цього проміжку: \(-9\), \(-8\), \(-7\), \(-6\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9.\) Тобто цілих значень \(a\) \(11.\)

Відповідь: \(11.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей конуса та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму конуса.

Радіус основи конуса \(O_1B=CO\) – радіусу сфери: $$ O_1B=5\sqrt{3}\ \text{см}. $$

У \(\Delta AO_1B\ (\angle O_1=90^\circ)\).

Об'єм конуса визначмо за формулою $$ V=\frac 13S_\text{осн}H=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де

Відповідь: \(125.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язку комбінаторних задач.

На ринку є \(10\) моделей кольорових принтерів. Вибрати \(2\) з них можна \(\mathrm{C}_{10}^2\) варіантами.

Вибрати \(3\) принтери з \(8\) монохромних моделей можна \(\mathrm{C}_8^3\) варіантами.

Підприємство планує купити і \(2\) кольорові, і \(3\) монохромні. Кількість варіантів такого вибору визначають за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(2520.\)

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбница для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: $$ S=\mathop{\int}\limits_a^b \left(f(x)-g(x)\right) dx, $$ де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

Відповідь: \(5\mathord{,}1.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Площа круга із центром у точці \(O_1\) дорівнює \(625\mathbf{\pi}\) см\(^2.\)

1. Відстань від \(O_2\) до сторони \(BC{:}\) $$ O_2K=\frac 12BA=\frac 12\cdot 30=15\ \text{см}. $$

\(O_2K\ \perp\ BC\), а \(KP\) – діаметр кола.

Правильна відповідь – B.

2. Центр кола \(O_1\), описаного навколо прямокутника \(ABCD\), лежить на середині діагоналі \(BD.\)

У \(\Delta ABD\) \((\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Д.

3. Відстань $$ O_1O_2=FO_1-FO_2, $$ де \(FO_2\) – радіус кола із центром у точці \(O_2.\)

Правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A.

ТЕМА: Дійсні числа. Раціональні, ірраціональні, тригонометричні й логарифмічні числа.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення степеневих, логарифмічних і тригонометричних виразів.

1. За властивістю степенів: $$ a^n:a^m=a^{n-m}, $$

Отже, правильна відповідь – Д.

2. За властивістю логарифмів:

Отже,

Правильна відповідь – Б.

3. Спростiмо вираз за формулою різниці квадратів: $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$ \(\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\) – табличне значення.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=-x^3\) набуває всіх значень із проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(y=\sqrt{x}\) має лише одну спільну точку з колом \(x^2+y^2=9\) (центра кола \((0; 0)\) і радіус \(3\)).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=\cos x.\) З тригонометричних функцій \(y=\sin x\), \(y=\cos x\), \(y=\operatorname{tg}\ x\), \(y=\operatorname{ctg}\ x\) тільки одна функція парна – це \(y=\cos x\). Всі інші тригонометричні функції – непарні.

Функція \(y=\cos(x)\) є парною, бо для неї виконується рівність \(\cos(-x)=\cos(x)\), її графік є симетричним відносно осі \(Oy.\) Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати первісну, використовуючи її основні властивості.

За таблицею первісних: функція \(f(x)=e^x\) має первсну \(F(x)=e^x + C\), функція \(f(x)=1\) має первісну \(F(x)=x+C\), де \(C\) – стала.

Визначмо загальний вигляд первісних для функції \(f(x)=2e^x+1\mathord{:}\) $$ F(x)=2e^x+x+\mathrm{C}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Корені рівняння:

якщо \(n=0\), $$ x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}\cdot 0=\mathbf{\pi}, $$ якщо \(n=-1\),

Відповідь: B.

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

Корінь рівняння \(4\in [3; 10).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника.

За властивістю середньої лінії трапеції: $$ KM\ ||\ BC\ ||\ AD, $$

У \(\Delta ABC\ KO\) – середня лінія. За властивістю середньої лінії: $$ KO=\frac 12BC. $$ Oтже, \(BC=10\) см.

У \(\Delta ACD\ OM\) – середня лінія, тому

Побудуймо \(CH\ \perp\ AD.\)

У \(\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)\)

Площа трапеції

Відповідь: Г.

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, застосовувати формули скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, обчислювати їхнє значення.

За основною тригонометричною тотожністю:

Обчислімо значення виразу:

Відповідь: A.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й висоти трикутника.

I. \(AM\) – медіана. Вона може дорівнювати довжині сторони \(BC\), але не обов'язково. Твердження неправильне.

II. Відстанню від точки \(A\) до прямої \(BC\) є довжина перпенидкуляра з точки \(A\) до \(BC.\)

У довільному трикутнику медіана не є висотою, а тому твердження неправильне. Таку властивість має медіана рівнобедреного трикутника, яку проведено до основи.

III. Точка \(M\) – середина сторони \(BC\), тож вона рівновіддалена від точок \(B\) i \(C.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних прямих.

За властивістю паралельності прямих \(AB\ ||\ CD\), \(CD\ ||\ C_1D_1\), \(AB\ ||\ C_1D_1\), \(AB\ ||\ A_1B_1\) (як протилежні сторони квадратів).

Отже, прямих, що проходять через ребра куба і є паралельними прямій \(AB\), – три \((CD\), \(\ C_1D_1\), \(\ A_1B_1).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з раціональними числами, використовувати властивості модуля.

Спростімо вираз

за формулою різниці квадратів $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$

Підставимо в умову:

За властивістю модуля числа:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функції.

На рисунку зображено графік функції на проміжку \([-5; 4].\)

Функція набуває додатних значень там, де графік проходить вище від осі \(Ox.\) Це відповідає \(x\) із проміжку \([-5; -1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей і видів кутів.

Розгорнутий кут поділено на \(10\) рівних частин. Градусна міра кожного з-поміж цих кутів $$ 180^\circ: 10=18^\circ. $$

Градусна міра кута між довгими стрілками складається з двох градусних мір кутів між довгою і короткою стрілкою.

Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати квадратні рівняння.

А

Рівняння має один корінь.

Б

Рівняння коренів не має.

В

Рівняння має два різні дійсні корені.

Г

Рівняння коренів не має.

Д

Рівняння має один корінь.

Відповідь: В.

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати число за його частиною, розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Клієнт банку зняв \(0\mathord{,}2\) від суми, що була на рахунку. Залишилось \(0\mathord{,}8\) від цієї суми – \(4800\) грн.

– це сума, що була на рахунку.

Отже, $$ 6000-4800=1200\ \text{грн} $$ було знято з рахунку.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та рівнобедреного трикутника.

\(ABCD\) – ромб, тому \(AB=BC=CD=DA.\)

Отже, \(\Delta ADC\) – рівнобедрений з основою \(AC.\) За властивістю рівнобедреного трикутника:

Або можна обчислити більший кут ромба іншим способом. За властивістю ромба, \(AC\) – бісектриса кута \(A{:}\) $$ \angle BAD=2\cdot 23^\circ=46^\circ. $$

Сума сусідніх кутів будь-якого паралелограма (ромб – паралелограм) дорівнює \(180^\circ.\) Отже, $$ 180^\circ-46^\circ=134^\circ. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Диню розрізали на \(6\) рівних частин. Кожна із цих частин становить \(\frac 16\) від усієї дині.

Якщо з'їли \(2\) частини, то залишилося \(4.\) Вони становлять $$ \frac 46=\frac 23 $$ від усієї дині.

Відповідь: А.

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметром.

Зробімо заміну: \(\sqrt{5x-a}=t\ge 0\), тоді \(5x-a=t^2.\)

Розв'яжімо квадратне рівняння відносно \(t{:}\)

Сума коренів:

Отже, за \(a=-0\mathord{,}875\) сума коренів рівняння дорівнює \(1\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(-0\mathord{,}875.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\) – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\(KP\ \perp\ DC\) – апофема піраміди (висота бічної грані). \(KO\ \perp\ (ABC)\), \(KP\) – похила на площину основи, \(OP\) – проєкція похилої \(KP.\) Звідси, \(\angle KPO=45^\circ\) – це кут між прямою \(KP\) і площиною основи.

У \(\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)\), \(\angle P=45^\circ\), тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

\(\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).\) \(AD=DC\), \(AC=18\sqrt{2}\) см. За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(972.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила добутку.

Кількість варіантів вибрати з \(9\) учнів і \(12\) учениць першого класу (всього \(21\) особа) одну дитину: $$ C_{21}^1=21. $$

Кількість варіантів вибрати з \(10\) учнів одного: $$ C_{10}^1=10, $$ а з \(8\) учениць одну: $$ C_8^1=8. $$

Оскільки вибір незалежний, вибрати \(1\) учня й \(1\) ученицю з одинадцятого класу можна \begin{gather*} 10\cdot 8=80 \end{gather*} варіантами.

Вибір одного першокласника та вибір учня разом з ученицею з одинадцятого класу не впливають один на одного, тобто є незалежними подіями. Тому загальну кількість можливостей визначаємо за комбінаторним правилом добутку: \begin{gather*} 80\cdot 21=1680 \end{gather*} варіантів.

Відповідь: \(1680.\)

ТЕМА: Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної, обчислювати похідні функцій.

За геометричним змістом похідної, \(f'(x_0)=k.\)

Похідна функції в точці – це кутовий коєфіцієнт дотичної до графіка в точці \(x_0.\)

За умовою, дотична до графіка функції в точці \(x_0=3\) паралельна прямій \(y=1\mathord{,}5x+5.\) Паралельні прямі мають рівні кутові коєфіцієнти. Отже, $$ f'(x_0)=f'(3)=1\mathord{,}5. $$

Похідна

Відповідь: \(-3\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, властивості середньої лінії трикутника, уміння обчислювати площі трикутників, многокутників.

1. \(\Delta ABD\) – прямокутний із катетами \(AB=6\) см і \(AD=8\) см.

Правильна відповідь – B.

2. \(OM\ \perp\ AD.\) За властивістю прямокутника: \begin{gather*} AC=BD,\\[7pt] BO=OD=AO=OC. \end{gather*}

У \(\Delta ABD\) \(OM\) – середня лінія, тому

Правильна відповідь – A.

3.

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Дійсні числа. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів, логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення їх.

1. \(\frac{m}{4}=1\), \(m=4.\)

Отже, правильна відповідь – B.

2.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(\log_{16}2+\log_{16}m=\log_{16}(2m)=1.\)

За властивістю логарифмів: $$ \log_ab+\log_ac=\log_a(bc). $$

За означенням логарифма:

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=7x+4\) – графік функції перетинає вісь \(y\) у точці з ординатою \(4.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(y=-\frac 7x\) – функція непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=\log_{0\mathord{,}1}(x-4)\) – логарифмічна функція \(y=\log_a x\) спадна на всій області визначення, якщо \(a\in (0; 1).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, уміння визначати їхні числові значення.

Функція \(y=\sin x\) періодична з найменшим додатним періодом \(T=2\mathbf{\pi}.\) За означенням періодичної фукнції:

Застосували формулу \(\operatorname{tg}\ (180^\circ-\mathbf{\alpha})=-\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.\)

Отже,

Відповідь: B.

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбнiцa для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу заштрихованої фігури (криволінійної трапеції), обмежено лініями \(x=a\), \(x=b\), графіком функції \(y=f(x)\) і віссю \(Ox\) визначаємо за формулою:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Системи лінійних нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей, знання властивостей нерівностей.

Розв'яжімо систему лінійних нерівностей:

За властивістю нерівностей, під час ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності треба замінити на протилежний.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок \(x\in (-\infty; -2].\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена: $$ a_n=a_1+d(n-1), $$

Отже, $$ d=-30:5=-6. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання означення та властивостей логарифма.

За властивістю логарифма: $$ \log_ab^n=n\log_ab\mathord{;} $$ $$ \log_aa=1. $$

Спростімо вираз:

Відповідь: B.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів і основних властивостей трикутників, властивостей та означення медіани трикутника.

I. Твердження правильне. За означенням, медіана – відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Отже, \(M\) – середина \(BC.\)

II. Твердження неправильне. \(AM\) – медіана. Щоб медіана збіглася з бісектрисою кута, трикутник повинен бути рівнобедреним з основою \(BC.\) Але в умові \(\Delta ABC\) – довільний.

III. Твердження правильне. \(S_{ABM}=S_{AMC}.\) За властивістю медіани: будь-яка медіана трикутника ділить його на два рівновеликі (рівні за площею) трикутники.

Відповідь: В.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, теореми косинусів, уміння розв’язувати трикутники.

\(AC=8\) см, \(BD=6\) см, \(\cos \angle AOD=-\frac 14.\)

За властивістю паралелограма

У \(\Delta AOD\) за теоремою косинусів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

З \(1\) га насадження ялівцю виділяється \(30\) кг фітонцидів за \(1\) день.

З \(2000\) га виділяється \(30\ \text{кг/га}\cdot 2000\ \text{га}=60000\ \text{кг}\) фітонцидів за день.

Визначмо масу фітонцидів за \(30\) днів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей коренів, уміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Спростімо вираз:

Використали властивість кореня: \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},\) де \(a\), \(b\gt 0.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати елементарні перетворення графіків функцій.

Перенесення графіка функції паралельно вздовж осі \(Ox\) – це перетворення виду: $$ f(x)\rightarrow f(x+A), $$ де \(A\) – кількість одиниць, на яку перенесли графік.

Якщо \(A\gt 0\) – переносимо графік вліво, якщо \(A\lt 0\) – переносимо вправо.

Отже, графік функції \(y=x^3\) перенесли на \(4\) одиниці ліворуч й отримали графік функції \(y=(x+4)^3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення та вмінння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Винесімо спільний множник за дужки:

Використали розподільну властивість множення: $$ a\cdot c+b\cdot c=c\cdot (a+b). $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів, паралельних прямих.

Кути \(\mathbf{\gamma}\) i \(\mathbf{\beta}\) – вертикальні. За властивістю вертикальних кутів \(\mathbf{\beta} = \mathbf{\gamma}.\)

Кути \(\mathbf{\alpha}\) i \(\mathbf{\gamma}\) – внутрішні односторонні. За їхньою властивістю:

Отже, \(\mathbf{\beta}=145^\circ.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи.

У піраміді \(SABCD\mathord{:}\)

\(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) – бічні ребра;

\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) – ребра основи. Отже, \(SA\) є бічним ребром.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання основної властивості пропорції.

Виразімо із цієї рівності \(m_1\mathord{:}\)

У перетворенні застосували основну властивість пропорції:

Відповідь: А.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

На діаграмі наведено інформацію про кількість проданих планшетів:
січень – \(250\);
лютий – \(100\);
березень – \(200\);
квітень – \(100\);
травень – \(150\).

Місяць, у якому продано планшетів на \(100\) більше, ніж у попередньому, – березень.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та раціональні рівняння, рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

Дріб дорівнює нулю за умови, що чисельник дорівнює нулю, а знаменник – ні.

За умовою корінь \(x\) має бути додатним і задовольняти ОДЗ. Тобто \(x\gt 0\) та \(x\lt 2.\) Отже, \(0\lt x\lt 2.\)

Підставмо \(x\) у нерівність:

Оскільки \(a\) – ціле число, то \(a=5\mathord{,}\ 6\mathord{,}\ 7\mathord{,}\ 8.\)

Сума значень \(a:\) $$ 5+6+7+8=26. $$

Відповідь: \(26.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей основних видів многогранників, зокрема піраміди, та властивостей циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму піраміди.

Площа основи циліндра

Площа бічної поверхні ціліндра

За умовою радіус кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\), дорівнює радіусу основи циліндра. Отже, $$ AO=OK=15\ \textit{см}. $$

Діагональ \(AC=30\) см. Площу квадрата можна обчислити за формулою:

Об'єм піраміди

Відповідь: \(3000.\)

ТЕМА: Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Всього в салоні літака \(n\) рядів по \(6\) місць у кожному. Отже, всього в літаку \(6n\) місць.

Місць біля проходу в першому або останньому ряду \(4.\) Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце – \(\frac{1}{45}.\)

За означенням імовірність – це відношення кількості результатів, що сприяють цій події (\(4\) місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів (\(6n\) – загальна кількість місць). Тому

Відповідь: \(30.\)

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою, похідну функції, числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Якщо \(x\lt -2\ f(x)=10.\) Отже, \(f(-4)=10.\)

Якщо \(x\ge -2\), \(f(x)=4x^2+3x.\)

Обчислімо

Відповідь: \(-9.\)

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. Коло дотикається до сторін \(BC\) i \(AD\), тому діаметр кола дорівнює стороні \(AB.\) Отже, довжина радіуса \(OK=\frac 12AB=6\) см.

Правильна відповідь – А.

2. У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\), \(BK=AK.\) За теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – B.

3. У \(\Delta ABK\ KH\ \perp\ AB\) і є медіаною. За властивістю медіани проведеної до гіпотенузи:

У \(\Delta AOM\ (\angle M=90^\circ)\), \(OM=6\) см, \(AM=OH=12\) см. За теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати перетворення графіків функцій.

1. На проміжку \([-4; 0]\) зображено графік функції \(y=\sqrt{-x}.\)

Елементарним перетворенням \(f(x)\rightarrow f(-x)\) графік відображено симетрично відносно осі \(Oy.\) Отже, правильна відповідь – Д.

2. На проміжку \((0; 2]\) зображено графік функції \(y=x^3.\) Отже, правильна відповідь – A.

3. На проміжку \((2; 6)\) зображено графік лінійної функції \(y=12-2x.\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. \(\ln\frac 1e=\ln e^{-1}=-1\cdot \ln e=-1\) є від'ємним цілим числом.

Застосували формули:

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(e+1\approx 2\mathord{,}7+1\approx 3\mathord{,}7\) є ірраціональним числом. Отже, правильна відповідь – Д.

Вираз \((e-1)^2\) спростили за формулою квадрата різниці: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – А.

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні і раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

Підставмо значення \(y=0\mathord{,}5\) у перше рівняння:

Розв'язком системи є пара чисел \((9; 0\mathord{,}5)\mathord{:}\)

Відповідь: Г.