Тренувальні мультитести

ТЕМА: Синтаксис. Головні та другорядні члени речення.

Завдання перевіряє вміння визначати головні та другорядні члени речення.

У реченні А можна сказати: Пізнавати буде важливим завданням. Тут слово пізнавати відіграє роль підмета.

У реченні Б до виділеного слова визнавати можна поставити питання яке?. Тому це означення.

У реченні В головний член речення, який стоїть перед тире – це підмет, а те, що стоїть після нього – присудок. Тому слово здобути – це присудок.

У реченні Г можна сказати: Вона прийшла, щоб підготуватися. Якщо можемо вставити слово щоб, то інфінітив відіграє роль обставини.

У реченні Д маємо додаток, адже до виділеного слова підготувати можна поставити питання що?.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Б, 4 – Г.

ТЕМА: Синтаксис. Просте речення та складне речення.

Завдання перевіряє вміння розрізняти прості ускладнені речення та складні речення різних типів.

Речення 1 має три граматичні основи. Перша та друга частини поєднані сполучниковим підрядним зв’язком, друга й третя – сполучниковим сурядним. Отже, це складне речення з різними видами зв’язку.

Речення 2 має дві граматичні основи, складається з двох рівноправних частин, що пов’язані сполучником сурядності і. Отже, це складносурядне речення.

Речення 3 має дві граматичні основи, складається з двох нерівноправних частин, які пов’язані сполучним словом чому. Від головної частини можна поставити питання що саме? до другої (підрядної )частини. Отже, це складнопідрядне речення.

Речення 4 має дві граматичні основи, складається з двох частин, що пов’язані лише змістом та інтонацією, між частинами речення стоїть кома, адже є одночасність подій. Отже, це складне безсполучникове речення.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – В, 4 – Г.

ТЕМА: Морфологія. Частини мови.

Завдання перевіряє вміння правильно визначати частини мови.

До слова учений логічно поставити питання хто?. Це слово в реченні вказує на діяча, а не на ознаку. Отже, учений – це іменник.

Що – займенник, який виконує функцію сполучного слова на початку підрядної частини складного речення (можна замінити на слово який).

Довго відповідає на питання як? як довго? та вказує на ознаку дії. Отже, йдеться про прислівник.

Слово на не має лексичного значення, з’єднує різні слова в реченні. Отже, йдеться про прийменник.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – Г, 4 – Д.

ТЕМА: Фразеологія. Фразеологізми. Значення фразеологізмів

Завдання перевіряє вміння тлумачити фразеологізми.

Мати зуб – сердитися, гніватися на кого-небудь.

Дивитися в зуби – виявляти зайву поблажливість, церемонність, запобігливість у поводженні з ким-небудь.

Зуби проїсти – мати великий досвід у чомусь; ґрунтовно вивчити що-небудь.

Зубами на світі їсти – люди, які за будь-яку ціну досягають свого.

Продавати зуби – сміятися.

Доповнімо кожне речення доречним фразеологізмом.

1. Він умів зубами на світі жити: заради власної вигоди не зупинявся ні перед чиїми сльозами, ні перед зламаними долями.

2. Зуби проїсти на юридичних справах і швидко знаходити правильне рішення, не піддаючись паніці, вдається не всім правникам.

3. Керівник забороняв своїм підлеглим дивитися в зуби, бо вважав, що зайва поблажливість лише послаблює дисципліну.

4. Зустрівши своїх друзів, почав продавати зуби й задивлятися на дівчат.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б, 4 – Д.

ТЕМА: Синтаксис. Однорідні члени речення.

Завдання перевіряє вміння ідентифікувати однорідні члени речення та розрізняти їхні синтаксичні ролі (додатки, присудки тощо).

Однорідних членів речення немає лише у варіанті відповіді, позначеному трикутником.

У реченні, позначеному трапецією, маємо однорідні додатки: Сідні Свіні та Аманди Сейфрід; сімейні таємниці й несподівані повороти.

У реченні, позначеному ромбом, теж є однорідні додатки: секрети та механізми; мотиви та наміри.

У реченні, яке позначено квадратом, є однорідні присудки й додатки.

Відповідь – Д.

ТЕМА: Орфографія. Правопис частки НЕ.

Завдання перевіряє знання правил написання частки не з різними частинами мови та вміння розрізняти умови, за яких її пишуть разом або окремо.

У цьому завданні потрібно знайти слово, яке пишеться разом із часткою не.

А Не лише треба писати окремо, бо це частка. 

Б Не з дієсловами пишуть окремо.

В Вираз не/проста входить до складу складеного іменного присудка, тому його пишуть окремо.

Г У варіанті виявляється не/таким, як здавалося маємо протиставлення, тож слово таким із часткою не треба писати окремо.

Отже, разом треба писати слово несподівані, адже його можна замінити синонімом раптові.

Відповідь – Г.

ТЕМА: Пунктуація. Розділові знаки в складнопідрядному реченні.

Завдання перевіряє вміння розпізнавати межі підрядних частин у структурі складнопідрядного речення та правильно ставити розділові знаки між ними.

Пунктуаційну помилку маємо в реченні, позначеному квадратом. Оскільки фрагмент чим усе завершиться є підрядною частиною, треба відокремити її комою.

Відповідь – Б.

ТЕМА: Синтаксис. Відокремлений додаток.

Завдання перевіряє вміння розпізнавати в реченні відокремлені додатки та знання службових слів, якими відокремлені додатки вводять.

Відокремлений додаток вводять у речення за допомогою слів-маркерів крім, окрім, опріч, замість, за винятком тощо. 

У рядку, позначеному квадратом, конструкція зокрема підміна довіри на маніпуляцію є відокремленим додатком.

Відповідь – Б.

ТЕМА: Розвиток мовлення. Текст. Основні ознаки тексту. Логічна послідовність. Зв’язність і точність мовлення.

Завдання передбачає роботу з деформованим текстом; перевіряє вміння відновлювати початкову послідовність і далі працювати з таким текстом, досліджувати його.

Треба проаналізувати, які засоби міжфразового зв’язку використано в тексті (займенники, лексичний повтор, прислівники, граматичні засоби, вставні слова тощо).

Позначене трапецією речення початкове, бо з нього дізнаємося загальну інформацію про фільм «Служниця» і його особливості.

Речення, позначене трикутником, знайомить із головною героїнею та початковою ситуацією.

Наступним є речення, позначене ромбом: тут описано, що відбувається з героїнею далі (вона розкриває родинні таємниці). Це природне продовження зав’язки, бо показує еволюцію конфлікту.

У реченні, позначеному квадратом, узагальнено сюжетні елементи (повороти, конфлікти, маніпуляції) й описано їхній ефект – зростання психологічного тиску.

І останнім має бути речення, позначене колом, адже містить реакцію глядачів і критиків та узагальнює ідею стрічки. Такі формулювання виконують роль підсумку, тому стоять наприкінці.

Відповідь – Б.

ТЕМА: Морфологія. Уживання прийменників. Дієслівне керування.

Завдання перевіряє вміння відмінювати іменники в місцевому відмінку множини та навички правильної побудови конструкцій для позначення мови спілкування чи виконання.

У множині іменники І відміни в місцевому відмінку мають закінчення -ах (-ях).

Отже, по клубах.

Дієслову презентували має відповідати орудний відмінок: українською мовою. Вираз на українській мові  ненормативний.

Оновлені пісні гурту, які записали під час довготривалих студійних сесій та впорядкували відповідно до сучасних норм, розвезли по клубах міста та презентували слухачам українською мовою.

Відповідь – Б.

ТЕМА: Морфологія. Відмінювання іменників. Узгодження прикладки.

Завдання перевіряє вміння правильно вживати закінчення іменників чоловічого роду другої відміни в родовому відмінку однини.

Назва гурту збереже форму називного відмінка біля загальної назви, тому «Бумбокс».

Щоб дібрати правильне закінчення в родовому відмінку однини іменників II відміни, найчастіше користуються правилом: якщо іменник позначає конкретне поняття, то закінчення -а / я; якщо абстрактне, то закінчення -у / ю.

Концерт – слово, яке позначає абстрактне поняття, адже не можемо визначити його межі. Тому концерту.

Відеоролик – позначає конкретне поняття (можемо визначити межі), тому відеоролика.

Нову філософську пісню гурту «Бумбокс»  під назвою «Люди» спочатку записали у форматі відеоролика з концерту.

Відповідь – Б.

ТЕМА: Морфологія. Уживання прийменників. Відмінювання числівників.

Завдання перевіряє вміння правильно вживати прийменники, відмінювати кількісні числівники та добирати нормативні варіанти прийменників з огляду на милозвучність.

Прийменник протягом уживаємо для позначення часу.
Форма на протязі є помилковою, бо слово протяг означає рух повітря.

Кількісний числівник дев’ятнадцять у родовому відмінку має форму дев’ятнадцяти, а не дев’ятнадцятьох, адже поєднаний із неживою істотою (години).

Прийменники у / в чергують за правилом милозвучності.
Після приголосного перед словом, що починається на приголосний, уживаємо прийменник в: роботи в студії.

Альбом було записано протягом дев’ятнадцяти годин роботи в студії, що для повноформатної платівки є надзвичайно коротким терміном.

Відповідь – А.

ТЕМА: Морфологія. Вживання прийменників. Творення ступенів порівняння прикметників.

Завдання перевіряє вміння правильно вживати прийменникові конструкції для посилання на джерело інформації та знання правил творення ступенів порівняння прикметників.

Сталу прийменникову конструкцію згідно з треба запам’ятати.

Складену форму вищого ступеня порівняння прикметників утворюють за допомогою слів більш, менш, які додають до звичайного прикметника: більш впливових.

Просту форму вищого ступеня порівняння утворюють додаванням до кореня суфіксів -іш- чи -ш-: впливовіших.

Найвищий ступінь: проста форма – префікси най-, що-, як- (найвпливовіших); складена форма – за допомогою слів найбільш, найменш (найбільш впливових). 

Згідно з даними музичних критиків, платівка «Family Business» стала однією з найвпливовіших в історії української популярної музики.

Відповідь – Б.

ТЕМА: Морфологія. Відмінювання числівників. Особливості вживання та написання відмінкових форм іменників.

Завдання перевіряє вміння відмінювати складні порядкові числівники в датах і застосовувати правила відмінювання чоловічих імен і прізвищ в орудному відмінку.

А Гурт «Бумбокс» було засновано дві тисячі четвертого року вокалістом Андрієм Хливнюком і гітаристом Андрієм Самойлом.

Б дві тисяча четвертому – неправильна форма числівника (має бути дві тисячі четвертого). Імена наведено в називному відмінку (Андрій Хливнюк), а треба в орудному (Андрієм Хливнюком), бо відповідає на питання ким?.

В Андрійом – помилка: правильно Андрієм (чергування ій → іє).

Г двохтисячному четвертому – помилка (має бути дві тисячі четвертого); Андрій Самойло – називний відмінок замість потрібного орудного (Андрієм Самойлом).

Д  дві тисячі четвертому – це місцевий відмінок (напр., у дві тисячі четвертому році), а треба родовий: дві тисячі четвертого року.

Відповідь – А.

ТЕМА:  Синтаксис. Складне речення.

Завдання перевіряє вміння розрізняти складні речення різних типів, правильно розставляти розділові знаки та пояснювати їх.

Коми 8 та 9 обґрунтовані як розділові знаки між частинами складного речення, що поєднані сурядним зв’язком. 

Правильне обґрунтування – між частинами складного речення, що поєднані підрядним зв’язком, адже після ком маємо сполучники підрядності бо, що.

Відповідь – Д.

ТЕМА: Лексикологія. 

Завдання перевіряє знання лексичних норм української мови, правильне слововживання.

У варіанті відповіді А лексична помилка – зробити вклад. В українській мові є два сталі вирази: вносити вклад, робити внесок. Якщо йдеться про культуру, науку, то використовують вираз робити внесок.

У варіанті відповіді Б помилка полягає в недоречному вживанні дієслова вилучити. Правильно сказати отримати або здобути користь.

У варіанті відповіді В перевіряють знання різниці між паронімами компанія та кампанія. Компанія – це фірма, товариство або група людей, тоді як кампанія – це заходи для досягнення мети. У контексті йдеться про вступну кампанію.

У варіанті відповіді Д треба вжити слово пам’ятка, а не пам’ятник. Пам’ятка – це об’єкт культури, історії або природи, який має цінність і який треба охороняти. Пам’ятник – це архітектурна або скульптурна споруда, створена для вшанування пам’яті про людину чи подію.

Відповідь – Г.

ТЕМА: Лексика. Іншомовні слова. Запозичена лексика.

Завдання перевіряє вміння розуміти й пояснювати лексичне значення власне українських та іншомовних слів.

Ескалація (англ. escalation – підйом сходами) – нарощування, збільшення, розширення.

Відповідь – Б.

ТЕМА: Синтаксис. Пряма мова. Розділові знаки при прямій мові.

Завдання перевіряє вміння правильно розставляти розділові знаки при прямій мові.

У конструкціях із прямою мовою розділові знаки залежать від того, як розташовані пряма мова та слова автора.

Якщо слова автора всередині прямої мови, то перед словами автора й після них ставлять комбінований знак кома й тире, а пряму мову продовжують із малої літери: «Ні, не треба, мій таточку, не треба, Ярино, – Степан каже, – я загинув, навіки загинув». У цьому реченні слова автора починаються з великої літери, але це не помилка, адже Степан – це власна назва.

Відповідь – Г.

ТЕМА: Синтаксис. Граматична помилка.

Завдання перевіряє вміння правильно будувати речення з дієприслівниковими зворотами.

Дія, названа дієприслівником, у реченні повинна стосуватися того ж діяча, що й дія, названа присудком.

Неправильно побудовано речення в рядку Б: воно безособове, тобто виконавця в присудку тут взагалі немає, а отже, немає діяча, якого стосувався б дієприслівниковий зворот.

Відповідь – Б.

ТЕМА: Лексикологія.

Завдання перевіряє знання лексичних норм української мови, правильне слововживання.

У варіанті відповіді А помилка полягає в тому, що прийменник по вжито недоречно, адже його найчастіше вживають для позначення прямої фізичної дії.

Лексично правильні варіанти: заходи з пошуку тварин або заходи для пошуку тварин.

Відповідь – А.

ТЕМА: Орфографія. Подвоєння приголосних у словах іншомовного походження. 

Завдання перевіряє вміння розпізнавати вивчені орфограми (подвоєння у словах іншомовного походження) та пояснювати їх за допомогою правил.

У власних назвах іншомовного походження та похідних від них відбувається подвоєння, тому Марокко, Руссо, Ватт, Брюссель, Будда, Ахіллес).

У загальних іншомовних назвах приголосні звичайно не подвоюють: інтермецо, бароко, лібрето, фін.

Також подвоєння зберігається у словах-винятках: аннали, пенні, брутто, мотто, бонна, манна.

Під час збігу префікса й кореня буде подвоєння: ірраціональний.

Відповідь – Г.

ТЕМА: Орфографія. Правопис складних слів.

Завдання перевіряє вміння розпізнавати складні випадки написання слів.

У варіанті відповіді А помилка у слові науково-популярних: маємо писати його з дефісом (складне слово, утворене двома рівноправними словами, між якими можна поставити сполучник сурядності і: наукових і популярних).

У варіанті відповіді Б неправильно написано слово надвеликі, його треба писати разом.

У варіанті відповіді В у слові досвідчений пропущено літеру д (від слова досвід).

Відповідь – Г.

ТЕМА: Орфографія. И та І в іншомовних словах.

Завдання перевіряє вміння застосовувати «правило дев’ятки» та норми написання голосних в іншомовних словах (загальних назвах, власних назвах і термінах).

В українській мові в основах загальних іншомовних назв після дев’яти букв (д, т, з, с, ц, ч, ш, ж, р) перед наступним приголосним, крім й, пишемо и. 

Отже, чипси, косинус, рилс, бравісимо, скепсис, силует.

Слова кипарис, єхидна, вимпел, башкир, графин входять до переліку слів, написання яких треба запам’ятати.

Слово Дідро входить до переліку власних назв, які треба писати з літерою і.

Відповідь – Г.

ТЕМА: Орфографія. Правопис складних слів.

Завдання перевіряє вміння визначати, коли складні слова та словосполучення треба писати через дефіс, а коли – разом або окремо.

Разом пишемо людинодень (відповідно до норм чинного правопису), жовтогарячий (відтінки кольорів треба писати з дефісом, але це слово-виняток, яке пишемо разом), мініспідниця (без дефіса пишуть складні слова з першою частиною віце-, екс-, лейб-, контр-, максі-, міні-, міді-, обер-, штабс-, унтер-).

У варіанті відповіді В всі слова треба писати з дефісом: бізнес-план (перше іншомовне слово пояснює особливість другого), воєнно-стратегічний (слова з першою частиною військово-, воєнно- пишуть із дефісом), люби-мене (назва рослини).

Відповідь – В.

ТЕМА: Словотвір. Правопис суфіксів.

Завдання перевіряє вміння правильно утворювати назви осіб жіночої статі відповідно до норм правопису.

Назви осіб жіночої статі утворюємо від чоловічих назв за допомогою суфіксів: -к(а), -иц(я), -ин(я), -ес(а).

Суфікс -их(а) не рекомендований для назв осіб, бо здебільшого має розмовне або зневажливе забарвлення та не відповідає сучасній літературній нормі.

Фемінітив поетеса утворено від поет за допомогою суфікса -ес(а); форма відповідає нормам правопису.

У варіанті відповіді Б слово борчиха утворено від борець за допомогою суфікса -их(а), який не відповідає нормам творення фемінітивів у сучасній українській мові. 

Слово студентка утворено від студент суфіксом -к(а), що відповідає нормам правопису.

У варіанті відповіді Г слово друкарка утворено від друкар суфіксом -к(а); форма нормативна.

Відповідь – Б.

ТЕМА: Орфографія. Правила вживання апострофа.

Завдання перевіряє навички вживання апострофа після губних приголосних, р і префіксів, зокрема вміння розпізнавати випадки-винятки, коли перед губним стоїть інший приголосний.

Варіант відповіді А: Мар’яна (апостроф ставимо після р, якщо його вимовляють твердо), дев’ять (апостроф після губного в перед я), з’явитися  (апостроф після префікса з-, якщо основа починається на я, ю, є, ї), Лук’янівка (у слові Лукʼян і похідних від нього ставимо апостроф).

Варіант відповіді Б: з’єднаний (апостроф після префікса з- перед є), рум’яний (апостроф після губного м перед я), у словах дзвякнути та свято апостроф не ставимо, бо перед губним стоїть інший кореневий приголосний.

Варіант відповіді В: слова бурʼян, надвечірʼя пишемо з апострофом, бо р вимовляємо твердо; буряк – без апострофа, бо р мʼяка; безʼядерний – з апострофом, бо префікс закінчується на з й передує основі на я).

Варіант відповіді Г: слово різдвяний треба писати без апострофа (перед губним стоїть інший кореневий приголосний).

Відповідь – Г.

ТЕМА: Орфографія. Правила вживання м’якого знака.

Завдання перевіряє навички вживання м’якого знака, зокрема вміння розрізняти правила його написання в суфіксах, перед шиплячими та у словах-винятках.

А 

• донецький – м’якість [н’] зберігається перед суфіксом -ськ- (від Донець);

• піднось – це наказний спосіб дієслова, де м’якість кінцевого приголосного позначено м’яким знаком;

• сонця – м’який знак не ставлять між двома м’якими приголосними, якщо перший м’якшає під впливом другого (виняток – коли перший приголосний [л’]).

• вінчати – після н перед шиплячими (ж, ч, ш, щ) м’який знак не ставлять.

Б

• багатьма – м’який знак перед суфіксом -ма в числівниках.

• кінчик – не пишемо м'якого знака після н перед шиплячим ч.

• мільйон – для позначення м’якості [л’] перед о.

• ремінь – для позначення м’якості приголосного.

В

• кільце – для позначення м’якості [л’] перед наступним приголосним.

• учительство – м’якість [л’] зберігається перед суфіксом -ств-.

• велетенський – у словах із суфіксом -ськ- м’який знак треба ставити лише після л;

• бриньчати – м’який знак зберігається в дієсловах, утворених від вигуків або слів, що закінчуються на м'який приголосний.

Г

• рученька – у суфіксі -еньк-;

• тьмяний – слово-виняток (хоча [т’] стоїть перед м’яким [м’], м’який знак тут зберігається).

• тьохкання – для позначення м’якості перед о.

• бренькати – у дієслові на -нькати.

Відповідь – Г.

ТЕМА: Орфоепія. Наголос, наголошені й ненаголошені склади.

Завдання перевіряє орфоепічні навички.

Для опрацювання таких слів варто скористатися спеціальним довідником, де вміщено перелік слів із правильними наголосами.

Неправильно виділено букву на позначення наголошеного голосного у слові закінчити – правильний наголос – закінчити.

Відповідь – Б.

ТЕМА: Фонетика. Зміни звуків.

Завдання перевіряє вміння розпізнавати звукове значення літер у різних фонетичних позиціях.

У словах вісь, сивий, сіно, ясний виділена літера передає різні звуки.

У словах сивий і ясний це звук [с], а в словах вісь, сіно – звук [с’], адже приголосний робиться мʼяким, коли після нього стоять літери я, ю, є, і та ь.

У словах здається, тіло, торгівля, боротьба виділена літера передає різні звуки: у слові здається маємо звук [ц’:а], тіло – [т’], торгівля – [т], боротьба – [д’].

У словах віхоть, вогкий, кухня, хутір виділена літера передає той самий звук: у слові вогкий звук [х], бо в словах легко, вогко, кігті, нігті, дьогтю маємо асиміляцію за глухістю (звук [г] переходить у [х]). Тому це правильна відповідь.

У словах дочці, череда, помічниця, чаша виділена буква передає різні звуки: у словах череда, помічниця, чаша це звук [ч], а в слові дочці буквосполученню чц відповідає звук [ц´:].

Відповідь – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння та їхні системи з параметрами.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола із центром у точці \(M(x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

Перепишімо рівняння так:

Це коло із центром у точці \(M\ (2; 2a-3)\) і радіусом \(R=7.\)

Центр кола може рухатися вгору або вниз залежно від значення \(a\) (бо змінюється координата \(y_0\)), але за віссю \(x\) він завжди зафіксований на позначці \(2.\)

Графік перетинає вісь \(x\) у двох точках тоді й лише тоді, коли відстань від центра кола до цієї осі менша за радіус.

Вісь \(x\) – пряма, \(y=0.\) Відстань від центра \(O\ (2; y_0)\) до осі \(x\) – модуль координати \(y_0{:}\)

\begin{gather*} |y_0|\lt R;\\[7pt] |2a-3|\lt 7;\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a-3\lt 7,\\ 2a-3\gt -7, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 7+3,\\ 2a\gt -7+3, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 10,\\ 2a\gt -4, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt 5,\\ a\gt -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Тобто \(a\in (-2; 5).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: \(\{-1\), \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\}\).

Усього таких значень шість.

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо меншу діагональ \((BD)\) основи.

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=DD_1=7\sqrt{3}).\) Оскільки переріз менший, він проходить через меншу діагональ ромба \((BD).\)

Формула для обчислення площі перерізу:

Звідси обчислімо меншу діагональ:

\begin{gather*} BD=\frac{ S_{BB_1D_1D}}{DD_1}=\frac{140\sqrt{3}}{7\sqrt{3}}=20. \end{gather*}

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. Отже, сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(AD=BD=20\) см (оскільки \(\Delta ABD\) рівносторонній).

Обчислімо площу основи \((S_\text{осн}){:}\)

Площу ромба обчислімо за формулою через сторону \((a)\) та синус кута між ними:

Об'єм призми обчислімо за формулою:

Відповідь: \(4200.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння застосовувати правило добутку в розв’язуванні комбінаторних задач.

На кожному з 5 перехресть автомобіль має лише \(2\) варіанти дії:

• зупинитися;
• проїхати без зупинки.

Щоб обчислити загальну кількість способів, треба перемножити кількість варіантів для кожного перехрестя:

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(32.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Завдання перевіряє навички інтерпретування геометричного змісту визначеного інтеграла та вміння обчислювати площі фігур, обмежених графіками функцій.

За формулою Ньютона – Лейбніца:

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її первісна.

Обчислімо \(\displaystyle \mathop{\int}\limits_0^5 f(x)\ dx.\)

Згідно з геометричним змістом, визначений інтеграл дорівнює алгебричній сумі площ фігур, обмежених графіком функції та віссю \(Ox:\)

• якщо фігура лежить над віссю (як \(A\) та \(C\)), її площу додають;
• якщо фігура лежить під віссю (як \(B\)), її площу віднімають.

Отже,

Обчислімо:

Додамо отримані значення:

Відповідь: \(24{,}9.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника і середньої лінії трапеції.

1. \(KC.\) У паралелограмі протилежні сторони рівні:

\(AD=BC;\)

Отже, \(BC=26\) см.

Оскільки точка \(K\) – середина \(BC{:}\)

\begin{gather*} KC=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. Середня лінія трапеції \(KCDP.\)

Розгляньмо чотирикутник \(KCDP.\) Сторони \(KC\!\parallel\!PD\) (як частини основ паралелограма), а \(KP\!\nparallel\!PD.\) Це прямокутна трапеція. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} L=\frac{KC+PD}{2};\\[6pt] L=\frac{13+8}{2}=\frac{21}{2}=10{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. \(KP.\) Розгляньмо трикутник \(AKD.\) За умовою він прямокутний \((\angle AKD=90^\circ)\), а \(KP\) – його висота, проведена до гіпотенузи \(AD.\) За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику:

\begin{gather*} KP^2=AP\cdot PD;\\[7pt] KP^2=18\cdot 8=144;\\[7pt] KP=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. \(y=\log_2 x\) логарифмічна функція з основою \(a=2.\)

Функція визначена лише за \(x\gt 0\), отже, вона не визначена за \(x=-2.\) Отже, 1 – А.

2. \(y=x^2-4x-4\) квадратична функція, графік якої – парабола.

Обчислімо значення функції за \(x=2{:}\)

Оскільки \(-8\lt 0\), функція набуває від'ємного значення за \(x=2.\) Отже, 2 – Б.

3. Функція \(y=\dfrac 4x\) непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей степеня із цілим показником, а також уміння здійснювати тотожні перетворення раціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо \(\dfrac na=3\), то

Отже, 1 – Д.

2. Якщо \(1+\log_3 n=\log_3 a\), то

\begin{gather*} \log_3 3+\log_3 n=\log_3 a;\\[7pt] \log_3 3n=\log_3 a;\\[7pt] a=3n. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. Якщо \(3^n\cdot 3=3^a\), то

\begin{gather*} 3^n\cdot 3^1=3^a;\\[7pt] 3^{n+1}=3^a;\\[7pt] a=n+1. \end{gather*}

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} a^1=a;\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Якщо \(n=0\), то \(x=0.\)

Якщо \(n=1\), то \(x=3\pi.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв’язувати задачі на застосування властивостей арифметичної прогресії.

Обчислімо різницю арифметичної прогресії \((d){:}\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1)\) обчислімо найменший додатний член прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9+(-0{,}7)(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9-0{,}7n+0{,}7\gt 0;\\[7pt] -0{,}7n\gt -2{,}9-0{,}7;\\[7pt] -0{,}7n\gt -3{,}6;\\[7pt] n\lt -3{,}6:(-0{,}7)\approx 5{,}14;\\[7pt] n\lt 5{,}14. \end{gather*}

Отже, номер найменшого додатного члена прогресії \(n=5.\)

Обчислімо п`ятий член цієї прогресії:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про вписані кути в колі та вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника.

За умовою \(AB=BC\), тож трикутник \(\Delta ABC\) – рівнобедрений. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні: \(\angle BAC=\angle BCA.\)

Сума кутів трикутника – \(180^\circ.\) Отже,

Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Оскільки \(\angle BCA=80^\circ\) і він спирається на дугу \(\overset{\smile}{AB}\), то сама дуга вдвічі більша:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

З першого рівняння виразімо добуток \(xy{:}\)

Підставмо отриманий вираз у друге рівняння:

\begin{gather*} 2x+3=2x-y+11;\\[7pt] 2x-2x+y=11-3;\\[7pt] y=8. \end{gather*}

Підставмо \(y=8\) в перше рівняння:

\begin{gather*} 8x=2x+3;\\[7pt] 8x-2x=3;\\[7pt] 6x=3;\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

\((0{,}5; 8)\) – розв'язок системи.

Обчислімо добуток:

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=0{,}5\cdot 8=4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

А також властивість степенів:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формули для обчислення бічної поверхні циліндра й уміння її застосовувати.

Площу бічної поверхні циліндра обчислімо за формулою:

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти циліндра \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m\cdot a^n=a^{m+n};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi R\cdot R=2\pi R^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного в трикутник кола й проведених до кола з однієї точки відрізків дотичних.

I. Трикутник \(AOK\) прямокутний.

Точка \(K\) – це точка дотику кола до сторони \(AB.\) За властивістю дотичної радіус \(OK\), проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до цієї дотичної \((OK\!\perp\!AB).\) Оскільки \(\angle OKA=90^\circ\), трикутник \(AOK\) прямокутний. Твердження правильне.

II. Трикутник \(BKL\) рівнобедрений.

Відрізки \(BK\) та \(BL\) – відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки \(B\). За властивістю дотичних ці відрізки рівні між собою \((BK=BL).\) Оскільки дві сторони трикутника рівні, то \(\Delta BKL\) рівнобедрений. Твердження правильне.

III. Трикутники \(MOK\) і \(LOC\) рівні.

У трикутнику \(MOK\) сторони \(OM\) та \(OK\) – це радіуси кола \((OM=OK).\) У трикутнику \(LOC\) одна зі сторін – радіус \(OL\), а сторона \(OC\) з'єднує центр із вершиною трикутника.

\(\Delta MOK\) завжди рівнобедрений (бо сторони – радіуси), а \(\Delta LOC\) – прямокутний \((\angle OLC=90^\circ).\) Вони мають різну форму та розміри. Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати розташування графіка функції в координатних чвертях.

Оскільки за умовою значення \(y\) завжди додатне, графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Функція визначена на всій числовій прямій, \(x\in (-\infty; +\infty)\), тож графік обов'язково буде і в тій зоні, де \(x\gt 0\) (це I чверть), і в тій зоні, де \(x\lt 0\) (це II чверть).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння піднести до квадрата вираз, що містить ірраціональне число.

Для розв’язання завдання треба знати властивість арифметичного квадратного кореня й означення модуля:

\begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|; \\[7pt] |a|=\left\{\begin{array}{l} a, \quad \text{якщо } a \ge 0; \\ -a, \quad \text{якщо } a < 0; \end{array}\right. \\[7pt] 3 \cdot \sqrt{(-3)^2} = 3 \cdot |-3| = 3 \cdot 3 = 9. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками у просторі та властивостей сфери.

Сфера – це множина точок, віддалених від центра на однакову відстань – радіус \((R).\)

Якщо сфера із центром у точці \(O\) проходить через точку \(A\), то відстань між цими точками – радіус сфери:

\(R=OA.\)

За формулою відстані між двома точками \(M_1\ (x_1; y_1; z_1)\) та \(M_2\ (x_2; y_2; z_2)\) простору:

Підставмо координати точок \(O\ (-2; -4; 3)\) та \(A\ (3; -1; 2){:}\)

Отже, радіус сфери \(R=\sqrt{35}.\)

Щоб обчислити діаметр (\(D\)), треба помножити радіус на \(2{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання формули середньої лінії трапеції.

Середня лінія трапеції – це відрізок, який сполучає середини її бічних сторін.

За властивістю середньої лінії трапеції:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Квадратні нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Для розв’язання квадратної нерівності використаймо ескіз графіка квадратичної функції \(y=ax^2+bx+c.\) Для побудови ескізу достатньо знати, куди напрямлені вітки параболи – вгору \((a\gt 0)\) чи вниз \((a\lt 0)\), та абсциси точок перетину з віссю \(Ox:\)

Отже, вітки параболи напрямлені вгору.

Розв’яжімо рівняння \(x^2-9=0.\)

Розкладімо на множники за формулою різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b);\\[7pt] (x-3)(x+3)=0;\\[7pt] x_1=3\ \text{та}\ x_2=-3.\end{gather*}

Це – нулі функції \(y=x^2-9.\)

Побудуймо ескіз графіка функції.

\begin{gather*} x\in\ (-3; 3). \end{gather*}

З наведених чисел лише число \(2\in (-3; 3).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Треба знайти залу, яку відвідало найбільше глядачів, тобто відшукати найвищий стовпчик на графіку.

А Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\)
Б Блакитна зала: стовпчик сягає позначки \(40.\)
В Жовта зала: стовпчик сягає позначки \(35.\)
Г Зелена зала: стовпчик сягає позначки \(20.\)
Д Фіолетова зала: стовпчик сягає позначки \(45.\)

Отже, найбільше глядачів відвідало білу залу:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Покупець хоче якнайдешевше придбати \(80\) ручок. Має два варіанти:

• \(1\) ручка – \(5\) грн;
• набір із \(3\) ручок – \(10\) грн.

Що вигідніше?

Якщо купити \(3\) ручки окремо:

А набір із \(3\) ручок коштує \(10\) грн, тобто дешевше на \(5\) грн.

Отже, вигідніше максимально купувати наборами, а не по одній ручці.

Обчислімо кількість повних наборів, які можна придбати в межах потрібної кількості ручок:

\begin{gather*} 80:3=26\ (\text{остача}\ 2). \end{gather*}

Отже, покупець може купити \(26\) наборів, а ще \(2\) ручки йому доведеться докупити окремо.

Обчислімо вартість:

\(26\) наборів: \(26\cdot 10=260\) грн.

\(2\) ручки окремо: \(2\cdot 5=10\) грн.

\begin{gather*} 260+10=270\ \text{грн}. \end{gather*}

Чому невигідно купувати всі ручки по \(5\) грн?

Бо вартість покупки буде більшою:

\begin{gather*} 80\cdot 5=400\ \text{грн}. \end{gather*}

А купівля наборами коштуватиме покупцеві \(270\) грн, що значно дешевше.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степеня та вміння виконувати множення одночленів.

Для розв’язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами. Основу залишмо без змін, а показники додамо:

де \(a\) – будь-яке число, \(n\) і \(m\) – натуральні числа.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння з параметрами, а також досліджувати їхні властивості за допомогою теореми Вієта.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У завданні:

\begin{gather*} x_1+x_2=2m-2;\\[7pt] x_1\cdot x_2=4m-3. \end{gather*}

За теоремою Вієта та умовою завдання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=2m-2,\\ x_1=x_2+4,\\ x_1\cdot x_2=4m-3. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо \(x_1=x_2+4\) у перше рівняння системи:

\begin{gather*} x_2+4+x_2=2m-2;\\[7pt] 2x_2=2m-2-4;\\[7pt] 2x_2=2m-6;\\[6pt] x_2=\frac{2m-6}{2}=\frac{2(m-3)}{2};\\[6pt] x_2=m-3. \end{gather*}

Тепер визначмо \(x_1{:}\)

\begin{gather*} x_1=x_2+4=m-3+4=m+1. \end{gather*}

Підставмо ці значення в рівняння \(x_1\cdot x_2=4m-3{:}\)

\begin{gather*} (m+1)\cdot (m-3)=4m-3;\\[7pt] m^2-3m+1m-3-4m+3=0;\\[7pt] m^2-6m=0;\\[7pt] m(m-6)=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} m=0,\\ m=6. \end{array}\right. \end{gather*}

Оскільки за умовою потрібне додатне значення, вибираємо \(6.\)

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння знати властивості піраміди та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Діагональний переріз піраміди – трикутник, що проходить через вершину піраміди та діагональ її основи \((d).\) За умовою трикутник рівносторонній.

Площу рівностороннього трикутника зі стороною \(d\) обчислімо за формулою:

Підставмо значення:

Основа піраміди – квадрат. Діагональ \(d\) ділить його на два прямокутні рівнобедрені трикутники. За теоремою Піфагора:

Площа основи (квадрата):

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення розміщення, уміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

Оскільки порядок книг у комплекті не має значення, для розрахунків застосуймо формулу комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Кількість способів вибрати \(2\) збірники з \(8{:}\)

Кількість способів вибрати \(3\) науково-популярні книжки з \(10{:}\)

Оскільки треба вибрати і збірники, і науково-популярні книжки одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 28\cdot 120=3360. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(3360.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\) перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:
\(a_1=6\) (кількість ієрогліфів у перший день);
\(d=2\) (на стільки більше він вивчає кожного наступного дня);
\(n=25\) (кількість днів).

Для обчислення загальної кількості ієрогліфів за \(n\) днів використаймо формулу суми перших \(n\) членів і формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: \(750.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, центральні кути, дуги.

1. \(\overset{\smile}{CB}.\) Оскільки \(AB\) — це діаметр, він ділить коло навпіл. Отже, вся дуга \(ACB\) (півколо) дорівнює \(180^\circ.\)

Отже, правильна відповідь — B.

2. \(\angle CKA.\)

Радіус \(OC\), проведений у точку дотику \(C\), завжди перпендикулярний до дотичної \(CK.\)

Тобто \(\angle OCK=90^\circ.\) Кут \(\angle COB\) є центральним кутом, що спирається на дугу \(\overset{\smile}{CB}.\)

Його величина дорівнює градусній мірі дуги: \(\angle COB=\overset{\smile}{CB}=50^\circ.\) У прямокутному трикутнику \(\Delta OCK\) сума гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

Отже, правильна відповідь — Б.

3. \(\angle ABC.\)

Кут \(\angle ABC\) є вписаним кутом, що спирається на дугу \(\overset{\smile}{AC}.\) Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається.

Отже, правильна відповідь — Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій, заданих формулою.

Побудуймо задані графіки функцій.

1.

Оскільки графіком функції \(y=x^2-2\) є парабола з вершиною в точці \((0; -2)\), вітки якої напрямлені вгору, то вона двічі перетинає графік прямої \(y=3.\) Отже, правильна відповідь – Г.

2.

\(y=3^x.\) Показникова функція вигляду \(a^x\) завжди набуває лише додатних значень \((y\gt 0)\) за будь-яких \(x.\) Отже, правильна відповідь – Б.

3.

\(y=x^3\) – це кубічна парабола. Якщо \(x=0\), \(y=0^3=0\), то графік проходить через початок координат – точку \((0; 0).\) Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, логарифмічними виразами, порівнювати числа.

1. \(\pi\approx 3{,}14\)

Число \(1{,}57\) належить проміжку \([1; 2).\) Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\sin \pi=0\)

Число \(0\) належить проміжку \([0; 1).\) Отже, правильна відповідь – В.

3. За властивістю степеня:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

За властивістю логарифма:

Число \(-1\) належить проміжку \([-1; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою \(O\) навпіл, трикутник \(\Delta AOB\) – рівнобедрений. Оскільки кут при вершині \(\angle AOB=60^\circ\), то кути при основі також по \(60^\circ\ ((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ).\) Отже, трикутник \(ABO\) – рівносторонній.

Оскільки \(AO\) — це половина діагоналі, то вся діагональ

\begin{gather*} AC=4\cdot 2=8\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).\) Гіпотенуза \(AC=8\) см і катет \(AB=4\) см. За теоремою Піфагора визначмо довжину сторони \(BC{:}\)

Обчислімо площу прямокутника \(ABCD{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\mathrm{tg}\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) має загальний розв’язок:

Розгляньмо значення \(n\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(n=0\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\in [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо \(n=1\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо \(n=-1\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{5\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

Перепишімо перший доданок:

Тепер функція має вигляд:

\begin{gather*} f(x)=4\cdot x-3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}. \end{gather*}

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різницею векторів \(\overrightarrow{a}\ (x_1; y_1; z_1)\) i \(\overrightarrow{b}\ (x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{:}\)

Щоб знайти координати різниці двох векторів, потрібно від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \overrightarrow{a}\ (3; 1; -4);\\[7pt] \overrightarrow{b}\ (-8; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-8-3; 0-1; 2-(-4));\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 2+4);\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 6). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Розв'язання:

$$\frac{\sin 2\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}.$$

Під час розв'язання застосовано:

• формулу подвійного аргумента: \(\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha;\)

• означення тангенса та котангенса: \(\mathrm{tg}\ \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

І. Пряма, що проходить через центр кола, містить діаметр кола. Отже, має з ним дві спільні точки. Твердження правильне.

ІІ.

\(AB \perp CD.\ \Delta COD\) – рівнобедрений, \(OC=OD.\) Отже, висота \(OK\), проведена до основи, є медіаною. Отже, \(K\) – середина хорди \(CD.\) Твердження правильне.

ІІІ.

Діаметри кола проходять через центр кола, тобто завжди мають спільну точку. Твердження неправильне.

Правильні твердження лише І та II.

Відповідь: Б.