ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа бічної поверхні циліндра. Площа сфери.

Це завдання є завданням з практичним змістом. Воно перевіряє вміння знаходити площу поверхні, утвореної обертанням відрізка та чверті кола навколо заданої осі, використовуючи формули площі бічної поверхні циліндра та площі сфери.

Площа активної поверхні світлодіодної лампи, зображеної на рисунку, є сумою площі бічної поверхні циліндра та площі півсфери. Площу бічної поверхні циліндра, утвореного обертанням відрізка \(AB\) навколо осі \(l\), обчислюємо за формулою $$ S = 2\pi Rh. $$ У нашому випадку діаметр \(2R = 3\) см, отже \(R = 1{,}5\) см, висота циліндра \(h = 5 - 1{,}5 = 3{,}5\) см. Підставивши ці значення у формулу, маємо $$ S = 3 \cdot 3{,}5\pi = 10{,}5\pi\ \text{см}^2. $$

Площу півсфери, утвореної обертанням чверті кола \(BC\) навколо осі \(l\), обчислюємо за формулою

Тоді площа активної поверхні лампи дорівнює

Отже, найближчою до точної є відповідь \(48\) см\(^2.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні. Похідна від складеної функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну від складеної функції.

За означенням, якщо \(f(g(x))\) – складена функція і існують похідні функції \(g(x)\) у точці \(x\), а функції \(f(u)\) – у відповідній точці \(u = g(x)\), то існує похідна складеної функції \(f(g(x))\), причому $$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x). $$

Тоді

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Розв’яжемо нерівність методом інтервалів. Для цього перенесемо всі вирази у ліву частину нерівності: $$ (x + 4)(x - 8) - 3(x - 8) \gt 0 $$ і винесемо за дужки спільний множник \((x - 8).\) Отримаємо: \begin{gather*} (x - 8)((x + 4) - 3) \gt 0,\\[7pt] (x - 8)(x + 1) \gt 0. \end{gather*}

Визначимо нулі функції $$ y = (x - 8)(x + 1), $$ тобто корені рівняння $$ (x - 8)(x + 1) = 0. $$ Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю: \begin{gather*} x - 8 = 0,\\[7pt] x_1 = 8, \\[7pt] x + 1 = 0,\\[7pt] x_2 = -1. \end{gather*}

Позначимо на числовій осі \(x\) нулі \(x_{1} = 8\) та \(x_{2} = -1\) та визначимо знаки виразу \((x - 8)(x + 1)\) на кожному з отриманих проміжків.

Отже, \((-\infty; -1) \cup (8; +\infty)\) – множина розв’язків заданої нерівності.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати дробово-раціональні рівняння зі змінною під знаком модуля.

Задане рівняння рівносильне рівнянню \(|x|= \frac{4}{3}.\)

Геометрично модуль числа – це відстань на координатній прямій від точки, що зображує це число, до початку відліку. На відстані \(\frac{4}{3}\) від початку відліку знаходяться два числа: \(x_{1} = \frac{4}{3}\) і \(x_{2} = -\frac{4}{3}.\) Обидва ці числа і є коренями заданого рівняння.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул перетворень логарифмічних виразів: \begin{gather*} \log_{a} b^{k} = k \cdot \log_{a} b,\\[6pt] \log_{a^{k}} b = \frac{1}{k} \cdot \log_{a} b \end{gather*} та вміння їх використовувати для перетворення логарифмічного виразу.

Застосуємо ці формули:

Оскільки \(\log_{5} 5 = 1\), остаточно отримуємо: $$ \log_{5^{-2}} 5^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{4}\cdot 1 = -0{,}25. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Довжина кола.

Це завдання перевіряє знання формули довжини кола.

Довжина кола \(l\) радіуса \(r\) обчислюється за формулою $$ l = 2\pi r. $$ Оскільки довжина меншого кола дорівнює \(10\pi\) см, то $$ 10\pi= 2\pi r, $$ звідси знаходимо \(r = 5\) см – радіус меншого кола.

Оскільки за умовою задачі радіус більшого кола \(R\) втричі перевищує радіус меншого кола, то $$ R = 3 \cdot 5 = 15\ \text{см}. $$

Точка зовнішнього дотику двох кіл належить відрізку \(O_{1}O_{2}\), тому

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Помітимо, що ця система є лінійною відносно \(2^{x}\) і \(y.\) Застосуємо метод додавання. Від першого рівняння системи віднімемо почленне друге рівняння:

Звівши подібні доданки, отримаємо: \(4y = -28,\) звідси \(y = -7.\)

Підставимо отримане значення \(y = -7\) в будь-яке з рівнянь системи, наприклад, у перше: $$ 3 \cdot (-7) + 2^{x} = -13, $$ звідси \begin{gather*} 2^{x} = -13 + 21,\\[7pt] 2^{x} = 8,\\[7pt] x = 3. \end{gather*}

Отже, \((3; -7)\) – розв’язок системи. Тоді $$ x_{0} + y_{0} = 3 + (-7) = -4. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє знання графіків елементарних функцій.

З рисунка видно, що шукана функція на проміжку \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right)\) зростає, пряма \(x = \frac{\pi}{2}\) є вертикальною асимптотою (на рисунку позначена пунктирною лінією), графік функції не перетинає цю пряму. Крім того, графік функції проходить через початок координат. Розглянемо наведені функції:

А: \(y = \mathrm{ctg}\ x\) – графік цієї функції не проходить через початок координат, на проміжку \(\left(0;\, \frac{\pi}{2}\right)\) функція спадає, в точці \(x = 0\) не існує.

Б: \(y = 2^{x}\) – графік цієї функції не проходить через початок координат, оскільки \(0\ne 2^0=1\), крім того перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}.\)

В: \(y = x^{2}\) – графік цієї функції (парабола) перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}.\)

Г: \(y =\frac{\pi}{2}x\) – графік цієї функції (пряма) перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}.\)

Отже, варіанти А – Г не задовольняють умову завдання.

Д: \(y=\mathrm{tg}\ x\) – графік цієї функції проходить через початок координат, не перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}\), оскільки в цій точці не існує значення функції \(y = \mathrm{tg}\ x.\) Функція зростає на заданому проміжку. Отже, на рисунку зображено фрагмент графіка функції \(y = \mathrm{tg}\ x.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Об’єм конуса.

Це завдання перевіряє вміння знаходити об’єм конуса.

$$ V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h, $$ де \(R\) – радіус основи конуса, \(h\) – висота конуса.

За умовою, діаметр основи конуса дорівнює \(6\) см, відповідно радіус кола дорівнює половині його діаметра, тобто $$ R = \frac{d}{2} = 3\ \text{см}. $$

Підставимо отримані дані у формулу: $$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^{2} \cdot 4 = 12\pi\ \text{см}^3. $$

Відповідь: A.