ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, уміння визначати їхні числові значення.

Функція \(y=\sin x\) періодична з найменшим додатним періодом \(T=2\mathbf{\pi}.\) За означенням періодичної фукнції:

Застосували формулу \(\operatorname{tg}\ (180^\circ-\mathbf{\alpha})=-\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.\)

Отже,

Відповідь: B.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=7x+4\) – графік функції перетинає вісь \(y\) у точці з ординатою \(4.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(y=-\frac 7x\) – функція непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=\log_{0\mathord{,}1}(x-4)\) – логарифмічна функція \(y=\log_a x\) спадна на всій області визначення, якщо \(a\in (0; 1).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Дійсні числа. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів, логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення їх.

1. \(\frac{m}{4}=1\), \(m=4.\)

Отже, правильна відповідь – B.

2.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(\log_{16}2+\log_{16}m=\log_{16}(2m)=1.\)

За властивістю логарифмів: $$ \log_ab+\log_ac=\log_a(bc). $$

За означенням логарифма:

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, властивості середньої лінії трикутника, уміння обчислювати площі трикутників, многокутників.

1. \(\Delta ABD\) – прямокутний із катетами \(AB=6\) см і \(AD=8\) см.

Правильна відповідь – B.

2. \(OM\ \perp\ AD.\) За властивістю прямокутника: \begin{gather*} AC=BD,\\[7pt] BO=OD=AO=OC. \end{gather*}

У \(\Delta ABD\) \(OM\) – середня лінія, тому

Правильна відповідь – A.

3.

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної, обчислювати похідні функцій.

За геометричним змістом похідної, \(f'(x_0)=k.\)

Похідна функції в точці – це кутовий коєфіцієнт дотичної до графіка в точці \(x_0.\)

За умовою, дотична до графіка функції в точці \(x_0=3\) паралельна прямій \(y=1\mathord{,}5x+5.\) Паралельні прямі мають рівні кутові коєфіцієнти. Отже, $$ f'(x_0)=f'(3)=1\mathord{,}5. $$

Похідна

Відповідь: \(-3\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила добутку.

Кількість варіантів вибрати з \(9\) учнів і \(12\) учениць першого класу (всього \(21\) особа) одну дитину: $$ C_{21}^1=21. $$

Кількість варіантів вибрати з \(10\) учнів одного: $$ C_{10}^1=10, $$ а з \(8\) учениць одну: $$ C_8^1=8. $$

Оскільки вибір незалежний, вибрати \(1\) учня й \(1\) ученицю з одинадцятого класу можна \begin{gather*} 10\cdot 8=80 \end{gather*} варіантами.

Вибір одного першокласника та вибір учня разом з ученицею з одинадцятого класу не впливають один на одного, тобто є незалежними подіями. Тому загальну кількість можливостей визначаємо за комбінаторним правилом добутку: \begin{gather*} 80\cdot 21=1680 \end{gather*} варіантів.

Відповідь: \(1680.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\) – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\(KP\ \perp\ DC\) – апофема піраміди (висота бічної грані). \(KO\ \perp\ (ABC)\), \(KP\) – похила на площину основи, \(OP\) – проєкція похилої \(KP.\) Звідси, \(\angle KPO=45^\circ\) – це кут між прямою \(KP\) і площиною основи.

У \(\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)\), \(\angle P=45^\circ\), тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

\(\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).\) \(AD=DC\), \(AC=18\sqrt{2}\) см. За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(972.\)

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметром.

Зробімо заміну: \(\sqrt{5x-a}=t\ge 0\), тоді \(5x-a=t^2.\)

Розв'яжімо квадратне рівняння відносно \(t{:}\)

Сума коренів:

Отже, за \(a=-0\mathord{,}875\) сума коренів рівняння дорівнює \(1\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(-0\mathord{,}875.\)

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Диню розрізали на \(6\) рівних частин. Кожна із цих частин становить \(\frac 16\) від усієї дині.

Якщо з'їли \(2\) частини, то залишилося \(4.\) Вони становлять $$ \frac 46=\frac 23 $$ від усієї дині.

Відповідь: А.