ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

ОДЗ:

Використаємо властивість коренів:

\(x = 5\) – корінь рівняння незалежно від параметра \(a.\)

Для того, щоб рівняння мало два корені, необхідно, щоб \(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) мало один корінь, який не збігається з \(x = 5.\)

\(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) піднесемо до квадрата обидві частини рівняння: \begin{gather*} x + x - 4 + 2\sqrt{x(x - 4)} = a,\\[7pt] 2\sqrt{x(x - 4)} = a + 4 - 2x. \end{gather*}

Ліва частина рівняння невід'ємна, тому й права частина повинна бути невід'ємною. Отже,

З урахуванням ОДЗ:

Найменше ціле значення параметра \(a\), при якому початкове рівняння має два корені при \(a \gt 6 + 2\sqrt{5}\)
\(6 + 2\sqrt{5} \approx 10{,}5.\) Отже, \(a = 11.\)

Відповідь: \(11.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об’ємів многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – призма, \(BB_1\) – висота призми. \(AC = 17\) см.

1. \((AB_1C) \cap (AA_1B_1) = AB_1\), \((AB_1C) \cap (BCC_1) = B_1C\). Отже, \(\Delta AB_1C\) – даний переріз.

2. \(BO\!\perp\!AC\) (властивість діагоналей ромба). \(B_1O\!\perp\!AC\) (за теоремою про три перпендикуляри). \((BOB_1)\!\perp\!AC.\) Отже, \(\angle B_1OB = \alpha\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((AB_1C)\) і \((ABC).\)

3. \(\Delta B_1BO\) \((\angle B = 90^\circ)\),

4.

За умовою, \(V = 1020\ \text{см}^3.\) Отже,

5. \(BB_1 = 1{,}2BD = 1{,}2 \cdot 10 = 12\) см.

6. \(\Delta B_1BO\) \((\angle B = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(110{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу криволінійної трапеції знаходимо за допомогою визначеного інтеграла. За умовою площа дорівнює \(40\) кв.од. Отже,

Розв'яжемо рівняння:

Нехай

За умовою \(a \gt 0,\) тому \(a = 4.\)

Відповідь: \(4.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику, теореми Піфагора, властивостей трапеції.

\(AC\!\perp\!CD.\) Проведемо \(CK\!\perp\!AD.\)

\(ABCK\) – прямокутник,

\(\Delta ACD\) \((\angle C = 90^\circ)\) за властивістю висоти, проведеної до гіпотенузи:

\(\Delta ACK\) \((\angle K = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Імовірність обрати старосту з першої групи – \(\dfrac{1}{20}\), а з другої – \(\dfrac{1}{25}.\)

Імовірність того, що учасниками заходу будуть обрані обидва старости (подія \(A\)), знаходимо за правилом добутку ймовірностей:

Відповідь: \(0{,}002.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення. Означення та властивості логарифма.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифма, вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

За формулою переходу до нової основи знаходимо:

Відповідь: \(1{,}6.\)