ТЕМА: Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмів.

За властивістю логарифмів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростімо за формулами:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

1. \(\sqrt[3]{-27}=-3.\)
\(-3\) – є цілим від'ємним числом. Отже, правильна відповідь – A.

2. \( \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}}=\frac{\sqrt{4\cdot 3}}{\sqrt{100\cdot 3}}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{100}\cdot \sqrt{3}}=\frac{2}{10}=\frac 15. \)
\(\frac 15\) є раціональним нецілим числом. Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=4x+7\) – це лінійна функція, яка зростає на всій області визначення.

\(y=kx+b\), якщо \(k\gt 0\) функція зростає, а якщо \(k\lt 0\) – спадає.

На проміжку \([-2; 6]\) найменше значення функції за \(x=-2.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(y=x^2+1\) – квадратична функція. Найменшого значення функція набуває за \(x=0.\) $$ y(0)=0^2+1=1. $$

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(y=2^{x+5}\) – показникова функція. Вона зростає на всій області визначення.

На проміжку \([-2; 6]\) найменшого значення функція набуває за \(x=-2.\) $$ y(-2)=2^{-2+5}=2^3=8. $$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, середньої лінії трапеції, рівностороннього трикутника.

\(ABCD\) – ромб, \(\Delta DCK\) – рівносторонній, \(CD=DK=CK=8.\) \(MN\) – середня лінія.

1. Висота \(CH\) трикутника \(CDK\) – це висота ромба \(ABCD.\)

У \(\Delta CHK\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Г.

2. \(\Delta DCK\) – рівносторонній, \(CK=CD=DK=8\), \(\angle C=\angle D=\angle K=60^\circ.\)

\(BC\ ||\ DK\), \(CD\) – січна. \(\angle KDC=\angle DCB=60^\circ\) як внутрішні різносторонні.

У ромбі \(ABCD\) гострий кут \(C\) дорівнює \(60^\circ.\) \(\Delta CBD\) – рівносторонній, тому \(BC=CD=BD=8.\) Менша діагональ ромба \(BD=8.\)

Правильна відповідь – Б.

3.\(BC=8\), \(AK=AD+DK=8+8=16.\)

Середнія лінія

Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідні функцій, похідну суми двох функцій, визначати способи задання функцій.

\(f(-4)=10\), тому що \(x=-4\lt-2.\)

При \(x=2\mathord{:}\)

Відповідь: \(-9.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Дарина має \(4\) різні листівки і \(2\) кольори конвертів. Кожну листівку можна використати лише один раз (бо їх усього \(4\) штуки).

Оскільки адресатів чотири і вибір для кожного є незалежним, кількість способів роздати \(4\) листівки \(4\) різним адресатам обчислюємо за формулою перестановок:

Для кожного з \(4\) адресатів є два варіанти конверту (жовтий/синій), незалежно, тобто маємо \(2^4=16.\)

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(384.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площі поверхні конуса.

Задано конус із бічною поверхнею \(260\pi.\)

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\pi RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)

У прямокутному \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ).\) \(MO\) – медіана до гіпотенузи.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи: \(MO=\frac 12AB.\) \(MO=13\), тому \(AB=26.\)

Об'єм конуса $$ V=\frac 13\pi R^2H. $$ Висоту \(AO=H\) визначаємо з \(\Delta AOB\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(800.\)

ТЕМА: Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

Прирівняймо чисельники рівних дробів:

\(x_1=6\mathord{,}5\) не буде коренем рівняння за умови:

Рівняння має один корінь \(x_2=-3.\)

\(x_2=-3\) не буде коренем рівняння за умови, що

Рівняння має один корінь \(x_1=6{,}5.\)

Отже, рівняння має один корінь за \(a=19\mathord{,}5\) або \(a=-9.\)

У відповіді запишімо їхню суму: $$ 19\mathord{,}5+(-9)=10\mathord{,}5. $$

Відповідь: \(10\mathord{,}5.\)