ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння з параметрами.

Знайдемо ОДЗ: \(x \gt 0\).

Зробимо заміну \(\log_2 x = t\). Отримаємо:

\begin{gather*} t^2 - (2a^2 - a)t + 1 - 2a = 0. \end{gather*}

Якщо \(x_1\), \(x_2\) – корені рівняння та \(x_1 \cdot x_2 = 8\), то прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою \(2.\)

Але корені \(t_1\) та \(t_2\) повинні існувати, а це виконується за умови

\begin{gather*} D = (2a^2 - a)^2 - 4(1 - 2a) \ge 0.\\[7pt] D = (2a - 1)(2a^3 - a^2 + 4) \ge 0. \end{gather*}

За теоремою Вієта сума коренів \(t_1 + t_2 = 2a^2 - a = 3.\)

\begin{gather*} 2a^2 - a - 3 = 0;\\[7pt] D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25;\\[6pt] a_1 = \frac{1 + 5}{4} = 1{,}5;\\[6pt] a_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1. \end{gather*}

Перевіримо, при яких значеннях \(a\) дискримінант буде невід’ємним:

При \(a = -1\)

При \(a = 1{,}5\)

Отже, при \(a = 1{,}5\) рівняння має корені, добуток яких дорівнює \(8\).

Відповідь: \(1{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей призми та кулі, формули об'єму призми, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язування стереометричних задач.

Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) – правильна призма, вписана у сферу. Отже, основи призми – правильні трикутники \(ABC\), \(A_1B_1C_1\) вписані у кола.

Точка \(O\) – центр сфери. Проведемо \(OO_1\!\perp\!(ABC)\), \(ON\!\perp\!BB_1.\)

Точка \(O_1\) – центр кола, описаного навколо \(\Delta ABC.\)

\(ONBO_1\) – прямокутник.

За умовою \(\angle OBN=30^\circ.\) Отже, \(\angle OBO_1=60^\circ.\) Точка \(N\) – середина ребра \(BB_1.\) \(OB=6\) см.

У \(\Delta OBO_1\ (\angle O_1=90^\circ)\),

\begin{gather*} O_1B=OB\cos 60^\circ=6\cdot \frac 12=3\ \text{см};\\[6pt] OO_1=OB\sin 60^\circ =6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta ABC\ O_1B=3\) см – радіус описаного кола, отже,

\begin{gather*} AB=R\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \end{gather*} де \(a=AB\) – сторона правильного трикутника.

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] BB_1=2OO_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=S_\text{осн.}\cdot H,\ \text{де}\\[6pt] S_\text{осн.}=S_{ABC}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] H=BB_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=\frac{27\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{4}=\frac{243}{2}=121{,}5\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(121{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння та нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

Нехай громадянин узяв \(x\) грн під \(12\ \%\), а \(y\) грн під \(15\ \%.\)

Нарахована сума відсотків становить \(654\) грн, тому

Всього отримано \(5000\) грн у двох банках, тому

Складемо систему рівнянь:

Підставимо значення \(x\) у перше рівняння

Громадянин узяв під більші відсотки (\(15\ \%\)) \(1800\) гривень.

Відповідь: \(1800.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, властивостей прямокутника.

\(MB = 100\) км, \(KM = 120\) км, \(AK = 60\) км. Додаткова побудова: \(BC\!\perp\!AK.\)

Отримали \(\Delta ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)), \(KC = MB = 100\) км,

За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(200.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Всього \(10\) цифр: \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\).

Для того, щоб перша цифра двоцифрового числа була парною, існує \(4\) способи (\(2\), \(4\), \(6\), \(8\)), а щоб друга цифра непарною – \(5\) способів (\(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\)).

Отже, використовуючи комбінаторне правило множення, отримаємо:

\begin{gather*} 4 \cdot 5 = 20\ \text{способів}. \end{gather*}

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше значення функції за допомогою похідної:

\begin{gather*} y = 12x - x^3,\ x \in [0; 3]. \end{gather*}

Найбільше значення функції знаходимо за допомогою похідної:

\begin{gather*} y' = 12 - 3x^2. \end{gather*}

Знаходимо критичні точки: \(y' = 0{:}\)

\begin{gather*} 12 - 3x^2 = 0;\\[7pt] 3(4 - x^2) = 0;\\[7pt] 3(2 - x)(2 + x) = 0. \end{gather*}

\(x = 2\), \(x = -2\) – критичні точки.

Відрізку \([0; 3]\) належить лише \(x = 2.\) Знаходимо значення функції на кінцях відрізку та у критичній точці:

\begin{gather*} y(0) = 12 \cdot 0 - 0^3 = 0;\\[7pt] y(3) = 12 \cdot 3 - 3^3 = 36 - 27 = 9;\\[7pt] y(2) = 12 \cdot 2 - 2^3 = 24 - 8 = 16;\\[7pt] {\mathrm{max}_{[0;3]} f(x)}=f(2) = 16. \end{gather*}

Відповідь: \(16.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Знайдемо ОДЗ:

\begin{gather*} \begin{cases} x - 2 \ge 0, \\ 2x + 1 \ge 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x \ge 2, \\ x \ge -0{,}5. \end{cases}\\[7pt] x \in [2; +\infty). \end{gather*}

Піднесемо до квадрату обидві частини рівняння:

\begin{gather*} (x - 2)(2x + 1) = 3;\\[7pt] 2x^2 + x - 4x - 2 - 3 = 0;\\[7pt] 2x^2 - 3x - 5 = 0;\\[7pt] D = 9 - 4 \cdot 2(-5) = 49;\\[6pt] x_1 = \frac{3 + 7}{4} = 2{,}5;\\[6pt] x_2 = \frac{3 - 7}{4} = -1 \notin\ \text{ОДЗ}. \end{gather*}

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Якщо \(a = 1{,}1\); \(b = 0{,}8\), то

Відповідь: \(-9.\)