ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння спрощувати тригонометричні вирази й визначати належність результату до числового проміжку.

Запишімо \(4\) як добуток: \begin{gather*} 2\cdot 2. \end{gather*}

З другого і третього доданка винесімо спільний множник 2 за дужку:

Використаймо формулу синуса подвійного аргумента:

Використаймо основну тригонометричну тотожність:

За формулами зведення:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Системи нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи нерівностей, які містять дробово-раціональну і лінійну нерівності.

Розв’яжімо нерівності системи й визначмо перетин розв’язків.

\(\frac{x-2}{x+3}\ge 0.\)

Запишімо ОДЗ: знаменник не може дорівнювати нулю:

Використаймо метод інтервалів, для цього перенесімо знаменник у чисельник:

Визначмо нулі лівої частини нерівності, для цього ліву частину прирівнюймо до нуля:

Добуток двох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із цих множників дорівнює нулю. Тому прирівнюємо кожен множник до нуля:

Накреслімо числову пряму, на якій точками позначмо обчислені нулі лівої частини нерівності: \(2\), \(-3.\)

Зауважмо: нерівність нестрога, тож точку, якою позначено на прямій значення \(2\), зафарбовуємо. За ОДЗ \(x\) не може дорівнювати значенню \(-3\), тому точку, яка його позначає на прямій, буде виколото.

Визначмо знаки на проміжках, які утворилися внаслідок розбиття числової прямої нулями лівої частини нерівності. Ліва частина нерівності була більшою за нуль, тому в розв’язку першої нерівності системи запишімо проміжки, на яких ліва частина нерівності набуває додатних значень:

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1.\) Зауважмо: якщо множимо нерівність на від’ємне число, то знак нерівності змінюємо на протилежний:

Отже, розв’язком цієї нерівності буде проміжок \([2; +\infty).\)

Позначмо на числовій прямій розв’язки обох нерівностей і визначмо їхній перетин:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, використовуючи перетворення графіків функцій.

1. Схематично зобразімо графік логарифмічної функції: \(y=log_a x\), основа якої більша за одиницю, отже, графік зростаючий. За умовою, перед усією функцією \(y=\log_3 x\) стоїть мінус, отже, графік відбивається симетрично відносно осі \(x.\) Отриманий графік лежить у першій і четвертій чвертях. Отже, правильна відповідь Г.

2. Зобразімо функцію \(y=|x|.\) За умовою, перед усією функцією \(y=|x|\) стоїть мінус, отже, графік відбивається симетрично відносно осі \(|x|.\) Оскільки до всієї функції \(y=-|x|\) додаємо \(4\), то паралельно переносимо графік функції \(y=-|x|\) на \(4\) одиниці вгору відносно осі \(y.\) Отриманий графік лежить в усіх чвертях. Отже, правильна відповідь Д.

3. Розкриймо дужки: \(-(x^2+2)=-x^2-2.\) Зобразімо функцію \(y=-x^2\) – це парабола вітками донизу. Оскільки від усієї функції \(y=-x^2\) віднімаємо \(2\), то паралельно переносимо графік функції \(y=-x^2\) на \(2\) одиниці вниз відносно осі \(y.\) Отриманий графік лежить у третій і четвертій чвертях. Отже, правильна відповідь В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні, показникові вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння спрощувати вирази й виконувати обчислення після підставлення значення.

Підставмо \(2\) в значення кожного виразу.

1. \(\frac 2a=2.\)

Представмо у вигляді дробу праву частину виразу, для цього допишімо в знаменнику \(1{:}\) \begin{gather*} \frac 2a=\frac 21. \end{gather*}

Визначмо \(a{:}\) оскільки чисельники дробів однакові, то, щоб ці дроби були рівними, мають бути однаковими і їхні знаменники: \begin{gather*} a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь B.

2. \(16^a=2.\)

Перепишімо ліву частину виразу: \begin{gather*} 16^a=(2^4)^a=2^{4a};\\[7pt] 2^{4a}=2^1. \end{gather*}

Оскільки основи однакові в обох частинах, можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} 4a=1. \end{gather*}

Поділімо обидві частини утвореного рівняння на \(4{:}\) \begin{gather*} a=\frac 14. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь А.

3. \((a-1)^2-a^2=2.\)

Розкриймо дужку за формулою скороченого множення: \begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2;\\[7pt] a^2-2a+1-a^2=2. \end{gather*}

Зведімо подібні доданки: \begin{gather*} -2a+1=2. \end{gather*}

Перенесімо \(1\) праворуч: \begin{gather*} -2a=1. \end{gather*}

Поділімо обидві частини отриманого рівняння на \(-2{:}\) \begin{gather*} a=\frac{1}{-2}=-\frac 12. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості, ознаки трикутників, чотирикутників, круга для розв’язання завдань із планіметрії.

1. Висота трикутника \(ACD\), задана за умовою завдання, дорівнює діаметру заданого півкруга. Обчислімо радіус цього півкруга:

Визначмо площу круга радіуса \(2\sqrt{3}{:}\)

Обчислімо площу половини півкруга радіуса \(2\sqrt{3}\), для цього поділімо обчислену площу круга на \(4{:}\)

Отже, правильна відповідь A.

2. Запишімо формулу висоти в рівносторонньому трикутнику: \begin{gather*} h=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Виразімо за допомогою перехресного множення довжину сторони трикутника \(ACD{:}\)

Обчислімо площу рівностороннього трикутника через висоту:

Отже, правильна відповідь B.

3. Сторона ромба \(DCKL\) дорівнює довжині сторони трикутника \(ACD.\) Висота ромба \(DCKL\) дорівнює довжині висоти трикутника \(ACD.\) Обчислімо площу ромба \(DCKL\) через висоту:

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідну добутку двох функцій, одна з яких складена, визначати числове значення функції та похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Обчислімо значення заданої функції в точці \(x=2\), для цього у функцію замість \(x\) підставмо \(2{:}\)

Визначмо похідну заданої функції за правилом добутку:

Звернімо увагу, що \(g(x)=(2x-1)^3\) – складена функція:

Обчислімо значення знайденої похідної в точці \(x=1\), для цього в похідну замість \(x\) підставмо \(1.\)

Обчислімо суму \(f(2)+f'(1){:}\)

Відповідь: \(116.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати означення ймовірності настання випадкової події для розв’язання практичних завдань.

Імовірність настання події \(A\) можна обчислити за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac mn, \end{gather*} де \(m\) – кількість сприятливих подій, \(n\) – кількість усіх рівноможливих подій.

За умовою, у перших чотирьох рядах є \(32\) місця – це кількість сприятливих подій, адже задано ймовірність, що водію дістанеться місце в першому із чотирьох рядів. Щоб визначити загальну кількість місць на паркувальному майданчику, треба помножити кількість рядів на кількість місць в одному ряді. Відомо, що всього на паркувальному майданчику \(n\) рядів, місць в одному ряді – \(8\), отже, усього \(8n\) місць – це кількість усіх рівноможливих подій, адже автоматична система може видати талон із будь-яким із цих місць.

Імовірність, що першому водієві зранку дістанеться місце в одному з перших чотирьох рядів, обчислімо за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac{32}{8\cdot n}. \end{gather*}

Підставмо відому за умовою імовірність: \begin{gather*} \frac 19=\frac{32}{8n}. \end{gather*}

Для зручності поміняймо частини утвореного рівняння місцями: \begin{gather*} \frac{32}{8n}=\frac 19. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на \(8{:}\) \begin{gather*} \frac{4}{n}=\frac 19. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення й виразімо загальну кількість \(n\) рядів на парковці: \begin{gather*} n=\frac{4\cdot 9}{1}=36. \end{gather*}

Відповідь: \(36.\)

ТЕМА: Геометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, пов'язані з обчислення об'єму циліндра, використовуючи перерізи стереометричних фігур.

Об’єм циліндра обчислімо за формулою: \begin{gather*} V=\pi\cdot R^2_\text{цил}\cdot h. \end{gather*}

З площі поверхні сфери обчислімо радіус сфери:

З умови завдання відомо, що радіус сфери дорівнює стороні квадрата \(ABCD{:}\)

За умовою завдання, у квадрат \(ABCD\) вписано основу циліндра, отже, діаметр основи циліндра дорівнює стороні квадрата:

Обчислімо радіус основи циліндра, поділивши його діаметр на \(2{:}\)

Обчислімо висоту циліндра, вона дорівнюватиме твірній \(GH\), яку можна визначити за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника \(GHE\ (\angle GHE=90^\circ){:}\)

Визначмо об’єм циліндра:

Поділімо знайдений об’єм на \(\pi\), як зазначено в умові завдання:

Відповідь: \(1152.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові, логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати рівняння з параметрами, що містять невідому в показнику степеня і в аргументі логарифма, з'ясовуючи умови існування розв’язку.

Запишімо ОДЗ: аргумент логарифма має бути додатним значенням.

ОДЗ:

Перенесімо \(-11x\) праворуч: \begin{gather*} 4a\gt 11x. \end{gather*}

Поділімо обидві частини нерівності на \(4{:}\) \begin{gather*} a\gt \frac{11x}{4}. \end{gather*}

Перейдімо до розв’язання рівняння. Добуток двох множників дорівнює нулю, коли хоча б один множник рівний нулю.

Запишімо, що перший множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 9^x-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Перепишімо перший доданок:

\begin{gather*} 9^x=(3^2)^x=3^{2x},\\[7pt] 3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Виконаймо заміну. Нехай \(3^x=t\), тоді \(3^{2x}=t^2{:}\)

\begin{gather*} t^2-8t-9=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} t_1+t_2=8,\\ t_1\cdot t_2=-9. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, \(t_1=9\), \(t_2=-1.\)

Повернімося до заміни \(3^x=t\) й замість \(t\) підставмо обчислені значення.

Підставимо \(9{:}\)

\begin{gather*} 3^x=9;\\[7pt] 3^x=3^2;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставимо \(-1{:}\)

\begin{gather*} 3^x=-1. \end{gather*}

\(3^x\) не може дорівнювати від’ємному числу, оскільки значення показникової функції \(y=a^x\) завжди більше за нуль:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Запишімо, що другий множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 5+\ln^2(4a-11x)=0;\\[7pt] \ln^2(4a-11x)=-5. \end{gather*}

Логарифм у степені \(2\) не може дорівнювати від’ємному значенню:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Підставмо обчислений корінь \(x=2\) в ОДЗ:

\begin{gather*} a\gt \frac{11\cdot 2}{4};\\[6pt] a\gt 5{,}5. \end{gather*}

Найменше натуральне значення, яке входить в отриманий проміжок, \(a=6.\)

Відповідь: \(6.\)