ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами й кутами трикутника.

I. У трикутнику навпроти найбільшого кута \((\angle C)\) завжди лежить найдовша сторона \((AB).\) \(AB\) – найдовша сторона трикутника \(ABC.\) Твердження правильне.

II. За умовою \(\angle A\lt \angle B\lt \angle C\), тобто всі кути мають різну градусну міру. Це означає, що трикутник різносторонній. Твердження неправильне.

ІII.

Проведімо висоту \((AH)\) із вершини \(A\) до сторони \(BC.\) Розгляньмо прямокутний трикутник \(AHC\) (де \(\angle H=90^\circ\)). У цьому трикутнику сторона \(AC\) – гіпотенуза, а висота \(AH\) – катет. Оскільки гіпотенуза завжди довша за будь-який катет \((AC\gt AH)\), то висота дійсно менша за сторону \(AC.\) Висота, проведена з вершини \(A\), менша за сторону \(AC.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підставлення, застосовувати основну властивість пропорції.

Спростімо перше рівняння за властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

Підставмо отриманий вираз у друге рівняння системи:

\begin{gather*} 6y-y=30;\\[7pt] 5y=30;\\[7pt] y=6. \end{gather*}

Обчислімо \(x{:}\)

\begin{gather*} x=6\cdot 6;\\[7pt] x=36. \end{gather*}

Отже, розв'язок системи – пара чисел \((36; 6).\)

\begin{gather*} x_0+y_0=36+6=42. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії над ними. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

І спосіб
Спершу з'ясуймо, скільки коштує сир. Для цього помножмо загальну суму витрачених грошей на дріб:

Для обчислення суми, яку Дарина витратила на фрукти, віднімімо від загальної суми витрачених грошей вартість сиру:

II спосіб
Визначмо, яку частину від загальної суми витрачених грошей становить вартість фруктів:

\begin{gather*} 1-\frac 35=\frac 55-\frac 35=\frac{5-3}{5}=\frac 25. \end{gather*}

Обчислімо вартість фруктів:

\begin{gather*} 240\cdot \frac 25=\frac{240\cdot 2}{5}=48\cdot 2=96\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – квадрат різниці:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на \(6{:}\)

Помножмо обидві частини нерівності на \(–1{:}\)

\begin{gather*} x\gt -6. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

Найменше ціле число \(x\) з інтервалу \(x\in (-6; +\infty)\) \(-5.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь.

Проєкція точки \(A\ (-2; 4; -3)\) на вісь \(z\) – точка, у якої абсциса (координата за віссю \(Ox\)) та ордината (координата за віссю \(Oy\)) дорівнюють \(0\), а апліката (координата за віссю \(Oz\)) збігається з аплікатою точки \(A.\)

З-поміж запропонованих варіантів лише точка з координатами \(\ (0; 0; -3)\) лежить на осі \(z.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

За означенням геометричної прогресії \((q)\), кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник прогресії:

Застосуймо формулу \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\[7pt] b_4=2\cdot 3^{4-1}=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння визначати довжину дуги кола.

Точка \(O\) – центр кола. За властивістю вписаного кута \begin{gather*} \angle ACB=\frac 12\angle AOB, \end{gather*} \(O\) – центр кола. Вписаний кут у колі дорівнює половині дуги, на яку він спирається, або половині відповідного центрального кута.

\begin{gather*} \angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Градусна міра дуги \(AB\) дорівнює \(60^\circ.\) За формулою довжини дуги:

де \(L\) – довжина кола, \(n\) – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Тобто

\begin{gather*} 30=\frac{L\cdot 60^\circ}{360^\circ},\\[6pt] 30=\frac L6,\\[6pt] L=30\cdot 6=180\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\in [2; 3].\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2.

Отже, правильна відповідь – В.

3.

Отже, правильна відповідь – Б.

Для спрощення виразу застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.