ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. У прямокутному трикутнику \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) сума гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

\(\angle B+\angle A=90^\circ\), \(\angle B=22^\circ\), тому \(\angle A=90^\circ-22^\circ=68^\circ.\) \(\angle BAC=68^\circ.\)

Отже, 1 – Г.
 

2. За умовою \(AK=KB\), тож трикутник \(AKB\) – рівнобедрений з основою \(AB.\) У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні:

 

Отже, 2 – B.
 

3. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO\) – медіана, \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедреного трикутника, \(KO\) – висота, \(KO\!\perp\!AB.\)

\(\Delta ACB\) – прямокутний, тому центр кола, описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, запишімо функцію \(f(x)\) у зручному вигляді (через степені), скориставшись їхніми властивостями:

Отже, функцію \(y\) можна записати у вигляді:

\begin{gather*} y=-2x^3+10x^{-1}-14. \end{gather*}

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання та табличні значення:

Обчислімо значення похідної, підставивши \(x_0=2\) в отриманий вираз:

Відповідь: \(-26{,}5.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення розміщення, уміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

В Олега було \(5\) справ:

1. Купити продукти.
2. Прибрати.
3. Відвідати спортзал.
4. Підготувати доповідь.
5. Відповісти на лист.

Він має вибрати \(3\) справи, але з однією важливою умовою: прибирання має бути обов'язковим.

Оскільки прибрати – це вже зафіксований вибір (\(1\) справа), треба вибрати ще \(2\) справи з тих, що залишилися.

Тобто треба вибрати \(2\) справи із \(4\) навмання. Для розрахунків застосуймо формулу комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Кількість способів вибрати \(2\) справи із \(4{:}\)

Отже, Олег має \(6\) варіантів вибору трьох справ за умови, що одна з них – прибирання.

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо площу ромба за формулою:

Порівняймо \(20\) та \(8\sqrt{3}.\)

Отже, більша діагональ основи дорівнює \(20.\)

Більша діагональ \(A_1C\) призми утворює прямокутний трикутник \(CAA_1\ (\angle A=90^\circ)\) із більшою діагоналлю основи \((AC=20)\) і висотою призми \((H=AA_1).\)

Оскільки кут нахилу \(30^\circ\ (\angle ACA_1=30^\circ)\), то

Обчислімо об’єм призми:

Відповідь: \(1600.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом і рівняння з параметром.

Розв'яжімо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – рівняння кола із центром у точці \(M(x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

1) \((x-8)^2+(y-6)^2=16\) коло із центром \((8; 6)\) радіуса \(r=4.\)
2) \(x^2+y^2=a\) коло із центром \((0; 0)\) радіуса \(R=\sqrt{a}.\)

Система має два розв'язки тоді, коли ці два кола перетинаються у двох точках.

Обчислімо відстань між центрами кіл \(O_1O_2\) за формулою відстані між точками:

Кола перетинаються у двох точках, якщо відстань між центрами \((O_1O_2=10)\) у межах між різницею і сумою їхніх радіусів \((r=4\) та \(R=\sqrt{a}).\)

Зовнішній дотик: \(R+r=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}+4=10;\\[7pt] \sqrt{a}=6. \end{gather*}

Внутрішній дотик: \(|R-r|=O_1O_2.\)

• Якщо \(R\gt r{:}\)

• Якщо \(r\gt R{:}\)

\begin{gather*} 4-\sqrt{a}=10 \end{gather*}

(немає розв'язків, бо \(\sqrt{a}\) не може бути від'ємним).

Два розв'язки (перетин у двох точках) матимемо тоді, коли радіус \(R\) перебуватиме між значеннями, що відповідають дотикам:

\begin{gather*} 6\lt \sqrt{a}\lt 14. \end{gather*}

Піднесімо до квадрата:

\begin{gather*} 36\lt a\lt 196. \end{gather*}

Оскільки \(a\) має бути строго більшим за \(36\) (якщо \(a=36\), буде лише одна точка дотику), то найменше ціле значення \(37.\)

Відповідь: \(37.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Продовжмо верхню межу стовпчика «Зелена зала» горизонтальною лінією (пунктирною) до вертикальної осі (шкали) кількості глядачів. Пунктир перетинає вертикальну вісь на позначці \(20.\)

Число \(20\) входить у проміжок \([15; 25)\), оскільки \(15\lt 20\lt 25.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} x\in [0{,}5; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати множення одночленів і знання властивостей степеня.

Для розв'язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами: основу залишимо без змін, а показники додамо. \begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*} (де \(a\) – будь-яке число, \(n\) i \(m\) – натуральні числа).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє розуміння означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін. Цю пряму називають віссю обертання, а сторону, навколо якої відбувається рух, – висотою циліндра.

Оскільки прямокутник обертається навколо прямої \(a\), що містить його сторону, утворюється циліндр. Сторона довжиною \(8\) см паралельна осі обертання \(a\). Отже, висота циліндра, що утворився, дорівнює цій стороні: \(H=8\) см.

Отримане тіло – це циліндр, висота якого дорівнює \(8\) см.

Відповідь: Г.