ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Якщо \(t=(a-2)x^2+6x,\) рівняння набуде вигляду:

\begin{gather*} t^2-4t+4-a^2=0;\\[7pt] (t^2-4t+4)-a^2=0;\\[7pt] (t^2-2\cdot 2t+2^2)-a^2=0;\\[7pt] (t-2)^2-a^2=0;\\[7pt] (t-2-a)(t-2+a)=0;\\[7pt] t-2-a=0\ \text{та}\ t-2+a=0;\\[7pt] t_1=2+a\ \text{та}\ t_2=2-a. \end{gather*}

Оскільки треба знайти від'ємне значення \(a\), то для \(a\lt 0\) значення \(t_1\) і \(t_2\) точно будуть різними \((2+a\ne 2-a\), бо \(a\ne 0\)).

Повернувшись до заміни, маємо сукупність двох квадратних рівнянь (адже шукаємо від'ємне \(a\), коефіцієнт \(a-2\ne 0\)):

1-е рівняння: \((a-2)x^2+6x-(2+a)=0.\)

2-е рівняння: \((a-2)x^2+6x-(2-a)=0.\)

Обчислімо дискримінанти рівнянь:

Для першого рівняння:

Оскільки \(4a^2+20\gt 0\) за будь-якого \(a\), то перше рівняння завжди має рівно \(2\) корені.

Для другого рівняння:

Щоб уся сукупність мала рівно два корені, друге рівняння не повинно мати розв'язків (випадок збігу коренів \(a=0\) не задовольняє умову \(a\lt 0\)). Отже, дискримінант другого рівняння має бути від'ємним.

Розв'яжімо нерівність \(D_2\lt 0{:}\)

\begin{gather*} 36-4(a-2)^2\lt 0;\\[7pt] (a-2)^2\gt 9. \end{gather*}

Задана нерівність рівносильна сукупності нерівностей:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} a-2\gt 3,\\ a-2\lt -3, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} a\gt 5,\\ a\lt -1. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} a\in (-\infty; -1)\cup (5; +\infty). \end{gather*}

Найбільшим цілим від'ємним значенням параметра із цього проміжку є число \(-2.\)

Відповідь: \(-2.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність події.

Для обчислення ймовірності випадкової події використаймо класичне означення ймовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де: \(n\) – загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків; \(k\) – кількість наслідків, що сприяють події \(A\) (видаленню цифри, більшої за \(5\)).

Задано шестицифрове число \(125079.\) Загалом у цьому числі \(6\) цифр, з яких дві (\(7\) і \(9\)) більші від \(5\). Оскільки програма видаляє цифру навмання, усього існує \(6\) варіантів видалення, отже \(n=6.\) Кількість цифр у числі, які більші від \(5\), становить \(k=2.\)

\begin{gather*} P(A)=\frac 26=13. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання видів і властивостей кутів.

Розгорнутий кут поділено на \(10\) рівних частин. Обчислімо градусну міру кожного із цих кутів:

\begin{gather*} 180^\circ:10=18^\circ. \end{gather*}

Отже, градусна міра кута між двома сусідніми стрілками становить \(18^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Застосуймо основну властивість пропорції:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Довжину вектора \(\overrightarrow{OK}\) можна визначити за формулою:

де \(O(x_1, y_1, z_1)\), \(K(x_2, y_2, z_2)\) – координати точок.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік перетинає вісь \(y\) у точці \((0; 3)\), а її ордината дорівнює \(3.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Оскільки карат дорівнює \(0{,}2\) г, то маса діаманта в \(0{,}8\) карата становить: \begin{gather*} 0{,}8\cdot 0{,}2=0{,}16\ \text{г}. \end{gather*}

В одному кілограмі \(1000\) г (або \(1\) г \(=10^{-3}\) кг).

Поділімо отримане значення на \(1000{:}\)

\begin{gather*} 0{,}16\ \text{г}=\frac{0{,}16}{1000}\ \text{кг}=0{,}00016\ \text{кг}. \end{gather*}

Запишімо число в стандартному вигляді, перенісши кому на \(4\) знаки праворуч:

\begin{gather*} 0{,}00016\ \text{кг}=1{,}6\cdot 10^{-4}\ \text{кг}. \end{gather*}

Стандартним виглядом додатного числа \(a\) називають його запис у вигляді добутку \(a_0\cdot 10^m\), де \(1\le a_0\lt 10\), a \(m\) – ціле число.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання основних елементів циліндра.

Циліндр утворюється внаслідок обертання прямокутника навколо його сторони (осі циліндра). Усі твірні циліндра за означенням паралельні його осі обертання. Оскільки дві довільні твірні циліндра паралельні тій самій прямій (осі циліндра), то за ознакою паралельності прямих у просторі вони паралельні між собою.

Відповідь: Б.