ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників.

І. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю сторону.

За нерівністю трикутника сума будь-яких двох його сторін завжди більша за третю: \((a+b\gt c).\) Якщо сума буде меншою або рівною, геометрично неможливо буде замкнути сторони в трикутник. Твердження неправильне.

ІІ. Сума двох будь-яких кутів трикутника більша за \(90^\circ.\)

Це твердження легко спростувати контрприкладом. Візьмімо тупокутний трикутник із кутами \(100^\circ\), \(40^\circ\) і \(40^\circ.\) Сума двох найменших кутів: \(40^\circ+40^\circ=80^\circ\), що менше за \(90^\circ.\) Твердження неправильне.

ІІІ. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший кут.

Це фундаментальна теорема про співвідношення між сторонами й кутами трикутника: у будь-якому трикутнику навпроти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] (ab)^x=a^x\cdot b^x.\\[6pt] 3^x\cdot 5^x\le \frac{1}{15};\\[6pt] (3\cdot 5)^x\le 15^{-1};\\[6pt] 15^x\le 15^{-1}. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((15)\) більша за одиницю \((15\gt 1)\), функція зростає, тому задана нерівність рівносильна нерівності \(x\le -1.\)

\begin{gather*} x\in (-\infty; -1]. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена послідовності та вміння застосовувати її для розв’язування задач.

Послідовність задано формулою:

\begin{gather*} b_n=\frac{(-1)^n}{n}. \end{gather*}

Обчислімо четвертий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_4=\frac{(-1)^4}{4}=\frac 14. \end{gather*}

Обчислімо п’ятий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_5=\frac{(-1)^5}{5}=-\frac 15. \end{gather*}

Обчислімо суму виразу:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підстановки, застосовувати основну властивість пропорції.

ОДЗ:

\begin{gather*} 2x+y\ne 0;\\[7pt] 2x\ne y. \end{gather*}

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd \Rightarrow a\cdot d=b\cdot c;\\[6pt] 5\cdot x=1\cdot (2x+y);\\[7pt] 5x=2x+y;\\[7pt] 5x-2x=y;\\[7pt] 3x=y.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 3x=y,\\ 4x+2=y. \end{array}\right. \end{gather*}

Праві частини обох рівнянь однакові й дорівнюють \(y.\) Прирівняймо їхні ліві частини:

\begin{gather*} 3x=4x+2;\\[7pt] 3x-4x=2;\\[7pt] -x=2;\\[7pt] x=-2. \end{gather*}

Підставмо значення \(x=-2.\) у перше рівняння:

\begin{gather*} y=3\cdot (-2)=-6. \end{gather*}

Отже, \((-2; -6)\) – розв'язок системи, задовільняє ОДЗ.

Обчислімо суму:

\begin{gather*} x_0+y_0=-2+(-6)=-8. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосували властивості логарифма:

\begin{gather*} \log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки \(ABCD\) – прямокутник, то \(\angle B=90^\circ.\) Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), у якому гіпотенуза \(AK=8\) см і \(\angle BAK=30^\circ.\)

Катет \(BK\) лежить навпроти кута \(30^\circ\), тому він дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} BK=\frac 12AK=\frac 12\cdot 8=4\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину катета \(AB\) через косинус кута:

За умовою, \(AK\) – бісектриса кута \(\angle BAC.\) Оскільки \(\angle BAK=30^\circ\), то

\begin{gather*} \angle KAC=\angle BAK=30^\circ. \end{gather*}

Тоді кут

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\), \(AB=4\sqrt{3}\) см і гострий кут \(\angle BAC=60^\circ.\)

Обчислімо довжину катета \(BC\) через тангенс кута:

Обчислімо площу прямокутника \(ABCD{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні та ірраціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів, визначати місце отриманих чисел на координатній прямій.

1. \(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}-\varphi.\)

Підставмо значення \(\varphi{:}\)

Числу \(-1\) на прямій відповідає точка \(L.\) Отже, 1 – Б.

2. \((1-\sqrt{5})\cdot \varphi.\)

Підставмо значення \(\varphi{:}\)

Застосували формулу скороченого множення – різницю квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

А також властивість арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a. \end{gather*}

Числу \(-2\) на прямій відповідає точка \(K.\) Отже, 2 – A.

3. \(\log_5 (2\varphi-\sqrt{5}).\)

Для спрощення виразу застосовували формулу:

\begin{gather*} \log_a 1=0. \end{gather*}

Числу \(0\) на прямій відповідає точка \(M.\) Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій за їхніми графіками.

1. Функція \(y=-3-x^2.\)

Графік цієї функції – парабола. Оскільки коефіцієнт перед \(x^2\) від'ємний \((-1)\), вітки параболи напрямлені вниз. Вершина параболи зміщена по осі \(y\) на \(3\) одиниці вниз і має координати \((0; -3).\)

Графік повністю лежить нижче осі \(x\), тобто в III та IV чвертях.

Отже, 1 – В.

2. Функція \(y=\dfrac 3x.\)

Це обернена пропорційність, графік якої – гіпербола. Оскільки чисельник додатний \((3\gt 0)\), вітки гіперболи розташовані в I та III координатних чвертях. Графік міститься лише в I та III чвертях.

Отже, 2 – Б.

3. Функція \(y=\mathrm{tg}\ x.\)

Графік тангенса – тангенсоїда. Це періодична функція, яка набуває і додатних, і від'ємних значень для різних значень (і додатних, і від'ємних) аргумента \(x\). Тангенсоїда складається з безлічі віток, які проходять через кожну чверть. Графік лежить у I, II, III та IV чвертях.

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. \(BO.\)

За умовою \(AK=5\) см. Точка \(K\) лежить на відрізку \(AO\), тому:

\begin{gather*} OK=AO-AK=20-5=15\ \text{см}. \end{gather*}

Точка \(K\) лежить на колі, а \(O\) – його центр, тому \(OK\) – це радіус кола \((R=15\ \text{см}).\) Оскільки \(BD\) – діаметр кола, то відрізок \(BO\) також є радіусом цього кола:

\begin{gather*} BO=R=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – A.

2. \(AB.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta AOB\ (\angle AOB=90^\circ)\), \(AO=20\) см, \(BO=15\) см. За теоремою Піфагора обчислімо довжину гіпотенузи \(AB\) (сторону ромба):

Отже, 2 – Г.

3. \(BN.\)

Точка \(N\) лежить на колі, а \(BD\) – діаметр. Кут \(\angle BND\) вписаний і спирається на діаметр, тому \(\angle BND=90^\circ.\) Отже \(BN\!\perp\!CD\), тобто \(BN\) – висота ромба, опущена на сторону \(CD.\) Обчислімо висоту \(BN\) через площу ромба.

Площа ромба через діагоналі:

Площа ромба через сторону й висоту \((CD=AB=25\ \text{см}){:}\)

\begin{gather*} S=CD\cdot BN;\\[7pt] 600=25\cdot BN;\\[6pt] BN=\frac{600}{25}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – B.