ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи статистики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми наведення статистичної інформації.

Уся кругова діаграма становить \(100\ \%.\) Віднімімо від загальної кількості відомі частки (%) інших трьох жанрів:

Отже, жанру «Хоррор» віддали перевагу \(7{,}5\ \%\) студентів.

За умовою, «Фантастику» вибрало на \(45\) осіб більше. Обчислімо різницю часток:

\begin{gather*} 10\ \% - 7{,}5\ \%=2{,}5\ \%. \end{gather*}

Це означає, що \(2{,}5\ \%\) від загальної кількості студентів – \(45\) осіб.

За правилом обчислення числа за його відсотком:

Відповідь: \(1800.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості піраміди для розв’язування стереометричних задач.

Діагональним перерізом такої піраміди є трикутник \(SAC\), де сторона \(AC\) – діагональ квадрата основи, а \(SA\) і \(SC\) – бічні ребра піраміди.

Оскільки \(\Delta SAC\) рівносторонній, то:

\begin{gather*} SA=SC=AC. \end{gather*}

Висота піраміди \(SO\) є одночасно висотою рівностороннього трикутника \(SAC.\)

Формула висоти рівностороннього трикутника зі стороною \(a{:}\)

\begin{gather*} SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Підставмо відоме значення висоти, щоб обчислити довжину сторони \(a\) (яка дорівнює діагоналі \(AC\) й бічному ребру \(SA\)):

Отже, діагональ основи \(AC=8\sqrt{2}\) см, бічне ребро \(SA=8\sqrt{2}\) см.

В основі піраміди лежить квадрат \(ABCD\) із діагоналлю \(AC=8\sqrt{2}\) см, його сторона \(AB\) дорівнює:

\begin{gather*} AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Для обчислення площі бічної поверхні потрібно знати довжину апофеми \(SF\) (висоту бічної грані \(SDC\)). Розгляньмо прямокутний трикутник \(SOF\) (де \(OF\) – радіус вписаного у квадрат кола, \(OF=\dfrac{AB}{2}=4\) см):

За теоремою Піфагора:

Обчислімо площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди:

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot P_\text{осн}\cdot SF;\\[6pt] P_\text{осн}=4\cdot AB=4\cdot 8=32\ \text{см};\\[6pt] S=\frac 12\cdot 32\cdot 4\sqrt{7}=64\sqrt{7}\ \text{см}^2. \end{gather*}

За умовою задачі у відповіді треба записати значення \(\dfrac{S}{\sqrt{7}}{:}\)

\begin{gather*} \frac{64\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=64. \end{gather*}

Відповідь: \(64.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування показникових і раціональних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} 4x-\sqrt{4x+a}+a=0;\\[7pt] (4x+a)-\sqrt{4x+a}=0. \end{gather*}

Нехай \(\sqrt{4x+a}=t\), де \(t\ne 0\), тоді \(4x+a=t^2.\)

Підставмо в рівняння:

\begin{gather*} t^2-t=0;\\[7pt] t(t-1)=0. \end{gather*}

Отримуємо два корені, якщо обидва задовольняють умову \(t=0.\) Отже, \(t_1=0\) i \(t_2=1.\)

1. Якщо \(t=0{:}\)

\begin{gather*} 4x+a=0;\\[7pt] 4x_1=-a;\\[6pt] x_1=-\frac a4. \end{gather*}

2. Якщо \(t=1{:}\)

\begin{gather*} 4x+a=1^2;\\[7pt] 4x_2=1-a;\\[6pt] x_2=\frac{1-a}{4}. \end{gather*}

Оскільки для будь-якого дійсного значення \(a\) отримуємо два різні корені, рівняння завжди має рівно два корені.

За умовою сума коренів дорівнює \(10{:}\)

\begin{gather*} x_1+x_2=10;\\[6pt] -\frac a4+\frac{1-a}{4}=10. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(4{:}\)

\begin{gather*} -a+1-a=40;\\[7pt] -2a+1=40;\\[7pt] -2a=39;\\[7pt] a=39:(-2);\\[7pt] a=-19{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(-19{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Проміжок часу, протягом якого м'яч перебував на висоті не менш як \(3\) м, тобто \(h(t)\ge 3.\) Графічно цій нерівності відповідає частина кривої, яка розташована на рівні або вище від горизонтальної прямої \(h=3.\)

Шуканий проміжок часу тривав від \(1\) с до \(5\) с. Обчислімо його тривалість:

\begin{gather*} 5 - 1 = 4\ \text{с}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Прямі та площини у просторі.

Завдання перевіряє знання аксіом стереометрії та взаємного розміщення прямих і площин у просторі.

Площина \(BB_1C_1\) – це площина бічної грані куба, яка містить чотири вершини: \(B\), \(B_1\), \(C_1\) та \(C\) (тобто це грань \(BB_1C_1C\)).

Застосуймо аксіому стереометрії: пряма лежить у площині, якщо принаймні дві її точки належать цій площині.

\(B_1C\) – діагональ бічної грані \(BB_1C_1C.\) Оскільки обидві точки \(B_1\) і \(C\) лежать у площині цієї грані, то й уся пряма \(B_1C\) лежить у площині \(BB_1C_1.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – квадрат різниці:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів і вміння виконувати дії з дійсними числами.

Якщо в \(1\) Гб \(2^{20}\) Кб, то для обчислення кількості кілобайт у \(8\) Гб треба помножити \(8\) на кількість кілобайт в одному гігабайті:

\begin{gather*} 8\cdot 2^{20}=2^3\cdot 2^{20}=2^{3+20}=2^{23}. \end{gather*}

Застосували властивість степенів:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^{x+1}=81;\\[7pt] 3^{x+1}=3^4. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} x+1=4;\\[7pt] x=4-1;\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь.

Проєкцією точки \(A(-1; 4; 5)\) на вісь \(y\) є точка, у якої абсциса (координата по осі \(Ox\)) й апліката (координата по осі \(Oz\)) дорівнюють \(0\), а ордината (координата по осі \(Oy\)) збігається з ординатою точки \(A.\)

Серед запропонованих варіантів лише точка Б \((0; 4; 0)\) розташована на осі \(y.\)

Відповідь: Б.