ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння перетворювати графіки функцій.

Для побудови графіка функції \(f(x+a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

Отже, для побудови графіка функції \(y=\dfrac{1}{x-5}\) треба перемістити графік функції \(y=\dfrac 1x\) на \(5\) одиничних відрізків вправо вздовж осі \(Ox.\)

Область визначення функції:

\begin{gather*} x-5\ne 0;\\[7pt] x\ne 5. \end{gather*}

Тому пряма \(x=5\) є вертикальною асимптотою графіка (пунктирна лінія праворуч від осі \(Oy\)).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних нерівностей.

\begin{gather*} \begin{cases} x\gt -3;\\ x\le 7. \end{cases} \end{gather*}

Зобразімо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок \(x\in (-3; 7].\) З наведених чисел лише \(5\) належить заданому проміжку.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з модулем дійсного числа й використовувати його властивості.

За властивістю модуля дійсного числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{при}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{при}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

\(a-2\lt 0\) при \(a\lt -2.\)

Отже, \(|a-2|=-(a-2).\)

Спростімо вираз:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників.

Сума всіх внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює \(360^\circ.\) У заданому чотирикутнику два прямі кути. Прямий кут дорівнює \(90^\circ.\) Третій кут за умовою дорівнює \(100^\circ.\) Позначмо четвертий кут як \(x.\) Отже,

\begin{gather*} 90^\circ+90^\circ+100^\circ+x=360^\circ;\\[7pt] 280^\circ+x=360^\circ;\\[7pt] x=360^\circ-280^\circ;\\[7pt] x=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_4 (2x-2)\lt 2;\\[7pt] \log_4 (2x-2)\lt 2\log_4 4;\\[7pt] \log_4 (2x-2)\lt \log_4 4^2;\\[7pt] \log_4 (2x-2)\lt \log_4 16. \end{gather*}

Оскільки основа логарифма \(4\gt 1\), функція зростає, тому знак нерівності для підлогарифмічних виразів не змінюється, а задана нерівність рівносильна нерівності:

\begin{gather*} 2x-2\lt 16;\\[7pt] 2x\lt 16+2;\\[7pt] 2x\lt 18;\\[7pt] x\lt 9. \end{gather*}

Визначмо ОДЗ. Вираз під знаком логарифма обов'язково має бути додатним:

\begin{gather*} 2x-2\gt 0;\\[7pt] 2x\gt 2;\\[7pt] x\gt 1. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (1; 9). \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{a^2+2a}{2a+4}=\frac{a(a+2)}{2(a+2)}=\frac a2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та трикутника, уміння визначати площу ромба.

Оскільки точки \(K\) і \(M\) – середини сторін \(BC\) і \(CD\), відрізок \(KM\) є середньою лінією трикутника \(BCD.\) За властивістю середньої лінії: \(KM\!\parallel\!BD\) та \(KM=\dfrac 12 BD.\) Довжина \(KM=m\), тому діагональ ромба \(BD=2m.\)

Нехай \(O\) – точка перетину діагоналей ромба. Діагоналі ромба перпендикулярні \((AC\!\perp\!BD)\), тому висота трикутника \(BCD\), проведена з вершини \(C\), лежить на прямій \(AC\) (відрізок \(CO\)).  Якщо \(KM\!\parallel\!BD\) і ділить сторони навпіл, то пряма \(KM\) також ділить висоту \(CO\) навпіл. Отже, відстань від точки \(C\) до лінії \(KM\) (яка дорівнює \(6\)) – це половина відрізка \(CO.\)

\begin{gather*} CO=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Площа ромба складається з площ двох рівних трикутників \((BCD\) і \(ABD){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\)-го члена послідовності й уміння застосовувати її для розв’язування задач.

Послідовність задано формулою:

\begin{gather*} b_n=(-1)^n\cdot n. \end{gather*}

Обчислімо сьомий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_7=(-1)^7\cdot 7=(-1)\cdot 7=-7. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо \(m\cos x\cdot \mathrm{tg}\ x=2\sin x\), то...

Оскільки \(\mathrm{tg}\ x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\), то

\begin{gather*} m\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=2n\sin x. \end{gather*}

Скоротімо \(\cos x{:}\)

\begin{gather*} m\sin x=2n\sin x. \end{gather*}

Оскільки рівність має виконуватися для всіх можливих допустимих \(x\), прирівняймо коефіцієнти:

\begin{gather*} m=2n. \end{gather*}

Тоді \(n=\dfrac m2.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. Якщо \(\sqrt{2m^2}=n\), то…

\begin{gather*} \sqrt{2m^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{m^2}=\sqrt{2}\cdot |m|. \end{gather*}

Оскільки за умовою \(m\gt 0\), то \(|m|=m.\)

Звідси \(n=\sqrt{2}\cdot m=m\sqrt{2}.\)

Використали властивості:

\begin{gather*} \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},\ \text{де}\ a\ge 0,\ b\ge 0;\\[7pt] \sqrt{a^2}=|a|;\\[7pt] |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Якщо \(4^{\textstyle \log_2 m}=n\), то...

Тоді \(n=m^2.\)

Застосували властивості логарифмів

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\\[7pt] a^{\textstyle \log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b \end{gather*}

і властивість степенів

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.